Karmaşık eşlenik

Matematikte, bir karmaşık sayının karmaşık eşleniği, büyüklük olarak eşit ancak işaret olarak zıt bir sanal kısma ve eşit bir gerçel kısma sahip olan bir karmaşık sayıdır. Yani, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ gerçel sayılar ise, o zaman ${\displaystyle a+ib}$'nin karmaşık eşleniği ${\displaystyle a-ib}$ olur.

${\displaystyle z}$ ve eşleniği ${\displaystyle {\overline {z}}}$ sayılarının karmaşık düzlemdeki geometrik temsili. Karmaşık eşlenik ${\displaystyle z}$'nin gerçel eksene göre yansıtmasıyla elde edilir.

Gösterim

Bir karmaşık sayının eşleniği genelde bu karmaşık sayının üzerine sayıyı kaplayacak şekilde çekilen bir çizgi ile gösterilir. Yani, karmaşık sayı ${\displaystyle z=a+ib}$ ise, bu sayının eşleniği ${\displaystyle {\overline {z}}={\overline {a+ib}}=a-ib}$ olur. Matematikte nadir de olsa ${\displaystyle z^{*}}$ kullanımı da mevcuttur. Ancak, bu tür bir gösterimin bir matrisin karıştırılması ihtimali artacağından bu gösterim pek tercih edilmez.

Kutupsal koordinat sisteminde, eğer ${\displaystyle r}$ ve ${\displaystyle \varphi }$ gerçel sayılarsa, o zaman ${\displaystyle re^{i\varphi }}$ sayısının eşleniği ${\displaystyle re^{-i\varphi }}$ sayısıdır. Bunu Euler formülü aracılığıyla göstermek basittir.

Özellikler

• Bir karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı gerçel bir sayıdır; yani, ${\displaystyle z=a+ib}$ ya da polar koordinat gösteriminde ${\displaystyle z=re^{i\varphi }}$ ise o zaman ${\displaystyle z{\overline {z}}=a^{2}+b^{2}=r^{2}}$ olur.
• Herhangi iki karmaşık sayı için, eşlenik alma işleminin toplama, çıkarma, çarpma ve bölme üzerine dağılmalıdır. Herhangi iki karmaşık sayı ${\displaystyle z}$ ve ${\displaystyle w}$ olsun. O zaman,

${\displaystyle {\overline {z+w}}={\overline {z}}+{\overline {w}},}$

${\displaystyle {\overline {z-w}}={\overline {z}}-{\overline {w}},}$

${\displaystyle {\overline {zw}}={\overline {z}}\;{\overline {w}},}$

${\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}},\quad ({\text{eğer }}w\neq 0}$ ise)

• Bir karmaşık sayının eşleniğinin kendisine eşit olması için bu sayının sanal kısmının sıfıra eşit olması lazımdır. Diğer deyişle, bu karmaşık sayı aslında bir gerçel sayıdır.
• Bir karmaşık sayının mutlak değeri eşlenik altında değişmez; yani, ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=|z|.}$
• Eşlenik alma işlemi bir involüsyondur. Yani, karmaşık sayının eşleniğinin eşleniği yine karmaşık sayıyı verir.
• Karmaşık bir sayının mutlak değeri karmaşık sayının eşleniğiyle çarpımı üzerinden tanımlabilir: ${\displaystyle z{\overline {z}}={\left|z\right|}^{2}}$. O zaman, her ${\displaystyle z\neq 0}$ için ${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$ olur ki bu da bir karmaşık sayının çarpmaya göre tersini hesaplamayı kolaylaştırır.
• Karmaşık sayılar üzerinde
  • eşlenik alma işlemi ile tam sayı üssü alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, her ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ için ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}=\left({\overline {z}}\right)^{n}}$ sağlanır.
  • eşlenik alma işlemi ile üstel alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, her ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ için ${\displaystyle e^{\overline {z}}={\overline {e^{z}}}}$ sağlanır.
  • eşlenik alma işlemi ile logaritma alma işlemi değişmelidir. Diğer deyişle, eğer ${\displaystyle z}$ logaritmanın tanım kümesi içerisindeyse${\displaystyle \ln \left({\overline {z}}\right)={\overline {\ln(z)}}}$ sağlanır.
• Tek karmaşık değişkenli ver gerçel sayı katsayılı polinomların köklerinden biri karmaşık sayı ise, o zaman bu kökün karmaşık eşleniği de bu polinomun yine köküdür.

Değişken olarak kullanımı

Bir karmaşık değişken ${\displaystyle z=x+iy}$ veya ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ halinde verilmiş olsun. O zaman eşleniği kullanarak, ${\displaystyle z}$-değişkeninin gerçel ve sanal kısımları hesaplanabilir ve basi:

• Gerçel kısım : ${\displaystyle x=\operatorname {Re} (z)={\dfrac {z+{\overline {z}}}{2}}}$
• Sanal kısım: ${\displaystyle y=\operatorname {Im} (z)={\dfrac {z-{\overline {z}}}{2i}}}$
• Mutlak değer: ${\displaystyle r=\left|z\right|={\sqrt {z{\overline {z}}}}}$
• : ${\displaystyle e^{i\theta }=e^{i\arg z}={\sqrt {\dfrac {z}{\overline {z}}}},}$ böylece ${\displaystyle \theta =\arg z={\dfrac {1}{i}}\ln {\sqrt {\frac {z}{\overline {z}}}}={\dfrac {\ln z-\ln {\overline {z}}}{2i}}}$.

Dahası, ${\displaystyle {\overline {z}}}$ karmaşık düzlemdeki doğruları tanımlamak için de kullanılabilir. Mesela, $${\displaystyle \left\{z:z{\overline {w}}+{\overline {w}}r=0\right\}}$$ kümesi orijinden geçen ve ${\displaystyle {w}}$'ya dik olan bir doğruyu verir. Çünkü, ${\displaystyle z\cdot {\overline {r}}}$ ifadesinin gerçel kısmının sıfıra eşit olması ancak when the cosine of the angle between ${\displaystyle z}$ ve ${\displaystyle {w}}$ arasındaki açının kosinüsünün sıfıra eşit olmasıyla mümkündür. benzer bir şekilde, sabitlenmiş biri birim karmaşık sayısı ${\displaystyle u=e^{ib},}$ için $${\displaystyle {\frac {z-z_{0}}{{\overline {z}}-{\overline {z_{0}}}}}=u^{2}}$$ ifadesi de 0 ve ${\displaystyle u}$'dan geçen doğruya paralel olan ve ${\displaystyle z_{0}}$'dan geçen bir doğru verir.

Notlar

1. ^ Genelde, tanım kümesi pozitif olmayan gerçel sayıları içermez. Ancak, lkarmaşık fonksiyonları orijinden başlayıp sonsuza doğru giden bir doğruyu tanım kümesinden hariç tutabilecek şekilde tanımlamak mümkündür.

Kaynakça

1. ^ Friedberg, Stephen; Insel, Arnold; Spence, Lawrence (2018), Linear Algebra, 5, ISBN  , Appendix D