Routh teoremi

Geometride, Routh teoremi verilen bir üçgen ile üç ikili kesişimlerinden oluşan bir üçgen arasındaki alanların oranını belirler. Teorem, eğer ${\displaystyle ABC}$ üçgeninde ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle E}$ ve ${\displaystyle F}$ noktaları, ${\displaystyle BC}$, ${\displaystyle CA}$ ve ${\displaystyle AB}$ doğru parçaları üzerindeyse, o zaman ${\displaystyle {\tfrac {CD}{BD}}=x}$, ${\displaystyle {\tfrac {AE}{CE}}=y}$ ve ${\displaystyle {\tfrac {BF}{AF}}=z}$ olmak üzere, ${\displaystyle AD}$, ${\displaystyle BE}$ ve ${\displaystyle CF}$ cevianları tarafından oluşturulan işaretli üçgenin alanı şöyle bulunur:

Routh teoremi

${\displaystyle S_{ABC}{\frac {(xyz-1)^{2}}{(xy+y+1)(yz+z+1)(zx+x+1)}},}$

burada ${\displaystyle S_{ABC}}$, ${\displaystyle ABC}$ üçgeninin alanıdır.

Bu teorem, Edward John Routh tarafından 1896 yılında Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples adlı eserinin 82. sayfasında verilmiştir. Özel durum ${\displaystyle x=y=z=2}$, olarak popüler hale gelmiştir. ${\displaystyle x=y=z=1}$ durumu, üç kenarortayın tek noktada () kesiştiğini gösterir.

İspat

Routh teoremi

${\displaystyle ABC}$ üçgeninin alanının 1 olduğunu varsayalım. ${\displaystyle ABD}$ üçgeni ve ${\displaystyle FRC}$ doğrusu için Menelaus teoremi şu şekilde ifade edilir:

${\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\times {\frac {BC}{CD}}\times {\frac {DR}{RA}}=1}$.

O halde ${\displaystyle {\frac {DR}{RA}}={\frac {BF}{FA}}\times {\frac {DC}{CB}}={\frac {zx}{x+1}}}$. Böylece ${\displaystyle ARC}$ üçgeninin alanı:

${\displaystyle S_{ARC}={\frac {AR}{AD}}S_{ADC}={\frac {AR}{AD}}\times {\frac {DC}{BC}}S_{ABC}={\frac {x}{zx+x+1}}}$

Benzer argümanlarla, ${\displaystyle S_{BPA}={\frac {y}{xy+y+1}}}$ ve ${\displaystyle S_{CQB}={\frac {z}{yz+z+1}}}$. Bu nedenle ${\displaystyle PQR}$ üçgeninin alanı:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{PQR}&=S_{ABC}-S_{ARC}-S_{BPA}-S_{CQB}\\&=1-{\frac {x}{zx+x+1}}-{\frac {y}{xy+y+1}}-{\frac {z}{yz+z+1}}\\&={\frac {(xyz-1)^{2}}{(xz+x+1)(yx+y+1)(zy+z+1)}}.\end{aligned}}}$

Atıflar

Routh teoremi için yaygın olarak verilen atıf Routh'un Treatise on Analytical Statics with Numerous Examples, Cilt 1, Bölüm IV, 1896 tarihli ikinci baskı, s. 82'dir, muhtemelen bu baskıyı bulmak daha kolay olduğu içindir. Ancak Routh teoremi 1891 tarihli ilk baskıda, Cilt 1, Bölüm IV, s. 89'da zaten belirtmiştir. Baskılar arasında sayfa numaralarında bir değişiklik olmasına rağmen, ilgili dipnotun ifadesi aynı kalmıştır. Routh, genişletilmiş dipnotunu bir uyarı ile sonlandırmaktadır:

“	Yazar, sıklıkla karşılaşılan iki üçgenin alanları için bu ifadelerle karşılaşmamıştır. Bu nedenle, metindeki argümanın daha kolay anlaşılabilmesi için bunları buraya yerleştirmiştir.	„

Muhtemelen Routh, baskılar arasındaki beş yıl içinde bu koşulların değişmediğini düşünmüştür. Öte yandan, Routh'un kitabının başlığı daha önce tarafından kullanılmıştı; her ikisi de tarafından eğitilmişti.

Routh, teoremi kitabında yayınlamış olsa da, bilinen ilk yayınlanmış ifade ve ispat, Solutions of the Cambridge Senate-house Problems and Riders for the Year 1878, yani o yılki Cambridge 'un 33. sayfasında yer alan rider (vii) şeklindedir.Bu bölümdeki Roma rakamlı problemlerin yazarı, aynı zamanda tüm cildin editörlüğünü de yapan idi. Routh, kitabı yayınlandığında tanınmış bir Tripos hocasıydı ve 1878 Tripos sınavının içeriğine kesinlikle aşinaydı, ancak yukarıda alıntılanan ifadesinden de anlaşılacağı üzere, aradan geçen on üç yıl içinde teoremin kaynağını unutmuş olabilir.

Bu ruha sahip problemlerin ve matematiksel pedagoji alanlarında uzun bir geçmişi vardır; belki de en eski örneklerinden biri tahtasının on dört bölgesinin oranlarının belirlenmesidir. Routh'un Cambridge'i akılda tutularak, bazı hesaplarda Richard Feynman ile ilişkilendirilen , örneğin, Soru 100, p.80, Trinity College'dan (1805-1885) tarafından 1859'da yayınlanan Euclid's Elements of Geometry (Fifth School Edition) kitabında; aynı sayfadaki 98, 99 numaralı sorularıyla da karşılaştırın. Potts 1832'de yirmi altıncı olmuş ve daha sonra Hopkins ve Routh gibi Cambridge'de koçluk yapmıştır. Pott'un geometri alanındaki açıklayıcı yazıları 1862 Uluslararası Sergisinde bir madalya ve , Williamsburg, Virginia'dan onur derecesiyle ödüllendirilmiştir.

Kaynakça

• and A. Liu (1981) "Three more proofs of Routh's theorem", 7:199–203.
• (1969) Introduction to Geometry, statement p. 211, proof pp. 219–20, 2nd edition, Wiley, New York.
• J. S. Kline and D. Velleman (1995) "Yet another proof of Routh's theorem" (1995) 21:37–40
• (1976) "A New Proof of Routh's Theorem", 49(1): 25–7, DOI:10.2307/2689876
• Jay Warendorff, Routh's Theorem, .
• Eric W. Weisstein, Routh's Theorem (MathWorld)
• Routh's Theorem by Cross Products at MathPages
• Ayoub, Ayoub B. (2011/2012) "Routh's theorem revisited", Mathematical Spectrum 44 (1): 24-27.