Uzaklık

Mesafe (uzaklık), iki noktanın birbirlerinden ne kadar ayrı olduklarının sayısal ifadesidir. Metrik ölçüm sisteminde uzaklık birimi metredir ve m sembolü ile gösterilir.

Birbirlerinden uzak tarla çalışanları

Fizikte ya da gündelik kullanımda, bir fiziksel uzunluk ya da başka bir ölçüte dayalı tahmin (örneğin "iki durak sonra") anlamına gelir. Matematikte uzaklık fonksiyonu (ya da metrik), fiziksel uzaklık kavramının bir genelleştirmesidir. Bu fonksiyon özel kurallar kümesine uygun davranır ve uzaydaki öğelerin ne kadar "birbirlerine yakın" veya "birbirlerinden uzak" olduklarını açıklamanın somut bir yoludur. Çoğu durumda, "A'dan B'ye uzaklık" ile "B ve A arası uzaklık" ifadeleri birbirleri yerine kullanılabilir.

Matematik

Geometri

analitik geometri, iki nokta arası mesafenin formülü bulunabilir. (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) mesafelerinin arası şöyle verilir:

${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.\,}$

Benzer iki nokta(x₁, y₁, z₁) ve (x₂, y₂, z₂) in , arası mesafe:

${\displaystyle d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.}$

Bu formül dik üçgenden kolayca elde edilebilir (düzlem'de 1. üçgen içerdiği diğer dik bacağı ile) ve Pisagor teoremi'nin uygulaması hipotenüs . Karmaşık geometrilerin çalışmamızda,biz bunu(en sık görülen) uzunluk tipi Öklid uzaklığı olarak adlandırabiliriz, Pisagor teoreminden elde edilir, ile örtüşmez.Bu mesafe olarak da genişletilebilir.

Öklidyen uzayda mesafe

Öklid uzayı Rⁿ içinde, iki nokta arası verilen mesafe . (2-norm mesafesi) bazen diğer tabanlarda mesafe yerine kullanılabilir.

iki nokta için (x₁, x₂, ...,x_n) ve bir nokta (y₁, y₂, ...,y_n), p (p-norm mesafe)'nin yerine Minkowski mesafesi olarak tanımlanır:

1-norm mesafe(uzaklık)	${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|}$
2-norm mesafe	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}\right)^{1/2}}$
p-norm mesafe	${\displaystyle =\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$
sonsuz norm mesafe	${\displaystyle =\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}}$
	${\displaystyle =\max \left(|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|,\ldots ,|x_{n}-y_{n}|\right).}$

p nin bir tam sayı olması gerekmez, ancak en az 1 olamaz, çünkü üçgen eşitsizliği ile örtüşmez.

2-norm mesafesi 'dir,iki koordinat'tan daha ötesi için bu Pisagor teoremi'nin bir genelleştirilimesidir . Bu iki nokta arasındaki mesafe bir cetvel ile ölçülme durumunda elde edilecek nedir:mesafenin fikri "sezgisel"dir.

1-norm uzunluk daha renklendirilmiş taxicab norm ile adlandırılır veya ,kare blokların düzenlendiği bir araba ile bir şehirde(hiç tek yönlü sokaklar yoksa)yolcu götürmek istediğiniz mesafedir.

Sonsuz norm mesafesi olarak adlandırılır. 2D'de,bir satranç tahtası'nda 'ıniki kare arasında seyahatiçin en az sayıda taşınması gereklidir .

p-norm nadiren pnin başka değerleri için kullanılır 1, 2 ve sonsuz.. ama ' bakılabilir.

Fiziksel uzayda the Öklid mesafesi en doğal yoldur,çünkü bu durum içinde bir rotasyon'u ile katı cisim yayı değişmez.