Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Çemberlerde Thales teoremi, alınan A, B ve C noktalarının bir çember üzerinde ve AC doğrusunun bu çemberin çapı olması durumunda, ABC açısının dik açı olacağını belirten geometri teoremi. Thales teoremi çevre açı kurallarının özel bir hâlidir. Adını Thales'ten alan teorem, genellikle ona atfedilir ancak bazı yerlerde Pisagor'la da ilişkilendirilir.
İspat
Teoremin ispatında yararlanılacak kurallar:
- bir üçgenin iç açıları toplamı iki dik açıya (180°) eşittir,
- ikizkenar üçgenlerin taban açıları birbirine eşittir.
O çemberin merkezi olarak alınsın. OA = OB = OC olduğundan, OBA ile OBC birer ikizkenar üçgendir; ikizkenar üçgenin taban açılarının eşitliğinden, OBC = OCB ve BAO = ABO yazılır. (α) = BAO ve (β) = OBC diye adlandırılsın. ABC üçgenin iç açıları α, α + β ve β olacaktır. İç açılar toplamının iki dik açıya eşitliğinden
yani
ya da sadeleştirilirse
Tersi
Thales teoreminin hali de geçerlidir; yani bir dik üçgenin hipotenüsü, üçgenin çevrel çemberinin çapıdır.
Thales teoremiyle evirimi birleştirildiğinde elde edilecek ifade:
- Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezi, ancak ve ancak bir dik üçgen ise üçgenin kenarları üzerindedir.
Geometriyle ispatı
İspat dik üçgen dikdörtgene tamamlanarak ve dikdörtgenin merkezinin köşelere eşit uzaklıkta, dolayısıyla orijinal üçgenin çevrel çemberinin merkezi, olduğu göz önüne alınarak yapılır. İki bilgi kullanılır:
- bir paralelkenarın karşılıklı açıları bütünlerdir (toplamları 180°),
- bir dikdörtgenin köşegenleri eşit uzunluktadır ve birbirlerini orta noktalarında keserler.
ABC dik açısı, A'dan geçen BC'ye paralel r doğrusu ve C'den geçen AB'ye paralel s doğrusu alınsın. D r ile s doğrularının kesişim noktası olarak tanımlansın. (henüz D'nin çember üzerinde olduğu kesin değil)
Oluşan ABCD dörtgeni bir paralelkenardır (karşılıklı kenarları birbirine paralel). Paralelkenarın karşılıklı açıları bütünler (toplamları 180°) ve ABC açısının dik açı (90°) olduğu bilindiğinden BAD, BCD ve ADC açıları da diktir; yani ABCD bir dikdörtgendir.
AC ve BD köşegenlerinin kesişim noktası O olsun. O noktası, yukarıdaki ikinci bilgiye göre, A, B ve C köşelerine eşit uzaklıktadır. Bu durumda O çevrel çemberin merkezi ve üçgenin hipotenüsü AC çemberin çapı olur.
Lineer cebirle ispatı
İspat için iki bilgi kullanılacaktır:
- iki doğru arasında ancak ve ancak doğrultu vektörlerinin skaler çarpımı sıfırsa, dik açı bulunur
- bir vektörün boyutunun karesi, vektörün kendisiyle skaler çarpımıyla bulunur.
ABC dik açısı ve AC çaplı M çemberi alınsın. İşlemlerin basitleşmesi için M'in merkezi orijinde kabul edilsin. Buna göre
- A = − C, çünkü AC çaplı çemberin merkezinde orijinde ve
- (A − B) · (B − C) = 0, ABC dik açı.
İfadeler düzenlenirse
- 0 = (A − B) · (B − C) = (A − B) · (B + A) = |A|2 − |B|2.
Sonuçta:
- |A| = |B|.
Yukarıdaki bağıntıya göre A ile B orijine, diğer bir ifadeyle M 'nin merkezine, eşit mesafededir. A 'nın M üzerinde olduğu düşünüldüğünde, B de çember üzerinde yer alacaktır ve bu durumda M çemberi üçgenin çevrel çemberidir.
Yapılan tüm işlemler Thales teoreminin, her iki yönde de, herhangi bir geçerli olduğunu gösterir.
Uygulamaları
Thales teoremi yardımıyla bir çembere istenilen noktadan teğet çizilebilir. (Şekilde gösterildiği gibi) O merkezli bir k çemberi ve çember dışında bir P noktası alınarak, k'ye P'den geçen teğet(ler) (kırmızı) çizilmek istensin. Teğet doğrusu t'nin çembere T noktasında değdiği varsayalır (henüz bu bilinmiyor). Yarıçap OT teğete dik olacaktır. Sonrasında O ile P'nin orta noktasına H diyerek, O ile P'den geçen H merkezli bir çember çizilsin. Thales teoremine göre, istenen T noktası iki çemberin kesişim noktasıdır çünkü k üzerinde bulunur ve OTP dik üçgenini tamamlar.
Çemberlerin iki kesişimi olduğundan, bu yöntemle istenen noktadan geçecek iki teğet doğrusu da çizilebilir.
Tarihçe
ve ampirik olarak Thales teoremini biliyor olmaları gerektiği[] düşünülmekte olduğundan, Thales bu teoremi ilk bulan kişi değildir; ancak halkların teoremi ispatladığına dair herhangi bir kayıt yoktur. Teorem, Thales'in ikizkenar üçgenlerin taban açıları ve üçgenin iç açılarının toplamı gibi kendi çıkarımlarını kullanarak ispatı yapan ilk kişi olması nedeniyle, onun ismini almıştır.
Kaynakça
- Agricola, Ilka (2008). Elementary Geometry. AMS. s. 50. ISBN . 27 Aralık 2019 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 13 Eylül 2011.
- Heath, T.L. (1921). A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid. I. Oxford. s. 131.
Dış bağlantılar
- Eric W. Weisstein, Thales teoremi (MathWorld)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Cemberlerde Thales teoremi alinan A B ve C noktalarinin bir cember uzerinde ve AC dogrusunun bu cemberin capi olmasi durumunda ABC acisinin dik aci olacagini belirten geometri teoremi Thales teoremi cevre aci kurallarinin ozel bir halidir Adini Thales ten alan teorem genellikle ona atfedilir ancak bazi yerlerde Pisagor la da iliskilendirilir Thales teoremi eger AC capsa B dik acidir IspatTeoremin ispati AC cap oldugu surece B acisi sabit ve dik acidir Teoremin ispatinda yararlanilacak kurallar bir ucgenin ic acilari toplami iki dik aciya 180 esittir ikizkenar ucgenlerin taban acilari birbirine esittir O cemberin merkezi olarak alinsin OA OB OC oldugundan OBA ile OBC birer ikizkenar ucgendir ikizkenar ucgenin taban acilarinin esitliginden OBC OCB ve BAO ABO yazilir a BAO ve b OBC diye adlandirilsin ABC ucgenin ic acilari a a b ve b olacaktir Ic acilar toplaminin iki dik aciya esitliginden a a b b 180 displaystyle alpha left alpha beta right beta 180 circ yani 2a 2b 180 displaystyle 2 alpha 2 beta 180 circ ya da sadelestirilirse a b 90 displaystyle alpha beta 90 circ QEDTersiThales teoreminin hali de gecerlidir yani bir dik ucgenin hipotenusu ucgenin cevrel cemberinin capidir Thales teoremiyle evirimi birlestirildiginde elde edilecek ifade Bir ucgenin cevrel cemberinin merkezi ancak ve ancak bir dik ucgen ise ucgenin kenarlari uzerindedir Geometriyle ispati Evirmenin gecerliligin ispati Ispat dik ucgen dikdortgene tamamlanarak ve dikdortgenin merkezinin koselere esit uzaklikta dolayisiyla orijinal ucgenin cevrel cemberinin merkezi oldugu goz onune alinarak yapilir Iki bilgi kullanilir bir paralelkenarin karsilikli acilari butunlerdir toplamlari 180 bir dikdortgenin kosegenleri esit uzunluktadir ve birbirlerini orta noktalarinda keserler ABC dik acisi A dan gecen BC ye paralel r dogrusu ve C den gecen AB ye paralel s dogrusu alinsin D r ile s dogrularinin kesisim noktasi olarak tanimlansin henuz D nin cember uzerinde oldugu kesin degil Olusan ABCD dortgeni bir paralelkenardir karsilikli kenarlari birbirine paralel Paralelkenarin karsilikli acilari butunler toplamlari 180 ve ABC acisinin dik aci 90 oldugu bilindiginden BAD BCD ve ADC acilari da diktir yani ABCD bir dikdortgendir AC ve BD kosegenlerinin kesisim noktasi O olsun O noktasi yukaridaki ikinci bilgiye gore A B ve C koselerine esit uzakliktadir Bu durumda O cevrel cemberin merkezi ve ucgenin hipotenusu AC cemberin capi olur Lineer cebirle ispati Ispat icin iki bilgi kullanilacaktir iki dogru arasinda ancak ve ancak dogrultu vektorlerinin skaler carpimi sifirsa dik aci bulunur bir vektorun boyutunun karesi vektorun kendisiyle skaler carpimiyla bulunur ABC dik acisi ve AC capli M cemberi alinsin Islemlerin basitlesmesi icin M in merkezi orijinde kabul edilsin Buna gore A C cunku AC capli cemberin merkezinde orijinde ve A B B C 0 ABC dik aci Ifadeler duzenlenirse 0 A B B C A B B A A 2 B 2 Sonucta A B Yukaridaki bagintiya gore A ile B orijine diger bir ifadeyle M nin merkezine esit mesafededir A nin M uzerinde oldugu dusunuldugunde B de cember uzerinde yer alacaktir ve bu durumda M cemberi ucgenin cevrel cemberidir Yapilan tum islemler Thales teoreminin her iki yonde de herhangi bir gecerli oldugunu gosterir UygulamalariThales teoremi kullanilarak teget cizimi Thales teoremi yardimiyla bir cembere istenilen noktadan teget cizilebilir Sekilde gosterildigi gibi O merkezli bir k cemberi ve cember disinda bir P noktasi alinarak k ye P den gecen teget ler kirmizi cizilmek istensin Teget dogrusu t nin cembere T noktasinda degdigi varsayalir henuz bu bilinmiyor Yaricap OT tegete dik olacaktir Sonrasinda O ile P nin orta noktasina H diyerek O ile P den gecen H merkezli bir cember cizilsin Thales teoremine gore istenen T noktasi iki cemberin kesisim noktasidir cunku k uzerinde bulunur ve OTP dik ucgenini tamamlar Cemberlerin iki kesisimi oldugundan bu yontemle istenen noktadan gececek iki teget dogrusu da cizilebilir Tarihceve ampirik olarak Thales teoremini biliyor olmalari gerektigi kaynak belirtilmeli dusunulmekte oldugundan Thales bu teoremi ilk bulan kisi degildir ancak halklarin teoremi ispatladigina dair herhangi bir kayit yoktur Teorem Thales in ikizkenar ucgenlerin taban acilari ve ucgenin ic acilarinin toplami gibi kendi cikarimlarini kullanarak ispati yapan ilk kisi olmasi nedeniyle onun ismini almistir KaynakcaAgricola Ilka 2008 Elementary Geometry AMS s 50 ISBN 0821843478 27 Aralik 2019 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 13 Eylul 2011 Heath T L 1921 A History of Greek Mathematics From Thales to Euclid I Oxford s 131 Dis baglantilarEric W Weisstein Thales teoremi MathWorld