Laguerre polinomları

Laguerre polinomları, matematikte adını 'den (1834 – 1886) almıştır. Kanonik (benzer) adlandırma Laguerre denklemi'dir:

Laguerre polinomu L n(x)'in karmaşık renk grafiği; n, -1'in 9'a bölümü ve x, -2-2i'den 2+2i'ye kadar 4'ün kuvveti z olmak üzere

${\displaystyle x\,y''+(1-x)\,y'+n\,y=0\,}$

İkinci mertebeden bir 'dir. Bu denklemin tekil olmayan çözümleri yalnızca n negatif olmayan tam sayı ise vardır. Laguerre polinomlarının sayısal integral hesaplaması için kullanılan formudur

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)e^{-x}\,dx.}$

L₀, L₁, ..., şeklindeki bu polinomları, tanımlayabilmek için Rodrigues formülü tarafından kullanılmalıdır

${\displaystyle L_{n}(x)={\frac {e^{x}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x}x^{n}\right).}$

Diğer önemli her bir tarafından verilir.

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{\infty }f(x)g(x)e^{-x}\,dx.}$

Laguerre polinomlarının dizisi bir 'dir.

Laguerre polinomları kuantum mekaniği'nde tek-elektronlu atomun () Schrödinger denklemi'nin radyal kısmının çözümlemesinde ortaya çıkar.

Laguerre polinomları için Fizikte sıklıkla kullanılan bir tanım, n!, gibi bir faktör tarafından burada kullanılan tanımdır.

İlk birkaç polinom

İlk birkaç Laguerre polinomları:

n	${\displaystyle L_{n}(x)\,}$
0	${\displaystyle 1\,}$
1	${\displaystyle -x+1\,}$
2	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{2}}}(x^{2}-4x+2)\,}$
3	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{6}}}(-x^{3}+9x^{2}-18x+6)\,}$
4	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{24}}}(x^{4}-16x^{3}+72x^{2}-96x+24)\,}$
5	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{120}}}(-x^{5}+25x^{4}-200x^{3}+600x^{2}-600x+120)\,}$
6	${\displaystyle {\scriptstyle {\frac {1}{720}}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}$

ilk altı Laguerre polinomu.

Tümevarımsal tanım

Tümevarımsal olarak Laguerre polinomları'nın tanımını yapabiliriz, tanımdaki ilk iki polinom:

${\displaystyle L_{0}(x)=1\,}$

${\displaystyle L_{1}(x)=1-x\,}$

ve izleyen polinomlar için ile k ≥ 1 'i kullanabiliriz:

${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {1}{k+1}}\left((2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)\right).}$

Genelleştirilmiş Laguerre polinomları

ortogonal özellikli durumda rastgele değişken ile ise; X ile eşdeğer gösterim

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}e^{-x}&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}$

buradan

${\displaystyle E\left[L_{n}(X)L_{m}(X)\right]=0\ {\mbox{whenever}}\ n\neq m.}$

üstel dağılım sadece gamma dağılımı değildir. önemli Bir polinomal dizi orthogonal olasılık ağırlık fonksiyonunun gama dağılımı için,α > −1,

${\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x^{\alpha }e^{-x}/\Gamma (1+\alpha )&{\mbox{if}}\ x>0,\\0&{\mbox{if}}\ x<0,\end{matrix}}\right.}$

('Genelleştirilmiş Laguerre polinomu için tanımı ile verilen gama fonksiyonu içeren denklemi görebiliriz):

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right).}$

Bazen uyarlanmış Laguerre polinomları olarak adlandırılır;genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının α = 0 durumunda düzenlenmiş polinomları Basit Laguerre polinomları:

${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}$

Genelleştirilmiş Laguerre polinomlarının özellikleri ve açık örnek

• tarafından tanımlanan Laguerre fonksiyonları ve Kummer dönüşümü
  • ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={n+\alpha \choose n}\sum _{i=0}(-1)^{i}{\frac {n \choose i}{\alpha +i \choose i}}x^{i}\,}$ ${\displaystyle =e^{x}\cdot {n+\alpha \choose n}M(\alpha +n+1,\alpha +1,-x)}$${\displaystyle ={\frac {e^{x}\sin(n\pi )}{\sin((n+\alpha )\pi )}}L_{-\alpha -n-1}^{(\alpha )}(-x)}$${\displaystyle =e^{x}\cdot \sum _{i=0}(-1)^{i}{\alpha +n+i \choose n}{\frac {x^{i}}{i!}}.}$
  • Eğer ${\displaystyle n}$ bir tam sayı ise the function reduces to bir polinomun derecesi ${\displaystyle n}$. alternaif bir ifade ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)}$ içindeki terimleridir .
• Genelleştirilmiş Laguerre polinomunun derecesi ${\displaystyle n}$ ise ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}$ ( tarafından uygulanan Rodrigues' formülü ile eşdeğer eldesi.)
  • İlk birkaç genelleştirilmiş Laguerre polinomları:

${\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=-x+\alpha +1}$

${\displaystyle L_{2}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +2)(\alpha +1)}{2}}}$

${\displaystyle L_{3}^{(\alpha )}(x)={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}}$

• • ilk terimleri is (−1)ⁿ/n! katsayı'sıdır;
  • ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}\approx {\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}};}$ merkezindeki değer 'dir.
• hesaplamada kullanılan genelleştirilmiş Laguerre polinomları için açık formülü sağlar, bununla beraber, algoritma sonuçları ' değildir.

izlenen kararlı metod:

 function LaguerreL(n, alpha, x) { L1:= 0; LaguerreL:= 1; for i:= 1 to n { L0:= L1; L1:= LaguerreL; LaguerreL:= ((2* i- 1+ alpha- x)* L1- (i- 1+ alpha)* L0)/ i;} return LaguerreL; } 

• L_n^(α) ile n gerçel, kesinlikle pozitif (burada ${\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}}$ bir 'dir), bütün ${\displaystyle (0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}]}$ 'ı içindedir .
• ${\displaystyle n}$'in büyük değerleri için polinomun asimptotik davranışı ${\displaystyle \alpha }$ sabit ve ${\displaystyle x>0}$, verilirse,

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\cos \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\right)}$, and

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(-x)\approx {\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-{\frac {x}{2}}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\exp \left(2{\sqrt {x\left(n+{\frac {\alpha +1}{2}}\right)}}\right)}$..

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi
• Rodrigues formülü
• Bessel polinomları
• ; bir dalga kılavuzu veya lazer ışını profili içindeki alan yoğunluğunu tanımlamak için Laguerre polinomlarının önemli bir uygulaması.

Notlar

1. ^ Abramowitz, p. 506, 13.3.8 29 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde .

Kaynakça

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Chapter 22 19 Eylül 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde .", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, .
• B Spain, M G Smith, Functions of mathematical physics, Van Nostrand Reinhold Company, London, 1970. Chapter 10 deals with Laguerre polynomials.
• Eric W. Weisstein, "Laguerre Polynomial 25 Şubat 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .", From MathWorld – A Wolfram Web Resource.
• George Arfken ve Hans Weber (2000). Mathematical Methods for Physicists. Academic Press. . 
• S. S. Bayin (2006), Mathematical Methods in Science and Engineering, Wiley, Chapter 3.