Sözde dışbükeylik

Sözde dışbükey bölgeler, matematikte karmaşık analizin ve çok değişkenli karmaşık analizin merkezinde yer alan holomorf fonksiyonların doğal tanım kümeleridir.

Daha açık bir şekilde ifade edilecek olursa, bir değişkenli veya çok değişkenli karmaşık analizde esas araç olarak kullanılan holomorf fonksiyonlar kullanılarak tanımlanan holomorfluk bölgeleri sözde dışbükey kümelerdir. Tersi ifade, yani sözde dışbükey kümelerin holomorfluk bölgeleri olduğu olarak bilinmektedir.

Karmaşık düzlemdeki her açık küme bazı fonksiyonların holomorfluk bölgesidir; yani, sözde dışbükeydir. Ancak, bu durum yüksek boyutlu karmaşık koordinat uzayındaki bölgeler için her zaman geçerli değildir. Bu yüzden, sözde dışbükeylik birden fazla karmaşık boyutlu uzaylarda daha çok çalışılır.

Tanım

Sözde dışbükey bölgfeler için birden fazla tanım vermek mümkündür:

Hartogs sözde dışbükeyliği

${\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ve açık bir küme olsun. ${\displaystyle \Omega }$ üzerinde tanımlı sürekli, bir ${\displaystyle \varphi }$ fonksiyonu varsa ve bütün gerçel ${\displaystyle x}$ sayıları için ${\displaystyle \{z\in \Omega \mid \varphi (z)<x\}}$ kümesi ${\displaystyle \Omega }$ nın bir alt kümesi ise, o zaman ${\displaystyle \Omega }$ ya "sözde dışbükey" bölge adı verilir.

Levi sözde dışbükeyliği

${\displaystyle \Omega \subset {\mathbb {C} }^{n}}$ ve açık bir küme, ${\displaystyle \Omega }$ nın sınırı olan ${\displaystyle b\Omega }$ ise ${\displaystyle C^{2}}$ olsun.${\displaystyle \Omega }$ nın ${\displaystyle \rho }$ ile gösterelim. Eğer ${\displaystyle z\in b\Omega }$ iken

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \rho }{\partial z_{j}}}(z)w_{j}=0}$

koşulunu sağlayan her ${\displaystyle w\in {\mathbb {C} }^{n}}$ için

${\displaystyle \sum _{j,k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}\rho }{\partial z_{j}\partial {\bar {z_{k}}}}}(z)w_{j}{\bar {w_{k}}}\geq 0}$

ise, o zaman ${\displaystyle \Omega }$ ya sözde dışbükey bölge adı verilir. Bu eşitsizlik, ${\displaystyle w\neq 0}$için, ${\displaystyle b\Omega }$nın noktalarında ${\displaystyle 0}$dan daima büyükse, o zaman bölgeye kesin (kati) sözde dışbükey bölge adı verilir. ${\displaystyle b\Omega }$ nın ${\displaystyle C^{2}}$ olmadığı durumda, ${\displaystyle \Omega }$, ${\displaystyle \Omega }$ nın altkümesi olan kesin sözde dışbükey bölgeler dizisinin en küçük üst sınırı () olarak elde edilebiliyorsa, ${\displaystyle \Omega }$ ya yine sözde dışbükey bölge adı verilir.

Notlar

• Verilen bu iki sözde dışbükeylik tanımı birbirine denktir.
• Bütün aynı zamanda sözde dışbükeydir.
• ${\displaystyle n=1}$ iken, bütün açık kümeler sözde dışbükeydir.
• ${\displaystyle n\geq 2}$ iken, bölgeler sözde dışbükey olmak zorunda değildir (Hartogs devam teoremi).

Notlar

1. ^ Yani, ${\displaystyle b\Omega }$ etrafında yerel olarak iki kere türevlenebilen ve ikinci türevi sürekli olan bir fonksiyon vardır. Ayrıca, bu fonksiyon ${\displaystyle b\Omega }$nın noktalarında 0 değeri alır ve gradyanının büyüklüğü de ${\displaystyle b\Omega }$nın hiçbir noktasında sıfır değildir.

Kaynakça

• , An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland, 1990. ().
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.

Ayrıca bakınız

• Analitik çokyüzlü