Trigonometrik fonksiyonların türevi

Fonksiyon	Türev
${\displaystyle \sin(x)}$	${\displaystyle \cos(x)}$
${\displaystyle \cos(x)}$	${\displaystyle -\sin(x)}$
${\displaystyle \tan(x)}$	${\displaystyle \sec ^{2}(x)}$
${\displaystyle \cot(x)}$	${\displaystyle -\csc ^{2}(x)}$
${\displaystyle \sec(x)}$	${\displaystyle \sec(x)\tan(x)}$
${\displaystyle \csc(x)}$	${\displaystyle -\csc(x)\cot(x)}$
${\displaystyle \arcsin(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arccos(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arctan(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}}$
${\displaystyle \operatorname {arccot}(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}}$
${\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)}$	${\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$
${\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)}$	${\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Trigonometrik fonksiyonların türevleri, trigonometrik bir fonksiyonun türevini yani bir değişkene göre değişim oranını bulmanın matematiksel sürecidir. Örneğin, sinüs fonksiyonunun türevi ${\displaystyle sin'(a)=cos(a)}$ şeklinde yazılır, bu da sin(x) fonksiyonunun belirli bir açı x = a için değişim oranının o açının kosinüsü ile verildiği anlamına gelir.

Dairesel trigonometrik fonksiyonların tüm türevleri, tan(x) = sin(x)/cos(x) gibi fonksiyonlara uygulanan bölme kuralı ile sin(x) ve cos(x) türevlerinden elde edilebilir. Bu türevleri bildiğimizde, ters trigonometrik fonksiyonların türevleri örtük türev alma ile bulunur.

Trigonometrik fonksiyonların türevlerinin kanıtları

θ sıfıra yaklaşırken sin(θ)/θ limiti

Merkezi O olan, yarıçapı 1 olan bir daire

Sağdaki diyagramda, merkezi O olan ve yarıçapı r = 1 olan bir daire gösterilmektedir. İki yarıçap OA ve OB θ radyanlık bir yay oluşturur. θ'nın 0 < θ < 1/2 π aralığında ve birinci çeyrekte olan küçük pozitif bir sayı olduğunu varsayabiliriz.

Diyagramda, R₁OAB üçgeni, R₂OAB ve R₃OAC üçgenidir.

OAB üçgeninin alanı:

${\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}$

OAB daire diliminin alanı:

${\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta \,.}$

OAC üçgeninin alanı:

${\displaystyle \mathrm {Alan} (R_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}$

Her alan, bir sonrakinin içindedir, bu nedenle:

${\displaystyle {\text{Alan}}(R_{1})<{\text{Alan}}(R_{2})<{\text{Alan}}(R_{3})\implies {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}$

Ayrıca, birinci çeyrekte sin θ > 0 olduğu için, her iki tarafı 1/2 sin θ ile bölebiliriz:

${\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}$

Son adımda, üç pozitif terimin tersini aldığımız için eşitsizlikler tersine döner.

Sıkıştırma: Kırmızı ile gösterilen eğriler y = 1 ve y = cos θ, mavi eğri y = sin(θ)/θ

Sonuç olarak, 0 < θ < 1/2 π için sin(θ)/θ her zaman 1'den küçük ve her zaman cos(θ)'dan büyüktür. Dolayısıyla, θ sıfıra yaklaştıkça sin(θ)/θ 1 yüksekliğindeki bir tavanda ve cos θ yüksekliğindeki bir tabanda "sıkıştırılmıştır" ve bu yükseklik 1'e doğru yükselir; bu nedenle sin(θ)/θ sıfıra yaklaşırken:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}$

θ küçük bir negatif sayı olduğunda –1/2 π < θ < 0, sinüsün tek fonksiyon olduğunu kullanırız:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}=\lim _{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}$

θ sıfıra yaklaşırken (cos(θ)-1)/θ limiti

Son bölüm, bu yeni limiti görecek kadar kolay bir şekilde hesaplamamızı sağlar. Bu hesaplamada θ'nın işareti önemsizdir.

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}=\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)=\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}$

cos²θ – 1 = –sin²θ ve bir çarpımın limitinin, limitlerin çarpımına eşit olduğu gerçeğini kullanarak, bir önceki bölümden elde ettiğimiz limiti buluyoruz:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}=\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}=\left(-\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)=(-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}$

tan(θ)/θ Limitinin 0'a Yaklaşması

Sinüs fonksiyonu için limit, tanjant fonksiyonunun tek işlevsel olması ve bir çarpımın limitinin çarpımlarının limitleri olduğunu göz önünde bulundurarak şunu buluruz:

${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim _{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}$

Sinüs Fonksiyonunun Türevi

Limit tanımını kullanarak sinüs fonksiyonunun türevini hesaplayalım:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}$

Açı toplam formülünü kullanarak sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, şunu elde ederiz:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}$

Kosinüs Fonksiyonunun Türevi

Türev Tanımından

Kosinüs fonksiyonunun türevini limit tanımından tekrar hesaplayalım:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos(\theta +\delta )-\cos \theta }{\delta }}.}$

Açı toplam formülünü kullanarak cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, şunu elde ederiz:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}$

Sinüs ve kosinüs fonksiyonlarının limitlerini kullanarak:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}$

Zincir Kuralı ile

Kosinüs fonksiyonunun türevini zincir kuralından hesaplamak için şu üç eşitliği gözlemleyelim:

${\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

${\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }$

İlk iki eşitlik bir trigonometrik özdeşliktir, üçüncüsü ise yukarıda kanıtlanmıştır. Bu üç eşitliği kullanarak aşağıdaki gibi yazabiliriz:

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}$

Bunu zincir kuralını kullanarak türevini alabiliriz. ${\displaystyle f(x)=\sin x,\ \ g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta }$ olarak alırsak:

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta }$.

Dolayısıyla, şunu kanıtlamış olduk:

${\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }$.

Tanjant Fonksiyonunun Türevi

Türev Tanımından

Tanjant fonksiyonunun türevini ilk prensiplerden hesaplayalım. Tanıma göre:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}$

Açı toplam formülünü kullanarak tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β):

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim _{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}$

Bir çarpımın limitinin, limitlerinin çarpımına eşit olduğunu göz önünde bulundurarak:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim _{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim _{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}$

Tanjant fonksiyonu için limitleri kullanarak ve tan δ 'nin 0'a yaklaştığını göz önünde bulundurarak:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}$

Hemen şunu görüyoruz:

${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}$

Bölme kuralından

Tanjant fonksiyonunun türevini bölme kuralı kullanarak hesaplayabiliriz:

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta ={\frac {d}{d\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}$

Pay Pisagor özdeşliği ile 1 olarak sadeleştirilebilir, bu da bize:

${\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }$

Sonuç olarak:

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }$

Ters trigonometrik fonksiyonların türevleri

Aşağıdaki türevler, türevini almak istediğimiz ters trigonometrik fonksiyon için bir değişken y belirleyerek bulunur. Örtük türevleme kullanarak, ardından dy/dx için çözümleyerek, ters fonksiyonun türevini y cinsinden buluruz. dy/dx'yi tekrar x cinsine çevirmek için, bir referans üçgeni çizebiliriz. Bunun için birim çember üzerinde θ'yi y olarak alırız. Pisagor teoremi ve normal trigonometrik fonksiyonların tanımı kullanılarak, nihayetinde dy/dx'yi x cinsinden ifade edebiliriz.

Ters Sinüs Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

${\displaystyle y=\arcsin x\,\!}$

Burada:

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$

O halde:

${\displaystyle \sin y=x\,\!}$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

${\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}$

${\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}$

Yukarıdan ${\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}$ değerini yerine koyarak,

${\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}$

Yukarıdan ${\displaystyle x=\sin y}$ değerini yerine koyarak,

${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$

Sonuç olarak:

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Ters Kosinüs Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

${\displaystyle y=\arccos x\,\!}$

Burada:

${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$

O halde:

${\displaystyle \cos y=x\,\!}$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

${\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}$

${\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}$

Yukarıdan ${\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}$ değerini yerine koyarak,

${\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}$

Yukarıdan ${\displaystyle x=\cos y\,\!}$ değerini yerine koyarak,

${\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}$

Sonuç olarak:

${\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Alternatif olarak, ${\displaystyle \arcsin x}$ türevini belirledikten sonra, ${\displaystyle \arccos x}$ türevi, ${\displaystyle \arcsin x+\arccos x=\pi /2}$ özdeşliğini türevleyerek ${\displaystyle (\arccos x)'=-(\arcsin x)'}$ elde edilerek hemen takip edilir.

Ters Tanjant Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

${\displaystyle y=\arctan x\,\!}$

Burada:

${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}$

O halde:

${\displaystyle \tan y=x\,\!}$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

${\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}$

Sol taraf:

${\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}}$ Pisagor özdeşliğini kullanarak.

Sağ taraf:

${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

Sonuç olarak:

${\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}$

Yukarıdan ${\displaystyle x=\tan y\,\!}$ değerini yerine koyarak,

${\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}$

Sonuç olarak:

${\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Ters Kotanjant Fonksiyonunun Türevini Alma

Şunu alıyoruz:

${\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}$

Burada:

${\displaystyle 0<y<\pi }$. O halde:

${\displaystyle \cot y=x}$

Her iki tarafta türev alıyoruz ve dy/dx için çözümleyerek:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}$

Sol taraf:

${\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}}$ Pisagor özdeşliğini kullanarak.

Sağ taraf:

${\displaystyle {d \over dx}x=1}$

Sonuç olarak:

${\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}$

Yukarıdan ${\displaystyle x=\cot y}$ değerini yerine koyarak,

${\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}$

Sonuç olarak:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}$

Alternatif olarak, ${\displaystyle \arctan x}$ türevi yukarıda açıklandığı gibi elde edilirse, ${\displaystyle \arctan x+\operatorname {arccot} x={\dfrac {\pi }{2}}}$ özdeşliğinden, hemen şu sonuç elde edilir: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\dfrac {d}{dx}}\operatorname {arccot} x&={\dfrac {d}{dx}}\left({\dfrac {\pi }{2}}-\arctan x\right)\\&=-{\dfrac {1}{1+x^{2}}}\end{aligned}}}$$

Ters Sekant Fonksiyonunun Türevini Alma

Örtük Türevleme Kullanarak

Şunu alıyoruz:

${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \mid |x|\geq 1}$

O halde:

${\displaystyle x=\sec y\mid \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü sekant ve tanjant çarpımı y aralığında her zaman pozitifken, kök ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$ her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Zincir Kuralını Kullanarak

Alternatif olarak, ters sekantın türevi, ters kosinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

${\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$

Burada

${\displaystyle |x|\geq 1}$ ve ${\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}$

O halde, ${\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}$ için zincir kuralını uygulayarak:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Ters Kosekant Fonksiyonunun Türevini Alma

Örtük Türevleme Kullanarak

Şunu alıyoruz:

${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \mid |x|\geq 1}$

O halde

${\displaystyle x=\csc y\ \mid \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$

${\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}$

(İfadedeki mutlak değer gereklidir çünkü kosekant ve kotanjant çarpımı y aralığında her zaman pozitifken, kök ${\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}}$ her zaman pozitif olarak tanımlandığı için, kalan çarpanın da pozitif olması gerektiğinden, bu mutlak değer kullanılır.)

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Zincir Kuralını Kullanarak

Alternatif olarak, ters kosekantın türevi, ters sinüsün türevinden zincir kuralı kullanılarak elde edilebilir.

Şunu alıyoruz:

${\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$

Burada

${\displaystyle |x|\geq 1}$ ve ${\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}$

O halde, ${\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}$ için zincir kuralını uygulayarak:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}$

Ayrıca bakınız

• Kalkülüs
• Türev
• Türev alma kuralları
• Trigonometrik özdeşlikler listesi
• Trigonometri

Kaynakça

Bibliyografya

• Matematiksel Fonksiyonlar El Kitabı, Editörler: Abramowitz ve Stegun, Ulusal Standartlar Bürosu, Uygulamalı Matematik Serisi, 55 (1964)