Matematikte paralelkenar yasasının en temel formu ayrıca paralelkenar özdeşliği denir temel geometriye aittir Yasa

Matematikte paralelkenar yasasının en temel formu (ayrıca paralelkenar özdeşliği denir), temel geometriye aittir. Yasa, paralelkenarın tüm kenarlarının karelerinin toplamının köşegenlerinin karelerinin toplamına eşit olduğunu söyler.

Bir paralelkenar üzerinde kenarlar mavi, köşegenler ise kırmızı ile gösterilmiştir.

Teoremin açıklaması

Yandaki gösterimdeki paralelkenarın kenarları; (AB), (BC), (CD) ve (DA)'dır. Öklidci geometriden beri, paralelkenarın karşılıklı kenarları mutlaka eşit olmalıdır. Yani, (AB) = (CD) ve (BC) = (DA)'dır.

Yasa şu şekilde ifade edilebilir,

2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}\,

Paralel kenarın dikdörtgen olması durumunda ise köşegenler eşit olmalıdır (AC) = (BD) yani,

2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}\,

İfade, dört kenarı eşit olmayan genel dörtgenler içinse Pisagor teoremine indirgenebilir,

(AB)^{2}+(BC)^{2}+(CD)^{2}+(DA)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}+4x^{2}.\,

burada x köşegenlerinin birleştiren çizginin uzunluğudur. Şemada görüldüğü gibi, paralelkenar için x = 0 ve genel formül paralelkenar yasasındakine eşdeğerdir.

İç çarpım uzayları içinde paralelkenar kanunu

Paralelkenar kanunu içinde ilgili vektörler.

Bir içinde paralelkenar kanununun durumu ilişkili bir denklemdir:

2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.\,

Bir içinde,norm kullanımı belirleniyor:

\|x\|^{2}=\langle x,x\rangle .\,

Tanımın bir sonucu olarak, bir iç çarpımlı uzay içinde parallelkenar kanunu bir cebrik özdeşliktir,iç çarpımın özellikleri kullanılarak kolayca kurulmuştur:

\|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,\,

\|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .\,

bu iki bağıntı ekleniyor:

\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},\,

olarak gereklidir.

Eğer x yye ortogonal ise, $\langle x,\ y\rangle =0$ ve alınan bir toplamın normu için yukarıdaki denklem :

\|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2},

Bu pisagor teoremidir.

Normlu vektör uzaylarını paralelkenar kanunu karşılar

En gerçek ve karmaşık iç çarpımlı değildir, ama tüm normlu vektör uzaylarının normları var (tanımı ile).Örneğin, bir ortak kullanılan norm :

\|x\|_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p},

$x_{i}$ burada $x$ vektörünün bileşenleridir.

Verilen bir norm, yukarıda paralelkenar kanununun iki tarafını teke evriltilebilir. Dikkat çekici gerçektir şudur ki paralelkenar kanunu tutarlı ise, o zaman standart bir iç çarpım, alışılmış bir yolla ortaya çıkmalıdır. Özel olarak, bu p-norm'un ancak ve ancak p = 2,Öklidyen norm veya standard norm gibi-adlandırılması uygundur.

Herhangi norm için paralelkenar kanunu karşılar (bu zorunlu olarak bir iç çarpım normudur), iç çarpım üreten norm bir sonucu olarak tekliktir. Gerçek durum içinde,polarizasyon özdeşliği ile veriliyor:

\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4},\,

veya, eşdeğerliği, ile:

{\|x+y\|^{2}-\|x\|^{2}-\|y\|^{2} \over 2}{\text{ veya }}{\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 2}.\,

karmaşık durum içinde aşağıdaki ile veriliyor:

\langle x,y\rangle ={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}+i{\|ix-y\|^{2}-\|ix+y\|^{2} \over 4}.

Örneğin, p-norm ile p = 2 ve gerçel vektörler $x,\ y\,$ kullanılıyor, iç çarpımın evirtimi için süreç aşağıdadır:

{\begin{aligned}\langle x,y\rangle &={\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2} \over 4}\\&={\frac {1}{4}}\left[\sum |x_{i}+y_{i}|^{2}-\sum |x_{i}-y_{i}|^{2}\right]\\&={\frac {1}{4}}\left[4\sum x_{i}y_{i}\right]\\&=(x\cdot y),\end{aligned}}

bu iki vektörlerin standart nokta çarpımıdır.

Notlar ve iç-hat kaynakları

^ Cyrus D. Cantrell (2000). Modern mathematical methods for physicists and engineers. Cambridge University Press. s. 535. ISBN . if p ≠ 2, there is no inner product such that ${\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}$ because the p-norm violates the parallelogram law.
^ Karen Saxe (2002). Beginning functional analysis. Springer. s. 10. ISBN . 5 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 23 Nisan 2014.

Ayrıca bakınız

Apollonius teoremi

Dış bağlantılar

at Dreamshire blog3 Şubat 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
The Parallelogram Law: A Proof Without Words 1 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde . at Cut-the-Knot
Proof of Parallelogram Law 24 Nisan 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde . at PlanetMath
A generalization of the "Parallelogram Law/Identity" to a Parallelo-hexagon and to 2n-gons in General - Relations between the sides and diagonals of 2n-gons (Douglas' Theorem) 4 Mart 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde . at Dynamic Geometry Sketches 11 Kasım 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., an interactive dynamic geometry sketch.

[Pelinovsky-1] Cyrus D. Cantrell (2000). Modern mathematical methods for physicists and engineers. Cambridge University Press. s. 535. ISBN . if p ≠ 2, there is no inner product such that ${\sqrt {\langle x,\ x\rangle }}=\|x\|_{p}$ because the p-norm violates the parallelogram law.

[Saxe-2] Karen Saxe (2002). Beginning functional analysis. Springer. s. 10. ISBN . 5 Temmuz 2014 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 23 Nisan 2014.