Kompakt uzay

Tıkızlık, topolojik uzayların sahip olabileceği başlıca özelliklerden biridir. Bir X uzayı ve birleşimleri X uzayını kaplayan herhangi bir topluluğu verildiğinde, bu topluluğun içinden sonlu sayıda açık küme hala X uzayını kaplayabiliyorsa, X uzayına tıkız (kompakt) denir. Gerçel sayılar kümesi (ℜ), üzerindeki standart topolojiye göre tıkız değildir, ancak ℜ’nin her ve sınırlı alt kümesi (mesela a ve b (a<b) gerçel sayıları için [a, b] şeklindeki alt kümeler) altuzay topolojisine göre tıkızdır (). Matematiğin diğer pek çok alanında olduğu gibi, sonsuz bir nesnenin sonlu bir nesneye indirgenebilmesi çok önemli avantajlar sağladığı için topoloji alanında ve topolojik yöntemler kullanan diğer alanlarda vazgeçilmez bir kavramdır.

Tıkızlık kavramı, Matematiğe 1906 yılında tarafından kazandırılmıştır. Tıkızlık, matematiğin analiz dalı için çok önemli bir yere sahiptir. 19. yüzyılda analize Maksimum değer teoremi gibi birçok klasik ve önemli teoremi kazandırmıştır.

Tıkızlık kavramının uygulamalarına örnek

• Gerçel değerli bir f fonksiyonu eğer tıkız bir küme üzerinde sürekli ise o zaman aslında o küme üzerinde .
• Tıkız bir uzaydan kalkıp ℜ'ye giden herhangi bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini aldığı birer nokta mutlaka vardır.