Wirtinger türevleri

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde ve çok değişkenli karmaşık analizde Wirtinger operatörleri ya da Wirtinger türev operatörleri karmaşık düzlemdeki ya da karmaşık koordinat uzayındaki üzerinde tanımlı holomorf, tersholomorf ya da sadece türevli fonksiyonlara uygulanabilen birinci mertebeden kısmi türev operatörleridir. Bu operatörlerin bu çeşit fonksiyonlara uygulanması sonucu ortaya çıkan fonksiyonlara bu fonksiyonların Wirtinger türevleri adı verilir.

Wirtinger türevlerinin gerçel değişkenli fonksiyonların türevi için verilen tanım ve özellikleri karmaşık düzlemde veya ya da karmaşık koordinat uzayında tanımlı fonksiyonlara taşıyan bir doğası vardır. Operatörler ve türevler adını, bu kavramları 1927 yılında Birkaç karmaşık değişkenli fonksiyonların formel teorisi üzerine başlıklı makalesinde sistematik bir biçimde ilk defa ele alan Wilhelm Wirtinger'in adını taşımaktadır.

Tarihçe

Erken dönem (1899–1911): Henri Poincaré'nin çalışmaları

Cherry & Ye (2001, s. 31) ve Remmert (1991, ss. 66–67)'de kısaca bahsedildiği gibi, Wirtinger türevlerinin karmaşık analizdeki kullanımı en azından Poincaré 1899'a kadar gitmektedir. 1899'daki makalesinin üçüncü paragrafında,Henri Poincaré ilk önce ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$deki karmaşık değişkeni ve bu değişkenin karmaşık eşleniğini şöyle tanımlıyor:

${\displaystyle {\begin{cases}x_{k}+iy_{k}=z_{k}\\x_{k}-iy_{k}=u_{k}\end{cases}}\qquad 1\leqslant k\leqslant n.}$

Bu tanımdan sonra, daha önceden ${\displaystyle x_{k},y_{q}}$ (${\displaystyle k,q=1\cdots n}$) gerçel değişkenleri aracılığıyla yazılmış olan ve biharmonik (biharmonique) dediği ${\displaystyle V}$ fonksiyonlarını tanımlayan denklemleri, bu yeni değişkenlerde yazıyor

${\displaystyle {\frac {d^{2}V}{dz_{k}\,du_{q}}}=0}$

Belli ki, bu makale çok değişkenli karmaşık analizde çalışan araştırmacılar tarafından gözden kaçırılmış ya da dikkate alınmamış. Çünkü, Levi-Civita (1905), Levi (1910) (Levi 1911) ve Amoroso (1912) gibi erken dönem makalelerin hepsinde bütün temel kısmî türev operatörler gerçel değişkenler aracılığıyla yazılmış. Daha sonraları, ilk defa 1913'de baskısı yapılan ve 1966da tekrar baskısı yapılan Osgood 1966'da bile, karmaşık değişkenlere göre kısmî türevlere bile formel türev olarak bakılmaktadır. Bu bağlamda, çokluharmonik operatör ve Levi operatörleri için, Osgood'un, , Levi ve Levi-Civita'nın yolunu takip etmektedir.

Dimitrie Pompeiu'nun 1912 ve 1913'teki çalışmaları

Henrici (1993, s. 294) kaynağına göre kavramın tanımlanmasında yeni bir adım tarafından Pompeiu 1912 makalesinde atıldı. Bu makalede, bir ${\displaystyle z_{0}\in \mathbb {C} }$ noktası etrafında tanımlı ve karmaşık değerler alan bir ${\displaystyle g(z)}$ fonksiyonu için areolar türevi şu şekilde tanımlanmıştır:

${\displaystyle {{\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}(z_{0})}\mathrel {\overset {\mathrm {tan.} }{=}} \lim _{r\to 0}{\frac {1}{2\pi ir^{2}}}\oint _{\Gamma (z_{0},r)}g(z)\mathrm {d} z.}$

Burada, ${\displaystyle \Gamma (z_{0},r)=\partial D(z_{0},r)}$, yani ${\displaystyle z_{0}}$ merkezli ve ${\displaystyle r}$ yarıçaplı bir diskin topolojik sınırıdır ve fonksiyonun tanımlı olduğu bölgenin içindedir. Bu tanım, karmaşık eşlenik değişkene göre Wirtinger türevinin alternatif bir tanımıdır. Henrici (1993, s. 294) tarafından belirtildiği gibi, limit ${\displaystyle z=z_{0}}$ noktasında aynı zamanda türevlenebilir olmayan fonksiyonlar için de mevcut olabileceğinden, daha genel bir tanımdır. Fichera (1969, s. 28)'e göre, areolar türevini Sobolev anlamında zayıf bir türev olarak ilk tanımlayan Ilya Vekua'dır. Sonraki Pompeiu (1913) makalesinde, Pompeiu, bu görece yeni tanımlanmış kavramı kullanarak Cauchy integral formülünün genellemesini elde eder. Elde edilen bu formül artık Cauchy-Pompeiu formülü olarak bilinmektedir.

Wilhelm Wirtinger'in çalışması

Wirtinger türevlerinin ilk sistematik sunumunun çok karmaşık değişkenli fonksiyonlar teorisinde ortaya çıkan niceliklerin hesaplanmasını basitleştirmek için Wilhelm Wirtinger'in Wirtinger 1927 makalesinde ortaya atıldığı anlaşılıyor: bu diferansiyel operatörlerin literatüre sokulması sonucunda, ve gibi teoride yaygın olarak kullanılan tüm diferansiyel operatörlerin gösterimi önemli ölçüde basitleştirilmiş ve dolayısıyla kullanımı daha kolay hale gelmiştir. Makale, kasıtlı olarak biçimsel bir bakış açısıyla, yâni, çıkarılan özelliklerin kesin bir çıkarımı verilmeden yazılmıştır.

Tanım

Tanımın altında yatan fikir

Karmaşık düzlemdeki açık bir küme üzerinde tanımlı ve gerçel değişkenlere göre türevlerinin varlığı bilinen bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun (toplam) diferansiyelini

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathrm {d} x+{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathrm {d} y}$

olarak yazalım. Eğer ${\displaystyle z=x+\mathrm {i} y}$ ve ${\displaystyle {\bar {z}}=x-\mathrm {i} y}$ alırsak, o zaman

${\displaystyle \textstyle x={\frac {1}{2}}(z+{\bar {z}})}$ ve ${\displaystyle \textstyle y={\frac {1}{2\mathrm {i} }}(z-{\bar {z}})={\frac {\mathrm {i} }{2}}({\bar {z}}-z)}$

olacaktır. O hâlde, türev almanın doğrusallığıyla

${\displaystyle \mathrm {d} x={\frac {1}{2}}(\mathrm {d} z+\mathrm {d} {\bar {z}})}$ ve ${\displaystyle \mathrm {d} y={\frac {\mathrm {i} }{2}}(\mathrm {d} {\bar {z}}-\mathrm {d} z)}$

yazılabilir. Sonuç olarak, yukarıdaki (toplam) diferansiyel ifadesi tekrar düzenlenerek

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} z+{\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\mathrm {d} {\bar {z}}}$

yazılabilir. O zaman,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$ ve ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$.

tanımlanırsa,

${\displaystyle \mathrm {d} f={\frac {\partial f}{\partial z}}\mathrm {d} z+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\mathrm {d} {\bar {z}}}$

yazılabilir.

Tanımın resmi ifadesi

Karmaşık düzlemde tanım

Karmaşık sayılar için ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ değişkenini, gerçel ${\displaystyle x}$ ve ${\displaystyle y}$ değişkenleri üzerinden ${\displaystyle z:=x+\mathrm {i} y}$ olarak tanımlayalım. ${\displaystyle G\subset \mathbb {R} ^{2}}$de açık küme olsun ve ${\displaystyle f=u+\mathrm {i} v\colon G\to \mathbb {C} }$ ise gerçel değişkenlerde türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman, ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun kısmi türevleri vardır. Bu kısmi türevler

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\partial u}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial x}}}$ ve ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial u}{\partial y}}+\mathrm {i} {\frac {\partial v}{\partial y}}}$

şeklinde yazılabilir. Bu hâlde, ${\displaystyle f}$ fonksiyonunun Wirtinger türevleri

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$ ve ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial f}{\partial y}}\right)}$.

olarak tanımlanır. Wirtinger türevlerinin tanımını veren

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}-\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$ ve ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}:={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x}}+\mathrm {i} {\frac {\partial }{\partial y}}\right)}$

kısmî diferansiyel operatörlerine Wirtinger türev operatörleri ya da sadece Wirtinger operatörleri denilir.

Wirtinger operatörlerinin tanım kümesi en doğal hâliyle türevlenebilir fonksiyonları içermektedir. Ancak, operatörler doğrusal oldukları ve sabit katsayılara sahip oldukları için, tanım kümeleri genelleştirilmiş fonksiyonların her türlü uzayına da genişletilebilir.

Karmaşık koordinat uzayında tanım

Yukarıda verilen ve bir karmaşık değişkenli fonksiyonlar için tanımlanan Wirtinger operatörlerinin tanımı yüksek boyutta tanımlı ve karmaşık değerler alan fonksiyonlar için de verilebilir. $${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {R} ^{2n}=\left\{\left(\mathbf {x} ,\mathbf {y} \right)=\left(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\mid \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}\right\}}$$ alınırsa, karmaşık koordinat uzayındaki Wirtinger operatörleri her koordinatta ayrı ayrı tanımlanabilir: $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial z_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}},\qquad {\begin{cases}{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{1}}}\right)\\\qquad \vdots \\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x_{n}}}+i{\frac {\partial }{\partial y_{n}}}\right)\\\end{cases}}.}$$ Daha önce bahsedildiği üzere, yine operatörler doğrusal oldukları ve sabit katsayılara sahip oldukları için, tanım kümeleri genelleştirilmiş fonksiyonların her türlü uzayına da genişletilebilir.

Karmaşık türevlenebilme ile ilişkisi

Bir fonksiyon bir noktada karmaşık türevlenebilir ise, fonksiyonun Wirtinger türevi, Cauchy-Riemann denklemleri sayesinde fonksiyonun karmaşık türevine eşittir. Gerçekten de eğer bir ${\displaystyle f}$ fonksiyonu (karmaşık türevlenebilirse), o zaman Cauchy-Riemann denklemleri bu fonksiyon için şağlanır; yani, fonksiyonun karmaşık türevli olduğu açık küme üzerinde ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}{\text{ ve }}{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$ eşitlikleri vardır.

Wirtinger türevinin tanımıyla başlayarak ve Cauchy-Riemann denklemleri kullanarak

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial z}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}-i{\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\\&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+i{\frac {\partial v}{\partial x}}-i{\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)\\&={\frac {\partial u}{\partial z}}+i{\frac {\partial v}{\partial z}}={\frac {df}{dz}}\end{aligned}}}$

elde edilir.

Wirtinger türevinin karmaşık eşlenik değişkendeki hâli de yine karmaşık türevlenebilmeyle alâkalıdır. ${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0}$ ifâdesi aslında Cauchy-Riemann denklemlerinin karmaşık halidir.

Cauchy-Riemann operatörü

${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial z}}}$ için bazen kısaca ${\displaystyle \,\partial f}$ yazılır. Yine, benzer şekilde, ${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}}$ içinse kısa bir şekilde ${\displaystyle {\bar {\partial }}f}$ de yazılır. ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ operatörüne Cauchy-Riemann operatörü denilir. Aslında, bu kısaltma ifadeleri sadece fonksiyonlar için geliştirilmiş kısaltma gösterimleri değildir. Daha doğrusu, fonksiyonların (0, 0) ikili derecesiyle özel bir hali olduğu karmaşık diferansiyel formlar için tanımlı türev operatorü ${\displaystyle d}$'nin yukarıda ${\displaystyle n=1}$ hali için

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial z}}dz+{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}}$

elde edildiği gibi, ${\displaystyle d}$ operatörü, ${\displaystyle {\partial }}$ ve ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ opeatörlerinin toplamı olarak genel durumda da ayrışabilir. Bunu görmek için, ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$'nin bir elemanını ${\displaystyle (z_{1},\ldots z_{n})=(x_{1}+\mathrm {i} y_{1},\ldots ,x_{n}+\mathrm {i} y_{n})}$ olarak yazalım. ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} ^{n}}$ açık bir küme olsun. ${\displaystyle f=(f_{1},\ldots ,f_{m}):D\rightarrow \mathbb {C} ^{m}}$ ise gerçel türevli bir gönderim olsun. Yukarıda verilen tanımlar aracılığıyla

${\displaystyle \partial f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial z_{j}}}f{\rm {d}}z_{j}}$

ve

${\displaystyle {\overline {\partial }}f:=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}_{j}}}f{\rm {d}}{\overline {z}}_{j}}$

tanımlanabilir. O zaman,

${\displaystyle {\mathrm {d} }f={\overline {\partial }}f+\partial f}$

elde edilir. Holomorfluk durumunda, ${\displaystyle \textstyle \mathrm {d} f=\partial f}$ elde edilir; çünkü, bu durumda ${\displaystyle {\overline {\partial }}f=0}$ olmaktadır. cauchy-Riemann operatörlerinin ${\displaystyle n>1}$ için yukarıdaki gibi tanımlanmış hâli dayanılarak Dolbeault operatörleri olarak da bilinir. Yine de, Cauchy-Riemann opeatörleri ifadesi boyut sayısına işaret etmeksizin kullanılabilir.

Özellikler

Aşağıda verilen özelliklerde ${\displaystyle n\geq 1}$ olmak üzere ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$ karmaşık vektör, ve ${\displaystyle x,y}$ gerçel vektörler olmak üzere ${\displaystyle z\equiv (x,y)=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})}$ olsun. Ayrıca, ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$de ya da bu uzayın izomorf olduğu ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$de açık bir küme olsun.

Doğrusallık

${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}$ ve ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ karmaşık sayı olsun. O zaman, her ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ için aşağıdaki eşitlikler sağlanır.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(\alpha f+\beta g\right)&=\alpha {\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\beta {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}.\end{aligned}}}$

Çarpma kuralı

${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}$ ve ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ karmaşık sayı olsun. O zaman, her ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ için çarpma kuralı sağlanır.

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}(f\cdot g)&={\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\cdot g+f\cdot {\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Zincir kuralı

Zincir kuralının iki hâli için, ${\displaystyle \Omega '\subseteq \mathbb {C} ^{m}}$ ve ${\displaystyle \Omega ''\subseteq \mathbb {C} ^{p}}$ olmak üzere bmlgeler ele alalım. ${\displaystyle g:\Omega '\to \Omega }$ ve ${\displaystyle f:\Omega \to \Omega ''}$ ise bu bölgeler arasında belirli türevlilik şartlarını yeteri kadar sağlayan gönderim olsunlar.

Bir karmaşık değişkenli fonksiyonlar için zincir kuralı

${\displaystyle f,g\in C^{1}(\Omega )}$ ve ${\displaystyle g(\Omega )\subseteq \Omega }$ ise, o zaman zincir kuralının aşağıdaki biçimleri sağlanır:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial z}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial z}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}}}(f\circ g)&=\left({\frac {\partial f}{\partial z}}\circ g\right){\frac {\partial g}{\partial {\bar {z}}}}+\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}}{\partial {\bar {z}}}}\end{aligned}}}$

n > 1 karmaşık değişkenli fonksiyonlar için zincir kuralı

${\displaystyle g\in C^{1}(\Omega ',\Omega )}$ ve ${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega ,\Omega '')}$ olsun. Her ${\displaystyle i=1,\dots ,m}$ için, zincir kuralının aşağıdaki biçimleri sağlanır:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial z_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial z_{i}}}\\{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{i}}}\left(f\circ g\right)&=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial z_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial g_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{j}}}\circ g\right){\frac {\partial {\bar {g}}_{j}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\end{aligned}}}$

Eşlenik alma altına Wirtinger operatörleri

${\displaystyle f\in C^{1}(\Omega )}$ ise, ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ için aşağıdaki eşitlikler sağlanır:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial z_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\\{\overline {\left({\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}_{i}}}\right)}}&={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial z_{i}}}\end{aligned}}}$

Notlar ve kaynakça

1. ^ (1986), "Unification of global and local existence theorems for holomorphic functions of several complex variables", Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 8, 18 (3), ss. 61-83, MR 0917525, Zbl 0705.32006 
2. ^ Kracht, Manfred; (1988), Methods of Complex Analysis in Partial Differential Equations and Applications, Series of Monographs and Advanced Texts, New York–Chichester–Brisbane–Toronto–Singapore: , ss. xiv+394, ISBN , MR 0941372, Zbl 0644.35005 
3. ^ Wirtinger, Wilhelm (1927), "Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr komplexen Veränderlichen" [Birkaç karmaşık değişkenli fonksiyonların formel teorisi üzerine], (Almanca), 97 (1), ss. 357-375, doi:10.1007/BF01447872, JFM 52.0342.03 
4. ^ Poincaré 1899, ss. 111–114'e bakınız
5. ^ Bu fonksiyonlar, aslında bugün çokluharmonik denilen fonksiyonlardır.

• (1969), "Derivata areolare e funzioni a variazione limitata", (İtalyanca), XIV (1), ss. 27-37, MR 0265616, Zbl 0201.10002 .
• Levi, Eugenio Elia (1910), "Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse", , s. III (İtalyanca), XVII (1), ss. 61-87, doi:10.1007/BF02419336, JFM 41.0487.01 .
• Levi, Eugenio Elia (1911), "Sulle ipersuperficie dello spazio a 4 dimensioni che possono essere frontiera del campo di esistenza di una funzione analitica di due variabili complesse", , s. III (İtalyanca), XVIII (1), ss. 69-79, doi:10.1007/BF02420535, JFM 42.0449.02 .
• (1905), "Sulle funzioni di due o più variabili complesse", Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali, 5 (İtalyanca), XIV (2), ss. 492-499, JFM 36.0482.01 .
• Osgood, William Fogg (1966) [1913], Topics in the theory of functions of several complex variables (unabridged and corrected bas.), New York: Dover, ss. IV+120, JFM 45.0661.02, MR 0201668, Zbl 0138.30901 .
• (1993) [1986], Applied and Computational Complex Analysis Volume 3, Wiley Classics Library (Reprint bas.), New York–Chichester–Brisbane–Toronto–Singapore: , ss. X+637, ISBN , MR 0822470, Zbl 1107.30300 .
• Poincaré, H. (1899), "Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions Abéliennes", (Fransızca), 22 (1), ss. 89-178, doi:10.1007/BF02417872, JFM 29.0370.02 .
• (1912), "Sur une classe de fonctions d'une variable complexe", (Fransızca), 33 (1), ss. 108-113, doi:10.1007/BF03015292, JFM 43.0481.01 .
• (1913), "Sur une classe de fonctions d'une variable complexe et sur certaines équations intégrales", (Fransızca), 35 (1), ss. 277-281, doi:10.1007/BF03015607 .
• Vekua, I. N. (1962), Generalized Analytic Functions, International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics, 25, London–Paris–Frankfurt: Pergamon Press, ss. xxx+668, MR 0150320, Zbl 0100.07603 

Ayrıca bakınız