Hankel fonksiyonu

Bessel fonksiyonları ilk önce Daniel Bernoulli tarafından tanımlanmış ve Friedrich Bessel tarafından genelleştirilmiş

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0}$

diferansiyel denkleminin .

Uygulamaları

Bessel fonksiyonları Helmholtz denklemi’nin silindirik koordinatlardaki ayrıştırılabilir çözümleridir. Bunun sonucu olarak özellikle dalga yayılım problemleriyle ilişkilidirler, örnek olarak

• Silindirik dalga kılavuzu içerisinde dalga yayılımı
• Silindirik cisimlerden dalga saçılması
• Frekans modülasyonu

Tanımı

Birinci türden Bessel fonksiyonları: ${\displaystyle J_{\alpha }}$

I₀

İkinci türden Bessel fonksiyonları: ${\displaystyle Y_{\alpha }}$

Neumann fonksiyonu olarak da adlandırılır. ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} }$ olması durumunda ${\displaystyle J_{\alpha }}$ ve ${\displaystyle J_{-\alpha }}$ doğrusal bağımlı olacağından, doğrusal bağımlı olmayan ikinci türden bir çözüme ihtiyaç duyulmuştur.

Hankel fonksiyonlari: ${\displaystyle H_{\alpha }}$

Özellikle dalga yayılım problemleriyle ilişkili olarak tanımlanırlar.

${\displaystyle H_{\alpha }^{(1)}(x)=J_{\alpha }(x)+iY_{\alpha }(x)}$

${\displaystyle H_{\alpha }^{(2)}(x)=J_{\alpha }(x)-iY_{\alpha }(x)}$