Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Matematikte, Alman matematikçi David Hilbert tarafından 1920'lerin başında formüle edilen Hilbert'in programı,matematiğin temellerini açıklığa kavuşturmaya yönelik ilk girişimlerin tutarsız olduğu bulunduğunda, matematiğin temel krizine önerilen bir çözümdü. Çözüm olarak Hilbert, mevcut tüm teorileri sonlu, sonlu bir aksiyom dizisine dayandırmayı ve bu aksiyomların tutarlı olduğuna dair bir kanıt sunmayı önerdi. Hilbert, gerçek analiz gibi daha karmaşık sistemlerin tutarlılığının daha basit sistemleri kullanarak kanıtlayabileceğini gösterdi.Sonuçta matematiğin tamamının tutarlılığı temel aritmetiğe indirgenebilir.
Gödel'in 1931'de yayınlanan eksiklik teoremleri, Hilbert'in programının matematiğin kilit alanlarında uygulanamaz olduğunu gösterdi. Gödel, ilk teoreminde, aritmetiği ifade edebilen, hesaplanabilir aksiyomlar dizisine sahip herhangi bir tutarlı sistemin asla sonlu olamayacağını gösterdi: Doğru olduğu kanıtlanabilen, bir ifade oluşturmak mümkündür ancak mevcut formel sistemler kullanılarak türetilemez. İkinci teoreminde ise böyle bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını, dolayısıyla daha güçlü bir şeyin tutarlılığını kesinlikle kanıtlamak için kullanılamayacağını gösterdi. Bu, Hilbert'in sonlu bir sistemin kendi tutarlılığını kanıtlamak için kullanılabileceği ve dolayısıyla geri kalan her şeyi kanıtlayabileceği yönündeki varsayımını çürüttü.
Hilbert Programı'nın Önermeleri
Hilbert'in programının temel amacı tüm matematik alanlarını kapsayacak, sağlam bir temel bulmaktı. Bu temeli, aşağıdaki ilkeler üzerine kuracaktı :
- Tüm matematiğin formel dille yazılmalı ve iyi tanımlanmış kurallara göre işlemler yapılmalıdır.
- Bütünlük: Tüm doğru matematiksel ifadelerin formalizmde kanıtlanabileceğinin kanıtı.
- Tutarlılık: Matematiğin formalizminde hiçbir çelişkinin elde edilemeyeceğinin kanıtı. Bu tutarlılık kanıtı tercihen sonlu matematiksel nesneler hakkında yalnızca "sonlu" akıl yürütmeyi kullanmalıdır.
- Korunum: "İdeal nesneler" (sayılamayan kümeler gibi) hakkında akıl yürütme kullanılarak elde edilen "gerçek nesneler" hakkında herhangi bir sonucun, ideal nesneler kullanılmadan kanıtlanabileceğinin kanıtı.
- Değerlendirilebirlik : Herhangi bir matematiksel ifadenin doğruluğuna veya yanlışlığına karar verecek bir algoritma olmalıdır.
Gödel'in Eksiklik Teoremleri
Kurt Gödel, Hilbert'in programının hedeflerinin çoğuna ulaşmanın,kabaca, imkansız olduğunu gösterdi. Gödel'in ikinci eksiklik teoremi, tamsayıların toplama ve çarpma işlemlerini kodlayacak kadar güçlü herhangi bir tutarlı teorinin kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını göstermektedir. Bu Hilbert'in programı için bir zorluk teşkil ediyor:
- Tüm matematiksel doğru ifadeleri formel bir sistem içinde formelize etmek mümkün değildir, çünkü böyle bir formalizme yönelik herhangi bir girişim bazı doğru matematiksel ifadeleri kapsayamayacaktır.. Peano aritmetiğinin bile yinelemeli olarak numaralandırılabilir aksiyomlar dizisine dayanan tam ve tutarlı bir uzantısı yoktur.
- Peano aritmetiği gibi bir teori kendi tutarlılığını bile kanıtlayamaz; bu nedenle onun "sonlu" bir alt kümesi, küme teorisi gibi daha geniş teorilerin tutarlılığını kesinlikle kanıtlayamaz.
- Peano aritmetiğinin herhangi bir tutarlı uzantısında ifadelerin doğruluğuna kanıtlayabilecek bir algoritma yoktur. Açıkça konuşursak, yönelik bu olumsuz çözüm, Gödel teoreminden birkaç yıl sonra ortaya çıktı, çünkü o zamanlar algoritma kavramı kesin olarak tanımlanmamıştı.
Gödel Sonrası Hilbert Programı
Kanıt teorisi, ters matematik ve matematiksel mantık gibi birçok güncel ar aştırma kolu Hilbert'in orijinal programının doğal devamı olarak görülebilir. Hedeflerini biraz değiştirerek çoğu işlevli hale gelebilir (Zach 2005) ve aşağıdaki değişikliklerle bir kısmı başarıyla tamamlanmıştır:
- Matematiğin tamamını formelize etmek mümkün olmasa da,umumi olarak kullanılan matematiğin tamamını formelize etmek mümkündür. Özellikle Zermelo-Fraenkel küme teorisi, birleştiğinde, neredeyse tüm güncel umumimatematik için tatmin edici ve genel kabul görmüş bir biçimcilik sağlar.
- Peano aritmetiğini ifade edebilen (veya daha genel konuşmak gerekirse, hesaplanabilir bir aksiyom dizisine sahip) sistemler için tamamlanmışlığığı kanıtlamak mümkün olmasa da, diğer birçok ilginç sistem için bütünlük biçimlerini kanıtlamak mümkündür.Bütünlüğü kanıtlanmış önemsiz olmayan bir teorinin bir örneği, belirli bir sahip teorisidir.
- Güçlü teorilerin sonlu tutarlılık kanıtları olup olmadığı sorusunun yanıtlanması zordur; bunun temel nedeni, "sonlu kanıt"ın genel kabul görmüş bir tanımının olmamasıdır. Kanıt teorisindeki çoğu matematikçi, sonlu matematiğin Peano aritmetiğinin içinde olduğunu düşünüyor ve bu durumda oldukça güçlü teorilerin sonlu kanıtlarını vermek mümkün değil. Öte yandan Gödel, Peano aritmetiğinde formelize edilemeyen sonlu yöntemler kullanılarak sonlu tutarlılık kanıtları bulma olasılığını gördü, bu nedenle hangi sonlu yöntemlerin yürüyeceği konusunda daha açık görüşlü görünüyor. Birkaç yıl sonra , Peano aritmetiği için bir verdi. Bu ispatın açıkça sonlu olmayan tek kısmı ε 0ordinaline kadar belirli bir tümevarımdı. Eğer bu sonlu ötesi tümevarım sonlu bir yöntem olarak kabul edilirse Peano aritmetiğinin tutarlılığının sonlu bir kanıtı olduğu ileri sürülebilir. ve diğerleri tarafından ikinci dereceden aritmetiğin daha güçlü alt kümelerine tutarlılık kanıtları verilmiştir ve bu kanıtların tam olarak ne kadar sonlu veya yapıcı olduğu yine tartışılabilir. (Bu yöntemlerle tutarlılığı kanıtlanmış teoriler oldukça güçlüdür ve "sıradan" matematiğin çoğunu içerir.)
- Peano aritmetiğinde ifadelerin doğruluğuna karar verecek bir algoritma olmamasına rağmen, bu tür algoritmaların bulunduğu pek çok ilginç ve önemsiz olmayan teori vardır. Örneğin Tarski, analitik geometrideki herhangi bir ifadenin doğruluğuna karar verebilecek bir algoritma buldu (daha doğrusu, gerçek kapalı alanlar teorisinin çıkarım yapılabilir olduğunu kanıtladı). göz önüne alındığında, bu algoritma Öklid geometrisindeki herhangi bir ifadenin doğruluğuna karar veren bir algoritma olarak kabul edilebilir.
Ayrıca bakınız
= Kaynakça
- ^ Zalta, Edward N.; Nodelman, Uri, (Ed.) (2023), "Hilbert's Program", The Stanford Encyclopedia of Philosophy, Spring 2023, Metaphysics Research Lab, Stanford University, erişim tarihi: 5 Temmuz 2023 Birden fazla yazar-name-list parameters kullanıldı (); Yazar
|ad1=eksik|soyadı1=()
=
- G. Gentzen, 1936/1969. Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie. Matheatische Annalen 112:493–565. Gerhard Gentzen'in toplanan makaleleri, ME Szabo (ed.), 1969'da 'Aritmetiğin tutarlılığı' olarak tercüme edilmiştir.
- D.Hilbert. 'Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre'. Matheatische Annalen 104:485–94. W. Ewald tarafından 'Temel Sayılar Teorisinin Temellendirilmesi' olarak çevrilmiştir, s. 266–273, Mancosu (ed., 1998) Brouwer'dan Hilbert'e: 1920'lerde matematiğin temelleri üzerine tartışma, Oxford University Press. New York.
- SG Simpson, 1988. Hilbert'in programının kısmi gerçekleştirilmeleri (pdf) . Sembolik Mantık Dergisi 53:349–363.
Dış Bağlantılar
- , 2006. Hilbert'in Programı O Zaman ve Şimdi. Mantık Felsefesi 5:411–447, arXiv:math/0508572 [math.LO]
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Matematikte Alman matematikci David Hilbert tarafindan 1920 lerin basinda formule edilen Hilbert in programi matematigin temellerini acikliga kavusturmaya yonelik ilk girisimlerin tutarsiz oldugu bulundugunda matematigin temel krizine onerilen bir cozumdu Cozum olarak Hilbert mevcut tum teorileri sonlu sonlu bir aksiyom dizisine dayandirmayi ve bu aksiyomlarin tutarli olduguna dair bir kanit sunmayi onerdi Hilbert gercek analiz gibi daha karmasik sistemlerin tutarliliginin daha basit sistemleri kullanarak kanitlayabilecegini gosterdi Sonucta matematigin tamaminin tutarliligi temel aritmetige indirgenebilir Godel in 1931 de yayinlanan eksiklik teoremleri Hilbert in programinin matematigin kilit alanlarinda uygulanamaz oldugunu gosterdi Godel ilk teoreminde aritmetigi ifade edebilen hesaplanabilir aksiyomlar dizisine sahip herhangi bir tutarli sistemin asla sonlu olamayacagini gosterdi Dogru oldugu kanitlanabilen bir ifade olusturmak mumkundur ancak mevcut formel sistemler kullanilarak turetilemez Ikinci teoreminde ise boyle bir sistemin kendi tutarliligini kanitlayamayacagini dolayisiyla daha guclu bir seyin tutarliligini kesinlikle kanitlamak icin kullanilamayacagini gosterdi Bu Hilbert in sonlu bir sistemin kendi tutarliligini kanitlamak icin kullanilabilecegi ve dolayisiyla geri kalan her seyi kanitlayabilecegi yonundeki varsayimini curuttu Hilbert Programi nin Onermeleri Hilbert in programinin temel amaci tum matematik alanlarini kapsayacak saglam bir temel bulmakti Bu temeli asagidaki ilkeler uzerine kuracakti Tum matematigin formel dille yazilmali ve iyi tanimlanmis kurallara gore islemler yapilmalidir Butunluk Tum dogru matematiksel ifadelerin formalizmde kanitlanabileceginin kaniti Tutarlilik Matematigin formalizminde hicbir celiskinin elde edilemeyeceginin kaniti Bu tutarlilik kaniti tercihen sonlu matematiksel nesneler hakkinda yalnizca sonlu akil yurutmeyi kullanmalidir Korunum Ideal nesneler sayilamayan kumeler gibi hakkinda akil yurutme kullanilarak elde edilen gercek nesneler hakkinda herhangi bir sonucun ideal nesneler kullanilmadan kanitlanabileceginin kaniti Degerlendirilebirlik Herhangi bir matematiksel ifadenin dogruluguna veya yanlisligina karar verecek bir algoritma olmalidir Godel in Eksiklik Teoremleri Kurt Godel Hilbert in programinin hedeflerinin coguna ulasmanin kabaca imkansiz oldugunu gosterdi Godel in ikinci eksiklik teoremi tamsayilarin toplama ve carpma islemlerini kodlayacak kadar guclu herhangi bir tutarli teorinin kendi tutarliligini kanitlayamayacagini gostermektedir Bu Hilbert in programi icin bir zorluk teskil ediyor Tum matematiksel dogru ifadeleri formel bir sistem icinde formelize etmek mumkun degildir cunku boyle bir formalizme yonelik herhangi bir girisim bazi dogru matematiksel ifadeleri kapsayamayacaktir Peano aritmetiginin bile yinelemeli olarak numaralandirilabilir aksiyomlar dizisine dayanan tam ve tutarli bir uzantisi yoktur Peano aritmetigi gibi bir teori kendi tutarliligini bile kanitlayamaz bu nedenle onun sonlu bir alt kumesi kume teorisi gibi daha genis teorilerin tutarliligini kesinlikle kanitlayamaz Peano aritmetiginin herhangi bir tutarli uzantisinda ifadelerin dogruluguna kanitlayabilecek bir algoritma yoktur Acikca konusursak yonelik bu olumsuz cozum Godel teoreminden birkac yil sonra ortaya cikti cunku o zamanlar algoritma kavrami kesin olarak tanimlanmamisti Godel Sonrasi Hilbert Programi Kanit teorisi ters matematik ve matematiksel mantik gibi bircok guncel ar astirma kolu Hilbert in orijinal programinin dogal devami olarak gorulebilir Hedeflerini biraz degistirerek cogu islevli hale gelebilir Zach 2005 ve asagidaki degisikliklerle bir kismi basariyla tamamlanmistir Matematigin tamamini formelize etmek mumkun olmasa da umumi olarak kullanilan matematigin tamamini formelize etmek mumkundur Ozellikle Zermelo Fraenkel kume teorisi birlestiginde neredeyse tum guncel umumimatematik icin tatmin edici ve genel kabul gormus bir bicimcilik saglar Peano aritmetigini ifade edebilen veya daha genel konusmak gerekirse hesaplanabilir bir aksiyom dizisine sahip sistemler icin tamamlanmisligigi kanitlamak mumkun olmasa da diger bircok ilginc sistem icin butunluk bicimlerini kanitlamak mumkundur Butunlugu kanitlanmis onemsiz olmayan bir teorinin bir ornegi belirli bir sahip teorisidir Guclu teorilerin sonlu tutarlilik kanitlari olup olmadigi sorusunun yanitlanmasi zordur bunun temel nedeni sonlu kanit in genel kabul gormus bir taniminin olmamasidir Kanit teorisindeki cogu matematikci sonlu matematigin Peano aritmetiginin icinde oldugunu dusunuyor ve bu durumda oldukca guclu teorilerin sonlu kanitlarini vermek mumkun degil Ote yandan Godel Peano aritmetiginde formelize edilemeyen sonlu yontemler kullanilarak sonlu tutarlilik kanitlari bulma olasiligini gordu bu nedenle hangi sonlu yontemlerin yuruyecegi konusunda daha acik goruslu gorunuyor Birkac yil sonra Peano aritmetigi icin bir verdi Bu ispatin acikca sonlu olmayan tek kismi e 0ordinaline kadar belirli bir tumevarimdi Eger bu sonlu otesi tumevarim sonlu bir yontem olarak kabul edilirse Peano aritmetiginin tutarliliginin sonlu bir kaniti oldugu ileri surulebilir ve digerleri tarafindan ikinci dereceden aritmetigin daha guclu alt kumelerine tutarlilik kanitlari verilmistir ve bu kanitlarin tam olarak ne kadar sonlu veya yapici oldugu yine tartisilabilir Bu yontemlerle tutarliligi kanitlanmis teoriler oldukca gucludur ve siradan matematigin cogunu icerir Peano aritmetiginde ifadelerin dogruluguna karar verecek bir algoritma olmamasina ragmen bu tur algoritmalarin bulundugu pek cok ilginc ve onemsiz olmayan teori vardir Ornegin Tarski analitik geometrideki herhangi bir ifadenin dogruluguna karar verebilecek bir algoritma buldu daha dogrusu gercek kapali alanlar teorisinin cikarim yapilabilir oldugunu kanitladi goz onune alindiginda bu algoritma Oklid geometrisindeki herhangi bir ifadenin dogruluguna karar veren bir algoritma olarak kabul edilebilir Ayrica bakiniz Matematigin temel krizi Atomculuk Kaynakca Zalta Edward N Nodelman Uri Ed 2023 Hilbert s Program The Stanford Encyclopedia of Philosophy Spring 2023 Metaphysics Research Lab Stanford University erisim tarihi 5 Temmuz 2023 Birden fazla yazar name list parameters kullanildi yardim Yazar ad1 eksik soyadi1 yardim G Gentzen 1936 1969 Die Widerspruchfreiheit der reinen Zahlentheorie Matheatische Annalen 112 493 565 Gerhard Gentzen in toplanan makaleleri ME Szabo ed 1969 da Aritmetigin tutarliligi olarak tercume edilmistir D Hilbert Die Grundlegung der elementaren Zahlenlehre Matheatische Annalen 104 485 94 W Ewald tarafindan Temel Sayilar Teorisinin Temellendirilmesi olarak cevrilmistir s 266 273 Mancosu ed 1998 Brouwer dan Hilbert e 1920 lerde matematigin temelleri uzerine tartisma Oxford University Press New York SG Simpson 1988 Hilbert in programinin kismi gerceklestirilmeleri pdf Sembolik Mantik Dergisi 53 349 363 Dis Baglantilar 2006 Hilbert in Programi O Zaman ve Simdi Mantik Felsefesi 5 411 447 arXiv math 0508572 math LO