Mittag-Leffler teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Mittag-Leffler teoremi, önceden verilmiş ve belirli özellikleri sağlayan bir noktalar kümesinde kutupları olan meromorf fonksiyonların varlığıyla ilgili olan bir sonuçtur. Bu sonuç, önceden verilmiş ve yine bazı özellikleri sağlayan noktalar kümesinde sıfır değerleri alan holomorf fonksiyonların varlığıyla ilgili olan Weierstrass çarpım teoremi ile parallellik taşımaktadır.

Teorem, 1876 ve 1884'te teoremi bugün halinden farklı şekilde yayınlayan İsveçli matematikçi Gösta Mittag-Leffler'in adını taşımaktadır.

Teoremin ifadesi

${\displaystyle U\subset \mathbb {C} }$ açık küme, ${\displaystyle E\subset U}$ ise, eğer varsa, limit noktaları ${\displaystyle U}$'nun sınırında olan bir altküme olsun. ${\displaystyle E}$deki her ${\displaystyle a}$ noktası için ${\displaystyle p_{a}(z)}$ fonksiyonu ${\displaystyle 1/(z-a)}$'nın sabit katsayılı polinomu olsun; diğer deyişle, $${\displaystyle p_{a}(z)=\sum _{n=1}^{N_{a}}{\frac {c_{a,n}}{(z-a)^{n}}},\quad c_{a,n}\in \mathbb {C} .}$$ O zaman, ${\displaystyle U}$ üzerinde meromorf bir ${\displaystyle f}$ fonksiyon vardır, ${\displaystyle f}$ fonksiyonun kutup noktalarının kümesi ${\displaystyle E}$ ile aynıdır ve ${\displaystyle E}$deki her ${\displaystyle a}$ noktası için ${\displaystyle f(z)-p_{a}(z)}$ fonksiyonun ${\displaystyle a}$ noktasında sadece kaldırılabilir tekilliği vardır. Ayrıca, ${\displaystyle f}$nin ${\displaystyle a}$ noktasıdaki Laurent serisinin negative üslü kısmı ${\displaystyle p_{a}(z)}$'ye eşittir. Eğer ${\displaystyle f}$den başka meromorf bir ${\displaystyle g}$ fonksiyonu ${\displaystyle U}$ üzerinde aynı özellikleri taşıyorsa, o zaman ${\displaystyle f=g+h}$ yazılabilir ve burada ${\displaystyle h}$ holomorf olur.

Kanıtın taslağı

Olası bir kanıt taslağı şu şekildedir. Eğer ${\displaystyle E}$ sonlu bir küme ise ${\displaystyle p_{a}(z)}$ almak yeterldir. ${\displaystyle E}$ sonlu bir küme değilse, ${\displaystyle E}$'nin altkümesi olan sonlu bir ${\displaystyle F}$ kümesi için ${\textstyle S_{F}(z)=\sum _{a\in F}p_{a}(z)}$ fonksiyonunu ele alalım. ${\displaystyle F}$ kümesi ${\displaystyle E}$ kümesine yaklaşırken ${\displaystyle S_{F}(z)}$ yakınsamayabilir. Ancak, Runge teoremi vasıtasıyla kutupları ${\displaystyle U}$'nun dışında kalacak şekilde iyi seçilmiş fonksiyonları ${\displaystyle S_{F}(z)}$ fonksiyondan çıkarıp hem Laurent serisindeki negatif üslü terimleri koruyabiliriz hem de yakınsaklığı güvence altına almış oluruz.

Örnek

Diyelim ki bütün pozitif tamsayılarda kalıntısı 1 olan basit kutuplu bir meromorf fonksiyon bulmak istiyoruz. O zaman, ${\displaystyle E=\mathbb {Z} ^{+}}$ ve ${\displaystyle k\in E}$ için ${\displaystyle p_{k}(z)={\frac {1}{z-k}}}$. Mittag-Leffler teoremi sayesinde ${\displaystyle z=k}$ noktasindak' Laurent serisinin negati üslü kısmının ${\displaystyle p_{k}(z)}$'ye eşit olduğu meromorf bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonu vardır. Hatta, bu fonksiyonu, $${\displaystyle f(z)=z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(z-k)}}}$$ olarak alabiliriz. Bu seri, ${\displaystyle \mathbb {C} \smallsetminus \mathbb {Z} ^{+}}$ kümesinin herhangi bir tıkız altkümesi üzerinde istediğimiz özelliklere sahip meromorf bir fonksiyona .

Bazı meromorf fonksiyonların kutup açılımları

$${\displaystyle \tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8z}{(2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2}}}}$$ $${\displaystyle \csc(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n}}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sec(z)\equiv -\csc \left(z-{\frac {\pi }{2}}\right)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {(-1)^{n-1}}{z-\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi }}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n+1)\pi }{(n+{\frac {1}{2}})^{2}\pi ^{2}-z^{2}}}}$$ $${\displaystyle \cot(z)\equiv {\frac {\cos(z)}{\sin(z)}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n\pi }}={\frac {1}{z}}+2z\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}-(k\,\pi )^{2}}}}$$ $${\displaystyle \csc ^{2}(z)=\sum _{n\in \mathbb {Z} }{\frac {1}{(z-n\,\pi )^{2}}}}$$ $${\displaystyle \sec ^{2}(z)={\frac {d}{dz}}\tan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {8((2n+1)^{2}\pi ^{2}+4z^{2})}{((2n+1)^{2}\pi ^{2}-4z^{2})^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {1}{z\sin(z)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n\neq 0}{\frac {(-1)^{n}}{\pi n(z-\pi n)}}={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {2}{z^{2}-(n\,\pi )^{2}}}}$$

Kaynakça

1. ^ Mittag-Leffler (1876). "En metod att analytiskt framställa en funktion af rational karakter, hvilken blir oändlig alltid och endast uti vissa föreskrifna oändlighetspunkter, hvilkas konstanter äro på förhand angifna". Öfversigt af Kongliga Vetenskaps-Akademiens förhandlingar Stockholm. 33 (6). ss. 3-16. 
2. ^ Mittag-Leffler (1884). "Sur la représentation analytique des fonctions monogènes uniformes dʼune variable indépendante". Acta Mathematica. Cilt 4. ss. 1-79. doi:10.1007/BF02418410.  Geçersiz |doi-access=free ()
3. ^ Turner, Laura E. (1 Şubat 2013). "The Mittag-Leffler Theorem: The origin, evolution, and reception of a mathematical result, 1876–1884". Historia Mathematica (İngilizce). 40 (1). ss. 36-83. doi:10.1016/j.hm.2012.10.002. ISSN 0315-0860.  Geçersiz |doi-access=free ()

• Ahlfors, Lars (1953), Complex analysis, 3rd, McGraw Hill (1979 tarihinde yayınlandı), ISBN  .
• Conway, John B. (1978), Functions of One Complex Variable I, 2nd, Springer-Verlag, ISBN  .

Ayrıca bakınız

• Weierstrass çarpım teoremi

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Mittag-Leffler theorem", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN