Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Mann-Whitney U testi niceliksel ölçekli gözlemleri verilen iki örneklemin aynı dağılımdan gelip gelmediğini incelemek kullanılan bir parametrik olmayan istatistik testdir. Aynı zamanda Wilcoxon sıralama toplamı testi veya Wilcoxon-Mann-Whitney testi) olarak da bilinmektedir. Bu testi ilk defa eşit hacimli iki örneklem verileri için (1945) ortaya atmıştır. Sonradan, Mann and Whitney (1947) tarafından değişik büyüklükte iki örneklem problemleri analizleri için uygulanıp geliştirilmiştir.
Değişik sıfır hipotezler
Mann-Whitney U testi iki örneklem verilerini ele alıp bu verilerin aynı anakütleden mi yoksa değişik iki anakütleden mi geldiği sorununu inceler. Ama bu test için şeklen biraz değişik problem şartları ve on varsayımlar bulunması imkâni vardır.
Mann-Whitney testi için en geniş kullanışı için sıfır hipoteze veri olan iki örneklemin tek bir anakütleden geldiğidir ve bu nedenle bu anakütle tek bir eğilim gösterir veya dağılımlar aynen eşittir. Bu sınama için iki örneklemin istatistiksel olarak birbirinden bağımsız olması gerekir. Örneklem verileri için en zayıf şekilde ya da niceliksel olarak veya olmalıdır. Bu varsayım yapılmasının nedeni hiç olmazsa iki gözlemin birbiriyle karşılaştırınca hangisinin daha büyük olduğunu bilmek mümkün olmasıdır. Bu şekilde parametrik olmayan istatistik sınamanın parametrik istatistik sınama analoğu iki ortalama arasındaki fark için t-sınamasıdır. Eğer bu t-sınaması için iki örneklem de sıralama şekilde sırasal ölçekli veri kullanılıyorsa Mann-Whitney testi ile parametrik ortalamalar arasındaki fark için t-sınaması arasında nerede ise hiç fark olmayacaktır.
Mann-Whitney sınaması biraz değişik problem için ve değişik sıfır hipotez için de uygulanabilir. Bu şekildeki sıfır hipotez: bir anakütleden gelen örneklem veri ile ikinci anakütleden gelen bir başka veri arasındaki farkın 0,5 olmasıdır. Bu değişik hipotez sınaması için iki anakütlenin dağılımların bir sabit kayma haricinde aynı olduğu varsayılmaktadır. Yani eğer 
birinci anakütleden 
anakütleden gelirse bu iki değişik örneklem değeri arasındaki ilişki şu olduğu 
varsayılmaktadır.
Üçüncü bir şekilde problem uygulaması ve değişik anlamlı bir sıfır hipotez sınamanın olan iki anakütlenin merkezsel konum ölçüleri arasındaki farkın sıfır olmasıdır. Bu türlü iki-örneklemli problem için Hodges-Lehman kestirimi birinci ve ikinci orbeklem arasındaki her bir veri gözlem farkının meydanıdır. Bu şekilde problem belirlenmesi halinde birçok kişi Mann-Whitney sınamasının medyanlar arasındaki farkı sınadığını önermektedirler; ancak bu kesin olarak doğru değildir.
Her ne şekilde problem belirlenirse belirlensin genellikle Mann-Whitney sınaması için hipotezler şöyle kurulur. Verileri elde bulunan iki örneklemin iki değişik anakütle A ve anakütle Bden geldiği düşünülsün. Bu sınama için sıfır hipotez (yani H0) A ve B anakütlerinin aynı dağılım gösterdiğidir. Karşıt hipotez H1 ise yönlü hipotez olan A anakütlesinin B anakütlesinden türel (en:stochastic) olarak daha büyük olduğudur. H1 kabul edilirse A'dan elde edilen puanlar B'den elde edilen puanlardan 1/2 değerinde daha büyüktür. (Yani matematiksel biçimle eğer a A'dan ve b B'den birer gözlem iseler p(a>b>)>(1/2)). Diğer bir yönlü H1 hipotezi de (yani B'nin türel olarak A'dan daha büyük olması da) sınanabilir. Çok kere hangi yönlü karşıt hipotez seçileceği sorunda belirlenmemiştir. Bu halde hacmi daha büyük olan ya da örneklem hacimleri aynı ise ortalaması daha büyük olan örneklemin diğer örneklemden daha büyük olduğu H1 olarak kabul edilir.
Hesaplama yöntemleri
Bu sınama U adı verilen bir sınama istatistiğinin hesaplanmasını önerir. Sıfır hipotez altında U istatistiği için dağılım bilinmektedir. Küçük hacimli (yanı 20'den küçük verili) örneklemler için U dağılımı için bir tablo hazırlanmıştır. Fakat örneklem hacmi 20nin üzerinde ise normal dağılım kullanan çok iyi bir yaklaşım bulunmaktadır. Bazı istatistik kitapları U istatistiğinin analoğu olan (bir örneklemdeki sıralama numaraları toplamlarını gösteren) tablolar da vermektedirler.
Mann-Whitney U sınaması modern kompüter istatistik paketlerinin çoğunda uygulandığı için, eğer bu paketlerden birisi el altında ise, hesaplamalara hiç hacet kalmadan sonuçlar alını tefsir edilebilir. Ancak bu sınamanın nasıl ve ne şeklide yapıldığı anlanmak istenirse, örneğin veri toplanıp elle hesapların yapılması en iyi öğretici alettir. Özellikle veri hacmi küçük ise, Mann-Whitney U değeri el hesapları ile kolayca bulunabilmektedir. Bu el hesabı ile Mann-Whitney U istatistiğini bulmak için iki biraz değişik yaklaşım gerektiren yöntem vardır:
Eğer örneklem hacmi küçükse (yani gözlem sayısı 20nın altında ise) bir direkt yöntem kullanılması çok hızlı sonuç verdiği ve hesaplar yapılırken U istatistiğin altında yatan prensiplerin hemen anlaşıldığı için, tavsiye edilir.
- Eldeki iki örneklemi acele olarak gözden geçirdikten sonra sıralamada genellikle daha küçük görünen örneklem baz örneklem olarak seçilir ve buna Örneklem 1 adı verilir ve diğer örneklem ise Örneklem 2 olarak adlandırılır. Bu seçimi yapmanın tek nedeni hesapların biraz daha kolaylaştırılmasını sağlamak içindir.
- Örneklem 2'deki her bir veri tek başına alınır. Örneklem 1'de bulunan veriler bu veri değeri ile karşılaştırılır. Her daha büyük değere 1 puan ve her aynı değere 1/2 puan vererek, toplam puan sayısı kaydedilir. Bu işlem bütün Örneklem 2 elemanları için yapılır ve her eleman için toplam puan bulunur.
- Bu her eleman için puanların tüm elamanlar için toplamı U istatistiği değeri olur.
Eğer örneklem hacmi büyük ise bir sıralama düzeni kurulması ve bir formül kullanımı gereklidir.
- Tüm gözlemleri bir araya alarak (iki değişik örneklem olduğunu bu hesap için unutarak) bir sıralama düzeni elde edilir. Eğer beraberlik varsa her bereaber değere ortalama sıralama numarası verme (yani (1 2,5 2,5 4)) stratejisi uygulanır.
- Örneklemlerden biri keyfi olarak Örneklem 1 olarak seçilir. Örneklem 1deki sıralama numaralarının toplamı (
![image]()
olarak) bulunur. Beraberlik için özel (1 2.5 2.5 4) stratejisi uygulandığı için her iki örneklem için sıralama numaralarının toplamının N (iki örneklemdeki toplam gözlem sayısı) olduğu bilinmektedir. N eksi Örneklem 1 sıralama numaraları toplamı Örneklem 2 sıralama numaraları toplamını (yani ![image]()
) verir. - İki tane formül kullanılarak iki U-istatistik adayı hesaplanır. Bunlardan
![image]()
Örneklem 1 için gözlem sayısını ve toplam sıralama numarası sayısını; ![image]()
ise Örneklem 2 için gözlem sayısını ve toplam sıralama numarası sayısını kullanır. Formüller şudur:
Burada n1 Örneklem 1 için örneklem hacmi; R1 Örneklem 1 için sıralama numaraları toplamı; n2 Örneklem 2 için örneklem hacmi; R2 Örneklem 2 için sıralama numaraları toplamı olur. Kontrol için U1 ile U2 için toplam alınır. Bu değer iki örneklem hacim sayılarının çarpımına eşit olmalıdır; yani
- Bulunan U1 ve U2 değerlerinden küçüğü hazırlanmış olan U-istatistiği anlamlılık tablosunda kullanılır.
Normal yaklaşım
Eğer örneklem hacimleri büyükse, anlamlılık düzeyini bulmak için şu standart normal dağılım yaklaşımı kullanılır:
Burada z standart normal dağılım tablolarında kullanılan z-puanı; 
ve 
ise, eğer sıfır hipotez doğruysa U için ortalama ve standart sapma olup şu formüllerle bulunurlar:
Ancak örneklem verileri için sıralamada beraberlikler varsa bu değerlerin beraberlikler için düzeltilmesi gerekir. Fakat el hesaplanmalarında bu düzeltmeler çok defa kullanılmamaktadır; istatistik paket programları ise bu düzeltmeleri hemen rutin olarak yapmaktadırlar.
Diğer sınamalara ilişki
U test iki bağımsız örneklem için ile çok benzer şartlar bulunduğu zaman kullanılır. Bunlardan hangi sınamanın ne zaman kullanılması gerektiği sorusu hemen ortaya çıkmaktadır. Eğer veriler sırasal ölçekli ise U' testi, eğer örneklem verileri aralıksal veya oransal ölçekli ise genel olarak t-testi tercih edilmelidir. Ancak aralıksal veya oransal ölçekli veriler halinde, eğer örneklem verileri içinde bir veya ikiden çok 'aykırı değer varsa veya eğer anakütle dağılımlarının normal olmaktan çok uzak ve örneklem hacimlerinin yeter derecede büyük olduğu biliniyor ise yine parametrik olmayan U testi tercih edilir.
Diğer taraftan bazı istatistikçiler, eğer iki örneklem birbirinden çok değişikse, U-testinin tercih edilmesi gerektiğini bildirirler. Ancak U-sınaması sıfır hipotez doğru ise iki örneklemin aynı dağılımdan geldiğini varsaymaktadır. Eğer iki örneklem değişik iki anakütle dağılımından gelmekte ise bu varsayıma göre hazırlanmış özel yaklaşımlı serbestlik dereceli t-testinın daha uygun sonuçlar vereceği ispat edilmiştir. Bu halde bazı istatistikçiler (örneğin Conover (1999)) verilerin sıralama düzenine koyulup sıralama numaraları için t-testi uygulanmasını tavsiye etmektedirler.
U-testi diğer bazı parametrik olmayan istatistik analiz yöntemleri ile ilişkili bulunmaktadır. Eğer veriler iki değer (0-1)-alan isimsel ölçekli iseler, U istatistiği ve teorik olarak aynıdır.
ρ adı verilen bir istatistik U istatistiği ile doğrusal olarak bağımlıdır. ρ iki dağılım için birbirine ne kısımda çakıştıklarını ölçen bir parametrik olmayan istatistik olup 0 ile 1 arasında değişmektedir. Eğer ρ=0,5 ise iki dağılım tam olarak birbirleri ile çakışmaktadır. Uç değerlerde, yani ρ=0 veya ρ=1 olursa, iki dağılım birbirine hiç dokunmamaktadır. ρ değeri Unun n1 × n2 ile bölünmesi sonucu elde edilmektedir.
Örneğin ve sonuçlar
İçsel kaynaklar
Kaynakça
- ^ Wilcoxon,F. (1945) "Individual comparisons by ranking methods". Biometrics Bulletin, C.1, say.80-83
- ^ Mann,H.B. ve Whitney,D.R. (1947). "On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other". Annals of Mathematical Statistics, C.18 Say.50-60
- ^ Conover,W.J. (1999), Practical Nonparametric Statistics (3ncu Ed.), New York: Wiley.
Dışsal kaynaklar
- [1] 15 Haziran 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . ALGLIB C++, C#, Delphi, Visual Basic, vb. yazılımlı Mann-Whitney U sınaması uygulamasını kapsayan programlar kitaplığı.
- Hollander,M. ve Wolfe,D.A. (1999), Nonparametric Statistical Methods (2. Ed.), New York: Wiley.
- Lehmann,E.L. (2006). Nonparametrics: Statistical Methods Based On Ranks, New York, Springer.
- [2][] Mann-Whitney U dağılımı için kritik değerler tablosu (pdf)
- istatistiksel program paketi Wilcoxon iki-örneklem sınaması adı altında
wilcox.testbu sınamanın uygulamasıni kapsar. - Siegel,S. ve Castellan,N.J. (1988) Nonparametric Statistics for Behavioural Science (2. rev.ed.), Nre York: McGraw Hill
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Mann Whitney U testi niceliksel olcekli gozlemleri verilen iki orneklemin ayni dagilimdan gelip gelmedigini incelemek kullanilan bir parametrik olmayan istatistik testdir Ayni zamanda Wilcoxon siralama toplami testi veya Wilcoxon Mann Whitney testi olarak da bilinmektedir Bu testi ilk defa esit hacimli iki orneklem verileri icin 1945 ortaya atmistir Sonradan Mann and Whitney 1947 tarafindan degisik buyuklukte iki orneklem problemleri analizleri icin uygulanip gelistirilmistir Degisik sifir hipotezlerMann Whitney U testi iki orneklem verilerini ele alip bu verilerin ayni anakutleden mi yoksa degisik iki anakutleden mi geldigi sorununu inceler Ama bu test icin seklen biraz degisik problem sartlari ve on varsayimlar bulunmasi imkani vardir Mann Whitney testi icin en genis kullanisi icin sifir hipoteze veri olan iki orneklemin tek bir anakutleden geldigidir ve bu nedenle bu anakutle tek bir egilim gosterir veya dagilimlar aynen esittir Bu sinama icin iki orneklemin istatistiksel olarak birbirinden bagimsiz olmasi gerekir Orneklem verileri icin en zayif sekilde ya da niceliksel olarak veya olmalidir Bu varsayim yapilmasinin nedeni hic olmazsa iki gozlemin birbiriyle karsilastirinca hangisinin daha buyuk oldugunu bilmek mumkun olmasidir Bu sekilde parametrik olmayan istatistik sinamanin parametrik istatistik sinama analogu iki ortalama arasindaki fark icin t sinamasidir Eger bu t sinamasi icin iki orneklem de siralama sekilde sirasal olcekli veri kullaniliyorsa Mann Whitney testi ile parametrik ortalamalar arasindaki fark icin t sinamasi arasinda nerede ise hic fark olmayacaktir Mann Whitney sinamasi biraz degisik problem icin ve degisik sifir hipotez icin de uygulanabilir Bu sekildeki sifir hipotez bir anakutleden gelen orneklem veri ile ikinci anakutleden gelen bir baska veri arasindaki farkin 0 5 olmasidir Bu degisik hipotez sinamasi icin iki anakutlenin dagilimlarin bir sabit kayma haricinde ayni oldugu varsayilmaktadir Yani eger f1 x displaystyle f 1 x birinci anakutleden f2 x displaystyle f 2 x anakutleden gelirse bu iki degisik orneklem degeri arasindaki iliski su oldugu f1 x f2 x d displaystyle f 1 x f 2 x delta varsayilmaktadir Ucuncu bir sekilde problem uygulamasi ve degisik anlamli bir sifir hipotez sinamanin olan iki anakutlenin merkezsel konum olculeri arasindaki farkin sifir olmasidir Bu turlu iki orneklemli problem icin Hodges Lehman kestirimi birinci ve ikinci orbeklem arasindaki her bir veri gozlem farkinin meydanidir Bu sekilde problem belirlenmesi halinde bircok kisi Mann Whitney sinamasinin medyanlar arasindaki farki sinadigini onermektedirler ancak bu kesin olarak dogru degildir Her ne sekilde problem belirlenirse belirlensin genellikle Mann Whitney sinamasi icin hipotezler soyle kurulur Verileri elde bulunan iki orneklemin iki degisik anakutle A ve anakutle Bden geldigi dusunulsun Bu sinama icin sifir hipotez yani H0 A ve B anakutlerinin ayni dagilim gosterdigidir Karsit hipotez H1 ise yonlu hipotez olan A anakutlesinin B anakutlesinden turel en stochastic olarak daha buyuk oldugudur H1 kabul edilirse A dan elde edilen puanlar B den elde edilen puanlardan 1 2 degerinde daha buyuktur Yani matematiksel bicimle eger a A dan ve b B den birer gozlem iseler p a gt b gt gt 1 2 Diger bir yonlu H1 hipotezi de yani B nin turel olarak A dan daha buyuk olmasi da sinanabilir Cok kere hangi yonlu karsit hipotez secilecegi sorunda belirlenmemistir Bu halde hacmi daha buyuk olan ya da orneklem hacimleri ayni ise ortalamasi daha buyuk olan orneklemin diger orneklemden daha buyuk oldugu H1 olarak kabul edilir Hesaplama yontemleriBu sinama U adi verilen bir sinama istatistiginin hesaplanmasini onerir Sifir hipotez altinda U istatistigi icin dagilim bilinmektedir Kucuk hacimli yani 20 den kucuk verili orneklemler icin U dagilimi icin bir tablo hazirlanmistir Fakat orneklem hacmi 20nin uzerinde ise normal dagilim kullanan cok iyi bir yaklasim bulunmaktadir Bazi istatistik kitaplari U istatistiginin analogu olan bir orneklemdeki siralama numaralari toplamlarini gosteren tablolar da vermektedirler Mann Whitney U sinamasi modern komputer istatistik paketlerinin cogunda uygulandigi icin eger bu paketlerden birisi el altinda ise hesaplamalara hic hacet kalmadan sonuclar alini tefsir edilebilir Ancak bu sinamanin nasil ve ne seklide yapildigi anlanmak istenirse ornegin veri toplanip elle hesaplarin yapilmasi en iyi ogretici alettir Ozellikle veri hacmi kucuk ise Mann Whitney U degeri el hesaplari ile kolayca bulunabilmektedir Bu el hesabi ile Mann Whitney U istatistigini bulmak icin iki biraz degisik yaklasim gerektiren yontem vardir Eger orneklem hacmi kucukse yani gozlem sayisi 20nin altinda ise bir direkt yontem kullanilmasi cok hizli sonuc verdigi ve hesaplar yapilirken U istatistigin altinda yatan prensiplerin hemen anlasildigi icin tavsiye edilir Eldeki iki orneklemi acele olarak gozden gecirdikten sonra siralamada genellikle daha kucuk gorunen orneklem baz orneklem olarak secilir ve buna Orneklem 1 adi verilir ve diger orneklem ise Orneklem 2 olarak adlandirilir Bu secimi yapmanin tek nedeni hesaplarin biraz daha kolaylastirilmasini saglamak icindir Orneklem 2 deki her bir veri tek basina alinir Orneklem 1 de bulunan veriler bu veri degeri ile karsilastirilir Her daha buyuk degere 1 puan ve her ayni degere 1 2 puan vererek toplam puan sayisi kaydedilir Bu islem butun Orneklem 2 elemanlari icin yapilir ve her eleman icin toplam puan bulunur Bu her eleman icin puanlarin tum elamanlar icin toplami U istatistigi degeri olur Eger orneklem hacmi buyuk ise bir siralama duzeni kurulmasi ve bir formul kullanimi gereklidir Tum gozlemleri bir araya alarak iki degisik orneklem oldugunu bu hesap icin unutarak bir siralama duzeni elde edilir Eger beraberlik varsa her bereaber degere ortalama siralama numarasi verme yani 1 2 5 2 5 4 stratejisi uygulanir Orneklemlerden biri keyfi olarak Orneklem 1 olarak secilir Orneklem 1deki siralama numaralarinin toplami R1 displaystyle R 1 olarak bulunur Beraberlik icin ozel 1 2 5 2 5 4 stratejisi uygulandigi icin her iki orneklem icin siralama numaralarinin toplaminin N iki orneklemdeki toplam gozlem sayisi oldugu bilinmektedir N eksi Orneklem 1 siralama numaralari toplami Orneklem 2 siralama numaralari toplamini yani R2 n R1 displaystyle R 2 n R 1 verir Iki tane formul kullanilarak iki U istatistik adayi hesaplanir Bunlardan U1 displaystyle U 1 Orneklem 1 icin gozlem sayisini ve toplam siralama numarasi sayisini U2 displaystyle U 2 ise Orneklem 2 icin gozlem sayisini ve toplam siralama numarasi sayisini kullanir Formuller sudur U1 R1 n1 n1 1 2 displaystyle U 1 R 1 n 1 n 1 1 over 2 U2 R2 n2 n2 1 2 displaystyle U 2 R 2 n 2 n 2 1 over 2 dd Burada n1 Orneklem 1 icin orneklem hacmi R1 Orneklem 1 icin siralama numaralari toplami n2 Orneklem 2 icin orneklem hacmi R2 Orneklem 2 icin siralama numaralari toplami olur Kontrol icin U1 ile U2 icin toplam alinir Bu deger iki orneklem hacim sayilarinin carpimina esit olmalidir yani U1 U2 n1n2 displaystyle U 1 U 2 n 1 n 2 dd Bulunan U1 ve U2 degerlerinden kucugu hazirlanmis olan U istatistigi anlamlilik tablosunda kullanilir Normal yaklasimEger orneklem hacimleri buyukse anlamlilik duzeyini bulmak icin su standart normal dagilim yaklasimi kullanilir z U mU sU displaystyle z U m U sigma U Burada z standart normal dagilim tablolarinda kullanilan z puani mU displaystyle m U ve sU displaystyle sigma U ise eger sifir hipotez dogruysa U icin ortalama ve standart sapma olup su formullerle bulunurlar mU n1 n2 2 displaystyle m U n 1 cdot n 2 2 sU n1n2 n1 n2 1 12 displaystyle sigma U sqrt n 1 n 2 n 1 n 2 1 over 12 Ancak orneklem verileri icin siralamada beraberlikler varsa bu degerlerin beraberlikler icin duzeltilmesi gerekir Fakat el hesaplanmalarinda bu duzeltmeler cok defa kullanilmamaktadir istatistik paket programlari ise bu duzeltmeleri hemen rutin olarak yapmaktadirlar Diger sinamalara iliskiU test iki bagimsiz orneklem icin ile cok benzer sartlar bulundugu zaman kullanilir Bunlardan hangi sinamanin ne zaman kullanilmasi gerektigi sorusu hemen ortaya cikmaktadir Eger veriler sirasal olcekli ise U testi eger orneklem verileri araliksal veya oransal olcekli ise genel olarak t testi tercih edilmelidir Ancak araliksal veya oransal olcekli veriler halinde eger orneklem verileri icinde bir veya ikiden cok aykiri deger varsa veya eger anakutle dagilimlarinin normal olmaktan cok uzak ve orneklem hacimlerinin yeter derecede buyuk oldugu biliniyor ise yine parametrik olmayan U testi tercih edilir Diger taraftan bazi istatistikciler eger iki orneklem birbirinden cok degisikse U testinin tercih edilmesi gerektigini bildirirler Ancak U sinamasi sifir hipotez dogru ise iki orneklemin ayni dagilimdan geldigini varsaymaktadir Eger iki orneklem degisik iki anakutle dagilimindan gelmekte ise bu varsayima gore hazirlanmis ozel yaklasimli serbestlik dereceli t testinin daha uygun sonuclar verecegi ispat edilmistir Bu halde bazi istatistikciler ornegin Conover 1999 verilerin siralama duzenine koyulup siralama numaralari icin t testi uygulanmasini tavsiye etmektedirler U testi diger bazi parametrik olmayan istatistik analiz yontemleri ile iliskili bulunmaktadir Eger veriler iki deger 0 1 alan isimsel olcekli iseler U istatistigi ve teorik olarak aynidir r adi verilen bir istatistik U istatistigi ile dogrusal olarak bagimlidir r iki dagilim icin birbirine ne kisimda cakistiklarini olcen bir parametrik olmayan istatistik olup 0 ile 1 arasinda degismektedir Eger r 0 5 ise iki dagilim tam olarak birbirleri ile cakismaktadir Uc degerlerde yani r 0 veya r 1 olursa iki dagilim birbirine hic dokunmamaktadir r degeri Unun n1 n2 ile bolunmesi sonucu elde edilmektedir Ornegin ve sonuclarIcsel kaynaklarKaynakca Wilcoxon F 1945 Individual comparisons by ranking methods Biometrics Bulletin C 1 say 80 83 Mann H B ve Whitney D R 1947 On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other Annals of Mathematical Statistics C 18 Say 50 60 Conover W J 1999 Practical Nonparametric Statistics 3ncu Ed New York Wiley Dissal kaynaklar 1 15 Haziran 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde ALGLIB C C Delphi Visual Basic vb yazilimli Mann Whitney U sinamasi uygulamasini kapsayan programlar kitapligi Hollander M ve Wolfe D A 1999 Nonparametric Statistical Methods 2 Ed New York Wiley Lehmann E L 2006 Nonparametrics Statistical Methods Based On Ranks New York Springer 2 olu kirik baglanti Mann Whitney U dagilimi icin kritik degerler tablosu pdf istatistiksel program paketi Wilcoxon iki orneklem sinamasi adi altinda wilcox test bu sinamanin uygulamasini kapsar Siegel S ve Castellan N J 1988 Nonparametric Statistics for Behavioural Science 2 rev ed Nre York McGraw Hill