Montel teoremi

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde, Montel teoremi holomorf fonksiyon ilgili bir teoremdir. İsmini adlı matematikçiden almıştır ve şunu ifade etmektedir:

Karmaşık sayılardan oluşan bir açık küme üzerinde tanımlı bir holomorf fonksiyonlar ailesi ancak ve ancak bu aile ise .

Teorem, karmaşık analizin her boyutunda geçerlidir ancak dikkat edilmesi gereken normal ailenin her boyutta nasıl tanımlandığıdır. Eğer sadece karmaşık düzlem üzerindeki sonuca bakılıyorsa teorem şu şekilde de ifade edilebilir: ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ karmaşık düzlemdeki açık bir D kümesi üzerinde tanımlı, bu kümenin her noktasının civarında karmaşık türevlenebilir bir fonksiyon ailesiyse şu sonuçlar vardır:

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 'deki her dizinin bir altdizisi vardır.
2. D 'deki her x noktasının bir N komşuluğu ve bir B sınırı vardır öyle ki ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ 'deki bütün fonksiyonlar N üzerine sınırlandığında bu fonksiyonların en fazla B olabilir.

Her normal ailenin yerel olarak sınırlı olacağı sonucu kolaylıkla elde edilebilir: Eğer ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, x noktasında yerel sınırlı değilse, o zaman herhangi bir n tam sayısı için x 'ten 1/n uzaklığındaki her noktada normu en az n olan bir f_n fonksiyonu vardır. Her n için bulunan bu f_n ler bir fonksiyonlar dizisi olarak alınırsa, o zaman bu dizinin düzgün yakınsak olan bir alt dizisi olamaz. Teoremin aslında güçlü olan yanı diğer önermesidir ve şu şekilde de anlatılabilir: Karmaşık sayılardan oluşan açık bir D kümesi üzerinde tanımlı ve yerel sınırlı olan her holomorf fonksiyonlar dizisinin bir alt dizisi vardır öyle ki bu altdizi D üzerinde tanımlı holomorf bir fonksiyona tıkız olarak yakınsar.

Teoremin kanıtının ilk başta kullandığı araçlar Cauchy integral formülü ve . Daha sonra tekrar tekrar kullanılarak elde edilir.

Bu teoremin bir diğer ismi de Stieltjes–Osgood teoremidir ve bu isim de ve adlı matematikçilere atıfla verilmiştir.

Ayrıca bakınız

Notlar

1. ^ Hartje Kriete (1998). Progress in Holomorphic Dynamics (İngilizce). CRC Press. s. 164. 23 Ekim 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 1 Mart 2009. 
2. ^ Reinhold Remmert, Leslie Kay (1998). Classical Topics in Complex Function Theory (İngilizce). Springer. s. 154. 23 Ekim 2012 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 1 Mart 2009. 

Kaynakça

• Conway, John B. (1978). Functions of One Complex Variable I (İngilizce). Springer-Verlag. ISBN . 
• Schiff, J. L. (1993). Normal Families (İngilizce). Springer-Verlag. ISBN . 

Bu makale PlanetMath'deki Montel's theorem maddesinden lisansıyla faydalanmaktadır.