Hermit polinomu

Hermit polinomları, 1810'da Pierre-Simon Laplace tarafından tanımlanmış, ancak pek tanınmayan bir biçimde 1859'da Pafnuty Chebyshev tarafından ayrıntılı olarak incelenmiştir. Chebyshev'in çalışması gözden kaçmış ve daha sonra 1864'te polinomlar üzerine yazan ve onları yeni olarak tanımlayan Charles Hermite'nin adıyla anılmışlardır. Sonuç olarak yeni değillerdi, ancak Hermite 1865'teki yayınlarında çok boyutlu polinomları tanımlayan ilk kişi olmuştur.

Charles Hermite

Tanım

Diğer klasik dik polinomlar gibi, Hermit polinomları birkaç farklı başlangıç noktasından tanımlanabilir. Hermit polinomlarının tam ortak kullanımı olmadığı için iki farklı denklemi vardır.

• Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomu;

${\displaystyle {\textstyle He_{n}(x)=(-1)^{n}e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}{d^{n} \over dx^{n}}e^{\left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right)}}}$

• Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomu;

${\displaystyle {\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{d^{n} \over dx^{n}}e^{-x^{2}}}}$

Bu denklemler bir Rodrigues formülü biçimindedir ve şu şekilde de yazılabilir;

${\displaystyle {\displaystyle {\mathit {He}}_{n}(x)=\left(x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1,\quad H_{n}(x)=\left(2x-{\frac {d}{dx}}\right)^{n}\cdot 1.}}$

İki tanım tam olarak aynı değildir, her biri bir diğerinin yeniden ölçeklendirilmesidir.

${\displaystyle {\displaystyle H_{n}(x)=2^{\frac {n}{2}}{\mathit {He}}_{n}\left({\sqrt {2}}\,x\right),\quad {\mathit {He}}_{n}(x)=2^{-{\frac {n}{2}}}H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}}$

Hermit polinomunun ilk altı değer grafiği

Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri;

${\textstyle {\displaystyle He_{0}(x)=1}}$

${\textstyle {\displaystyle He_{1}(x)=x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{2}(x)=x^{2}-1}}$

${\textstyle {\textstyle He_{3}(x)=x^{3}-3x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{4}(x)=x^{4}-6x^{2}+3}}$

${\textstyle {\textstyle He_{5}(x)=x^{5}-10x^{3}+15x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{6}(x)=x^{6}-15x^{4}+45x^{2}-15}}$

${\textstyle {\textstyle He_{7}(x)=x^{7}-21x^{5}+105x^{3}-105x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{8}(x)=x^{8}-28x^{6}+210x^{4}-420x^{2}+105}}$

${\textstyle {\textstyle He_{9}(x)=x^{9}-36x^{7}+378x^{5}-1260x^{3}+945x}}$

${\textstyle {\textstyle He_{10}(x)=x^{10}-45x^{8}+630x^{6}-3150x^{4}+4725x^{3}-945}}$

Fizikçilerin(${\displaystyle H_{n}}$) kullandığı Hermit polinomunun ilk altı değer grafiği

Fizikçilerin kullandığı Hermit polinomunun ilk on bir değeri;

${\textstyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$

${\textstyle H_{2}(x)=4x^{2}-2}$

${\textstyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x}$

${\textstyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}$

${\textstyle H_{5}(x)=32x^{5}-160x^{3}+120}$

${\textstyle H_{6}(x)=64x^{6}-480x^{4}+720x^{2}-120}$

${\textstyle H_{7}(x)=128x^{7}-1344x^{5}+3360x^{3}-1680x}$

${\textstyle H_{8}(x)=256x^{8}-3584x^{6}+13440x^{4}-13440x^{2}+1680}$

${\textstyle H_{9}(x)=512x^{9}-9216x^{7}+48384x^{5}-80640x^{3}+30240x}$

${\textstyle H_{10}(x)=1024x^{10}-2340x^{8}+161280x^{6}-403200x^{4}+302400x^{2}-30240}$

Özellikleri

${\displaystyle n}$ dereceden bir Hermit polinomu ${\displaystyle n}$ dereceli bir polinomdur. Olasılıkçıların(${\displaystyle He_{n}}$) kullandığı Hermit polinomunun ilk terimindeki katsayısı her zaman 1'dir.Fizikçilerin(${\displaystyle H_{n}}$) kullandığı Hermit polinomunun katsayısı ${\displaystyle 2^{n}}$

Örnek

Olasılıkçıların kullandığı Hermit polinomunun ${\displaystyle n}$'i 2 olsun ve aradaki farkı anlayabilmek için fizikçilerin kullandığı Hermit polinomunun da ${\displaystyle n}$'i 2 olsun

${\displaystyle {\textstyle {\textstyle He_{2}(x)=x^{2}-1}}}$ ilk terimin katsayısı 1 ${\textstyle H_{2}(x)=4x^{2}-2}$ ilk terimin katsayısı 4(${\displaystyle 2^{2}=4}$)

Diklik

${\displaystyle He_{n}}$ ve  ${\displaystyle H_{n}}$ dereceden polinomları için ${\displaystyle n=1,2,3,4........}$ Bu polinomlar ağırlık işlevine(fonksiyon) göre dikliktir.

${\displaystyle {\displaystyle w(x)=e^{\left({\frac {x^{2}}{2}}\right)}}}$ (${\displaystyle He}$ için)

ya da

${\displaystyle {\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}}}$ (${\displaystyle H}$ için)

Diğer bir deyişle$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)dx=0\qquad m\neq n}$$Ayrıca

${\displaystyle {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\mathit {He}}_{m}(x){\mathit {He}}_{n}(x)\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}\,dx={\sqrt {2\pi }}\,n!\,\delta _{nm},}}$

Ya da

${\displaystyle {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{m}(x)H_{n}(x)\,e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}\,2^{n}n!\,\delta _{nm},}}$

Burada ${\displaystyle \delta _{nm}}$ Kronecker deltasıdır.

Olasılık polinomları bu nedenle standart normal olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre ortogonaldir.

Tamlık

Hermite polinomları (olasılıkçıların veya fizikçilerin), Hilbert fonksiyon uzayının ortogonal bir temelini oluşturur.

${\displaystyle {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,w(x)\,dx<\infty ,}}$

Ürün kısmının tümlev hali;

${\displaystyle {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }f(x){\overline {g(x)}}\,w(x)\,dx}}$

Kaynakça

1. ^ Laplace (1811). "Mémoire sur les intégrales définies et leur application aux probabilités, et spécialement a la recherche du milieu qu'il faut choisir entre les resultats des observations" [Memoire on definite integrals and their application to probabilities, and especially to the search for the mean which must be chosen among the results of observations]. Mémoires de la Classe des Sciences Mathématiques et Physiques de l'Institut Impérial de France (Fransızca). 11: 297-347. 25 Mayıs 2023 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 8 Haziran 2023. 
2. ^ Laplace, P.-S. (1812), Théorie analytique des probabilités [Analytic Probability Theory], 2, ss. 194-203  Collected in Œuvres complètes VII 15 Nisan 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde ..
3. ^ Tchébychef, P. (1860). "Sur le développement des fonctions à une seule variable" [On the development of single-variable functions]. Bulletin de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg (Fransızca). 1: 193-200. 26 Mayıs 2023 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 8 Haziran 2023.  Collected in Œuvres I, 501–508.
4. ^ Hermite, C. (1864). "Sur un nouveau développement en série de fonctions" [On a new development in function series]. Comptes Rendus Acad. Sci. Paris (Fransızca). 58: 93-100. 25 Mayıs 2023 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 8 Haziran 2023.  Collected in Œuvres II, 293–303.