Çarpık-simetrik matris

Matematik ve özellikle doğrusal cebirde, bir çarpık-simetrik (veya antisimetrik veya antimetrik) matris, transpozu aynı zamanda olumsuzu olan bir kare matristir; yani ${\displaystyle -A=A^{T}}$ durumunu sağlar. Eğer ${\displaystyle i}$ satırı ve ${\displaystyle j}$ sütunundaki giriş ${\displaystyle a_{ij}}$ ise, çarpık-simetrik matris ${\displaystyle a_{ij}=-a_{ji}}$ ilişkisine sahiptir. Örneğin, aşağıdaki matris çarpık-simetriktir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}0&2&-1\\-2&0&-4\\1&4&0\end{bmatrix}}.}$

Özellikler

• İki çarpık-simetrik matrisin toplamı yine çarpık-simetriktir.
• Bir sabitle çarpılan çarpık-simetrik matris yine çarpık-simetriktir.
• Çarpık-simetrik matrisin köşegeni üzerindeki elemanlar sıfırdır, dolayısıyla ilkköşegen toplamı da sıfırdır.
• Eğer çarpık-simetrik matris ${\displaystyle A}$'nın elemanları gerçel sayılarsa (yani ${\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} }$), ${\displaystyle \det(A)\geq 0}$'dır.
• Eğer çarpık-simetrik matris ${\displaystyle A}$ gerçelse ve ${\displaystyle \lambda }$ gerçel bir özdeğer (eigen değer) ise, ${\displaystyle \lambda =0}$'dır.
• Bir gerçel çarpık-simetrik matrisin (${\displaystyle A}$) birim matrisle (${\displaystyle I}$) toplamı ${\displaystyle I+A}$ tersinirdir.

Çapraz çarpım

3x3'lük çarpık-simetrik matrisler kullanılarak çapraz çarpım matris çarpımı olarak ifade edilebilir.${\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1}\ a_{2}\ a_{3})^{\mathrm {T} }}$ ve ${\displaystyle \mathbf {b} =(b_{1}\ b_{2}\ b_{3})^{\mathrm {T} }}$ 3 boyutlu vektörler olsun. Çarpık-simetrik matris

${\displaystyle [\mathbf {a} ]_{\times }={\begin{bmatrix}\,\,0&\!-a_{3}&\,\,\,a_{2}\\\,\,\,a_{3}&0&\!-a_{1}\\\!-a_{2}&\,\,a_{1}&\,\,0\end{bmatrix}}}$

kullanılarak çapraz çarpım yeniden yazılabilir:

${\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =[\mathbf {a} ]_{\times }\mathbf {b} }$

Ayrıca bakınız

• Simetrik matris

Kaynakça

1. ^ Richard A. Reyment, , Leslie F. Marcus (1996). Applied Factor Analysis in the Natural Sciences. Cambridge University Press. s. 68. ISBN . KB1 bakım: Birden fazla ad: yazar listesi ()

Daha fazla bilgi

• (1980). Elementary Matrix Theory. Dover Publications. ISBN . 
• Suprunenko, D. A. (2001), "Skew-symmetric matrix", Matematik Ansiklopedisi, Avrupa Matematik Topluluğu  Bilinmeyen parametre |urlname= görmezden gelindi ()
• Aitken, A. C. (1944). "On the number of distinct terms in the expansion of symmetric and skew determinants". Edinburgh Math. Notes. 

Dış bağlantılar

• "Antisymmetric matrix". Wolfram Mathworld. 7 Temmuz 2016 tarihinde kaynağından . Erişim tarihi: 3 Mart 2014. 
• Benner, Peter; Kressner, Daniel. . 18 Mart 2013 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 3 Mart 2014. 
• Ward, R. C.; Gray, L. J. (1978). "Algorithm 530: An Algorithm for Computing the Eigensystem of Skew-Symmetric Matrices and a Class of Symmetric Matrices [F2]". ACM Transactions on Mathematical Software. 4 (3). s. 286. doi:10.1145/355791.355799.  Fortran23 Ocak 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Fortran9030 Haziran 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde .