Karmaşık analizde, bir kaldırılabilir tekillik veya daha düzgün bir söylemle, bir holomorf fonksiyonun kaldırılabilir tekilliği, fonksiyonun görünüşte holomorf olmadığı; ancak daha yakın bir incelemeden sonra fonksiyonun tanım kümesinin bu tekilliği de içerecek şekilde genişletilebileceği (fonksiyonun holomorf kalacağı şekilde) bir noktadır.
Mesela, z ≠ 0 için
fonksiyonunun z = 0 'da tekilliği vardır. Bu tekillik, f(0) = 1 tanımlanarak kaldırılabilir. bir sürekli (holomorf) fonksiyondur.
Formel olarak, eğer U, karmaşık düzlem C 'nin açık bir kümesi, a, U 'nun bir noktası ve f : U - {a} → C holomorf ise; holomorf bir g : U → C fonksiyonu f 'ye U - {a} üzerinde eşitse, o zaman a 'ya f nin kaldırılabilir tekilliği adı verilir. Böyle bir g varsa, "f, a üzerine holomorf bir şekilde genişletilebilir" denir.
Riemann teoremi
Kaldırılabilir tekillikler üzerine Riemann teoremi bir tekilliğin ne zaman kaldırılabileceğini ifade eder.
Teorem. Aşağıdaki ifadeler birbirine denktir:
- i) f, a üzerine holomorf bir şekilde genişletilebilir.
- ii) f, a üzerine sürekli bir şekilde genişletilebilir.
- iii) Üzerinde f'nin olduğu, a 'nın bir vardır.
- iv) limz → a(z - a ) f(z) = 0.
i) ⇒ ii) ⇒ iii) ⇒ iv) çıkarımları barizdir. iv) ⇒ i) 'i kanıtlamak için, hatırlamamız gereken ; yani bir kuvvet serisi temsiline sahip olmasıdır.
tanımını yapalım. O zaman,
olur. Burada, varsayımla (z - a)f(z) fonksiyonu D üzerinde sürekli bir fonksiyon olarak görülebilir. Başka bir deyişle, h, D üzerinde holomorftur ve a etrafında Taylor serisine sahiptir:
Bu yüzden,
f 'nin a üzerine holomorf genişlemesidir. Bu da iddiayı kanıtlar.
Tekilliklerin diğer çeşitleri
Gerçel değişkenli fonksiyonların aksine, holomorf fonksiyonlar korunmalı tekillikleri tamamen sınıflandırılabildiği için yeteri kadar katıdır. Holomorf bir fonksiyonun tekilliği ya aslında tekillik değildir; yani kaldırılabilir tekilliktir ya da aşağıdaki iki çeşitten biridir:
- Riemann teoreminin ışığında, kaldırılabilir olmayan bir tekillik verildiğinde, limz → a(z - a )m+1f(z) = 0 yapacak bir m doğal sayısının varlığı sorgulanabilir. Böyleyse, a 'ya f 'nin bir kutbu denir ve böyle en küçük bir m 'ye a 'nın mertebesi denir. Böylece, kaldırılabilir tekillikler kesinlikle mertebesi 0 olan kutuplardır. Holomorf bir fonksiyon kutuplarının yakınında düzgün bir şekilde patlama yapar.
- f 'nin a noktasındaki korunmalı bir tekilliği kaldırılabilir veya kutup değilse, o zaman bu nokta esaslı tekilliktir. Her açık delikli U - {a} kümesini, f 'nin karmaşık düzlemin açık ve yoğun bir altkümesine gönderdiği de gösterilebilir.
Ayrıca bakınız
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Karmasik analizde bir kaldirilabilir tekillik veya daha duzgun bir soylemle bir holomorf fonksiyonun kaldirilabilir tekilligi fonksiyonun gorunuste holomorf olmadigi ancak daha yakin bir incelemeden sonra fonksiyonun tanim kumesinin bu tekilligi de icerecek sekilde genisletilebilecegi fonksiyonun holomorf kalacagi sekilde bir noktadir Mesela z 0 icin f z sin zz displaystyle f z frac sin z z fonksiyonunun z 0 da tekilligi vardir Bu tekillik f 0 1 tanimlanarak kaldirilabilir bir surekli holomorf fonksiyondur Formel olarak eger U karmasik duzlem C nin acik bir kumesi a U nun bir noktasi ve f U a C holomorf ise holomorf bir g U C fonksiyonu f ye U a uzerinde esitse o zaman a ya f nin kaldirilabilir tekilligi adi verilir Boyle bir g varsa f a uzerine holomorf bir sekilde genisletilebilir denir Riemann teoremiKaldirilabilir tekillikler uzerine Riemann teoremi bir tekilligin ne zaman kaldirilabilecegini ifade eder Teorem Asagidaki ifadeler birbirine denktir i f a uzerine holomorf bir sekilde genisletilebilir ii f a uzerine surekli bir sekilde genisletilebilir iii Uzerinde f nin oldugu a nin bir vardir iv limz a z a f z 0 i ii iii iv cikarimlari barizdir iv i i kanitlamak icin hatirlamamiz gereken yani bir kuvvet serisi temsiline sahip olmasidir h z z a 2f z z a 0z a displaystyle h z begin cases z a 2 f z amp z neq a 0 amp z a end cases tanimini yapalim O zaman h z h a z a z a f z displaystyle h z h a z a z a f z olur Burada varsayimla z a f z fonksiyonu D uzerinde surekli bir fonksiyon olarak gorulebilir Baska bir deyisle h D uzerinde holomorftur ve a etrafinda Taylor serisine sahiptir h z a2 z a 2 a3 z a 3 displaystyle h z a 2 z a 2 a 3 z a 3 cdots Bu yuzden g z h z z a 2 displaystyle g z frac h z z a 2 f nin a uzerine holomorf genislemesidir Bu da iddiayi kanitlar Tekilliklerin diger cesitleriGercel degiskenli fonksiyonlarin aksine holomorf fonksiyonlar korunmali tekillikleri tamamen siniflandirilabildigi icin yeteri kadar katidir Holomorf bir fonksiyonun tekilligi ya aslinda tekillik degildir yani kaldirilabilir tekilliktir ya da asagidaki iki cesitten biridir Riemann teoreminin isiginda kaldirilabilir olmayan bir tekillik verildiginde limz a z a m 1f z 0 yapacak bir m dogal sayisinin varligi sorgulanabilir Boyleyse a ya f nin bir kutbu denir ve boyle en kucuk bir m ye a nin mertebesi denir Boylece kaldirilabilir tekillikler kesinlikle mertebesi 0 olan kutuplardir Holomorf bir fonksiyon kutuplarinin yakininda duzgun bir sekilde patlama yapar f nin a noktasindaki korunmali bir tekilligi kaldirilabilir veya kutup degilse o zaman bu nokta esasli tekilliktir Her acik delikli U a kumesini f nin karmasik duzlemin acik ve yogun bir altkumesine gonderdigi de gosterilebilir Ayrica bakiniz