Matematikte a Neumann polinomali tarafından özel durum α 0 displaystyle alpha 0 için sunulan Bessel fonksiyonu terim

Neumann polinomu

Matematikte, a Neumann polinomali, tarafından özel durum $\alpha =0$ için sunulan, Bessel fonksiyonu terimleri içerisinde fonksiyonların 1/z açılımında kullanılan bir polinomdur.

İlk birkaç polinom

O_{0}^{(\alpha )}(t)={\frac {1}{t}},

O_{1}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {\alpha +1}{t^{2}}},

O_{2}^{(\alpha )}(t)={\frac {2+\alpha }{t}}+4{\frac {(2+\alpha )(1+\alpha )}{t^{3}}},

O_{3}^{(\alpha )}(t)=2{\frac {(1+\alpha )(3+\alpha )}{t^{2}}}+8{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )}{t^{4}}},

O_{4}^{(\alpha )}(t)={\frac {(1+\alpha )(4+\alpha )}{2t}}+4{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^{3}}}+16{\frac {(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )}{t^{5}}}.

Polinomların genel formu için

O_{n}^{(\alpha )}(t)={\frac {\alpha +n}{2\alpha }}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{n-k}{\frac {(n-k)!}{k!}}{-\alpha \choose n-k}\left({\frac {2}{t}}\right)^{n+1-2k},

burada üreteç fonksiyonu var

{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {1}{t-z}}=\sum _{n=0}O_{n}^{(\alpha )}(t)J_{\alpha +n}(z),

burada J Bessel fonksiyonu'dur.

form içindeki f fonksiyonun açılımı

f(z)=\sum _{n=0}a_{n}J_{\alpha +n}(z)\,

$|z|<c$ için hesabı

a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{|z|=c'}{\frac {\Gamma (\alpha +1)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{\alpha }}}f(z)O_{n}^{(\alpha )}(z)\mathrm {d} z,

burada $c'<c$ ve c en yakın tekillik mesafesidir $z^{-\alpha }f(z)$ dan $z=0$ .

Örnekler

Bir örnek açılım

\left({\tfrac {1}{2}}z\right)^{s}=\Gamma (s)\cdot \sum _{k=0}(-1)^{k}J_{s+2k}(z)(s+2k){-s \choose k}

veya daha genel Sonine formülü

e^{i\gamma z}=\Gamma (s)\cdot \sum _{k=0}i^{k}C_{k}^{(s)}(\gamma )(s+k){\frac {J_{s+k}(z)}{\left({\frac {z}{2}}\right)^{s}}}.

burada $C_{k}^{(s)}$ is . Sonra,^[]

{\frac {\left({\frac {z}{2}}\right)^{2k}}{(2k-1)!}}J_{s}(z)=\sum _{i=k}(-1)^{i-k}{i+k-1 \choose 2k-1}{i+k+s-1 \choose 2k-1}(s+2i)J_{s+2i}(z),

\sum _{n=0}t^{n}J_{s+n}(z)={\frac {e^{\frac {tz}{2}}}{t^{s}}}\sum _{j=0}{\frac {\left(-{\frac {z}{2t}}\right)^{j}}{j!}}{\frac {\gamma \left(j+s,{\frac {tz}{2}}\right)}{\,\Gamma (j+s)}}=\int _{0}^{\infty }e^{-{\frac {zx^{2}}{2t}}}{\frac {zx}{t}}{\frac {J_{s}(z{\sqrt {1-x^{2}}})}{{\sqrt {1-x^{2}}}^{s}}}\,dx,

'dur.

M(a,s,z)=\Gamma (s)\sum _{k=0}^{\infty }\left(-{\frac {1}{t}}\right)^{k}L_{k}^{(-a-k)}(t){\frac {J_{s+k-1}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{({\sqrt {tz}})^{s-k-1}}}

ve özellikle de

{\frac {J_{s}(2z)}{z^{s}}}={\frac {4^{s}\Gamma \left(s+{\frac {1}{2}}\right)}{\sqrt {\pi }}}e^{2iz}\sum _{k=0}L_{k}^{(-s-1/2-k)}\left({\frac {it}{4}}\right)(4iz)^{k}{\frac {J_{2s+k}\left(2{\sqrt {tz}}\right)}{{\sqrt {tz}}^{2s+k}}},

indeks kayma formülü

\Gamma (\nu -\mu )J_{\nu }(z)=\Gamma (\mu +1)\sum _{n=0}{\frac {\Gamma (\nu -\mu +n)}{n!\Gamma (\nu +n+1)}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{\nu -\mu +n}J_{\mu +n}(z),

Taylor açılımı (toplama formülü)

{\frac {J_{s}\left({\sqrt {z^{2}-2uz}}\right)}{\left({\sqrt {z^{2}-2uz}}\right)^{\pm s}}}=\sum _{k=0}{\frac {(\pm u)^{k}}{k!}}{\frac {J_{s\pm k}(z)}{z^{\pm s}}}

(cf.)ve Bessel fonksiyonu integralinin açılımı

\int J_{s}(z)dz=2\sum _{k=0}J_{s+2k+1}(z)

aynı tiptir.

Ayrıca bakınız

Notlar

^ Abramowitz and Stegun, p. 363, 9.1.82 18 Ağustos 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . ff.
^ Erdélyi et al. 1955 II.7.10.1, p.64
^ I.S. Gradshteyn (И.С. Градштейн), I.M. Ryzhik (И.М. Рыжи); Alan Jeffrey, Daniel Zwillinger, editors. Table of Integrals, Series, and Products, seventh edition. Academic Press, 2007. . Equation 8.515.1

wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar

Matematikte a Neumann polinomali tarafindan ozel durum a 0 displaystyle alpha 0 icin sunulan Bessel fonksiyonu terimleri icerisinde fonksiyonlarin 1 z aciliminda kullanilan bir polinomdur Ilk birkac polinom O0 a t 1t displaystyle O 0 alpha t frac 1 t O1 a t 2a 1t2 displaystyle O 1 alpha t 2 frac alpha 1 t 2 O2 a t 2 at 4 2 a 1 a t3 displaystyle O 2 alpha t frac 2 alpha t 4 frac 2 alpha 1 alpha t 3 O3 a t 2 1 a 3 a t2 8 1 a 2 a 3 a t4 displaystyle O 3 alpha t 2 frac 1 alpha 3 alpha t 2 8 frac 1 alpha 2 alpha 3 alpha t 4 O4 a t 1 a 4 a 2t 4 1 a 2 a 4 a t3 16 1 a 2 a 3 a 4 a t5 displaystyle O 4 alpha t frac 1 alpha 4 alpha 2t 4 frac 1 alpha 2 alpha 4 alpha t 3 16 frac 1 alpha 2 alpha 3 alpha 4 alpha t 5 Polinomlarin genel formu icin On a t a n2a k 0 n 2 1 n k n k k an k 2t n 1 2k displaystyle O n alpha t frac alpha n 2 alpha sum k 0 lfloor n 2 rfloor 1 n k frac n k k alpha choose n k left frac 2 t right n 1 2k burada uretec fonksiyonu var z2 aG a 1 1t z n 0On a t Ja n z displaystyle frac left frac z 2 right alpha Gamma alpha 1 frac 1 t z sum n 0 O n alpha t J alpha n z burada J Bessel fonksiyonu dur form icindeki f fonksiyonun acilimi f z n 0anJa n z displaystyle f z sum n 0 a n J alpha n z z lt c displaystyle z lt c icin hesabi an 12pi z c G a 1 z2 af z On a z dz displaystyle a n frac 1 2 pi i oint z c frac Gamma alpha 1 left frac z 2 right alpha f z O n alpha z mathrm d z burada c lt c displaystyle c lt c ve c en yakin tekillik mesafesidir z af z displaystyle z alpha f z dan z 0 displaystyle z 0 OrneklerBir ornek acilim 12z s G s k 0 1 kJs 2k z s 2k sk displaystyle left tfrac 1 2 z right s Gamma s cdot sum k 0 1 k J s 2k z s 2k s choose k veya daha genel Sonine formulu eigz G s k 0ikCk s g s k Js k z z2 s displaystyle e i gamma z Gamma s cdot sum k 0 i k C k s gamma s k frac J s k z left frac z 2 right s burada Ck s displaystyle C k s is Sonra kaynak belirtilmeli z2 2k 2k 1 Js z i k 1 i k i k 12k 1 i k s 12k 1 s 2i Js 2i z displaystyle frac left frac z 2 right 2k 2k 1 J s z sum i k 1 i k i k 1 choose 2k 1 i k s 1 choose 2k 1 s 2i J s 2i z n 0tnJs n z etz2ts j 0 z2t jj g j s tz2 G j s 0 e zx22tzxtJs z1 x2 1 x2sdx displaystyle sum n 0 t n J s n z frac e frac tz 2 t s sum j 0 frac left frac z 2t right j j frac gamma left j s frac tz 2 right Gamma j s int 0 infty e frac zx 2 2t frac zx t frac J s z sqrt 1 x 2 sqrt 1 x 2 s dx dur M a s z G s k 0 1t kLk a k t Js k 1 2tz tz s k 1 displaystyle M a s z Gamma s sum k 0 infty left frac 1 t right k L k a k t frac J s k 1 left 2 sqrt tz right sqrt tz s k 1 ve ozellikle de Js 2z zs 4sG s 12 pe2iz k 0Lk s 1 2 k it4 4iz kJ2s k 2tz tz2s k displaystyle frac J s 2z z s frac 4 s Gamma left s frac 1 2 right sqrt pi e 2iz sum k 0 L k s 1 2 k left frac it 4 right 4iz k frac J 2s k left 2 sqrt tz right sqrt tz 2s k indeks kayma formulu G n m Jn z G m 1 n 0G n m n n G n n 1 z2 n m nJm n z displaystyle Gamma nu mu J nu z Gamma mu 1 sum n 0 frac Gamma nu mu n n Gamma nu n 1 left frac z 2 right nu mu n J mu n z Taylor acilimi toplama formulu Js z2 2uz z2 2uz s k 0 u kk Js k z z s displaystyle frac J s left sqrt z 2 2uz right left sqrt z 2 2uz right pm s sum k 0 frac pm u k k frac J s pm k z z pm s cf ve Bessel fonksiyonu integralinin acilimi Js z dz 2 k 0Js 2k 1 z displaystyle int J s z dz 2 sum k 0 J s 2k 1 z ayni tiptir Ayrica bakinizMatematiksel fonksiyonlarin listesi Bessel fonksiyonu Lommel polinomlari Hankel donusumuNotlar Abramowitz and Stegun p 363 9 1 82 18 Agustos 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde ff Erdelyi et al 1955 II 7 10 1 p 64 I S Gradshteyn I S Gradshtejn I M Ryzhik I M Ryzhi Alan Jeffrey Daniel Zwillinger editors Table of Integrals Series and Products seventh edition Academic Press 2007 ISBN 978 0 12 373637 6 Equation 8 515 1

Yayın tarihi: Temmuz 24, 2024, 21:47 pm