Klein-Beltrami modeli

Geometride, olarak da adlandırılan , (, Klein-Beltrami modeli ve ) geometrisindeki noktalar n-boyutlu bir küreye -ya da daireye- hapsolmuş ve geometrisindeki doğrular bu kürenin -ya da dairenin - içinde doğru parçaları olan (öyle ki bu doğru parçalarının bitiş noktaları bahsi geçen kürenin -ya da dairenin- sınır çizgilerini oluşturur) n-boyutlu hiperbolik geometrinin bir modelidir. ve 'nde olduğu gibi, Klein-Beltrami modeli de ilk kez, bu modelleri hiperbolik geometrinin ile eşit derecede tutarlı olduğunu ispatlamak için kullanan tarafından ortaya atılmıştır. Uzaklık fonksiyonu ilk kez Arthur Cayley tarafından ortaya atılmış ve Felix Klein tarafından hiperbolik geometride geometrik açıdan kaleme alınmıştır.

Hiperboloit Modeli ile bağlantısı

, Minkowski uzayında hiperbolik geometrinin bir modelidir. Farzedelim ${\displaystyle [x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}]}$ reel ${\displaystyle (n+1)}$-uzayında bir vektör olsun. şöyle tanımlarız:

${\displaystyle Q([x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}])=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\cdots -x_{n}^{2}.}$

İkinci dereceden Minkowski formu ${\displaystyle Q}$ için öyle bir bilineer -ikilidoğrusal- ${\displaystyle B}$ formu bulabilirim ki,

${\displaystyle B(u,v)=(Q(u+v)-Q(u)-Q(v))/2.}$

olarak tanımlansınır. Eğer

${\displaystyle u=[x_{0},x_{1},\cdots ,x_{n}],v=[y_{0},y_{1},\cdots ,y_{n}]}$

ise bunu

${\displaystyle B(u,v)=x_{0}y_{0}-x_{1}y_{1}-\cdots -x_{n}y_{n}=x_{0}y_{0}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} .}$

şeklinde yazabiliriz. Ve bunu belli noktalarına (burada bu noktaları merkezden noktaya çizilmiş ışınlar olarak düşünelim) bir hiperbolik metrik koymakta kullanabiliriz. (Bir ${\displaystyle u}$ vektörü için şunu söyleyebiliriz: ${\displaystyle Q(u)>0}$.) Eğer ${\displaystyle u}$ ve ${\displaystyle v}$ bu şekilde oluşturulmuş iki vektörse, bu iki vektör arası uzaklığı

${\displaystyle d(u,v)=\operatorname {arccosh} ({\frac {B(u,v)}{\sqrt {Q(u)Q(v)}}}).}$

olarak tanımlarız. Bu homojen bir fonksiyondur, dolayısıyla noktaların izdüşümleri arasındaki uzaklığı tanımlar. Hiperboloit modelini de Klein modelini de bu izdüşümsel noktaları normalize ederek elde edebiliriz. Eğer ${\displaystyle u}$ ve ${\displaystyle v}$ doğrularını birinci koordinatı pozitif yapmak için gerekiyorsa işaret değiştirerek ve ${\displaystyle u}$ ve ${\displaystyle v}$yi ${\displaystyle u'={\frac {u}{\sqrt {Q(u)}}},v'={\frac {v}{\sqrt {Q(v)}}}}$yu elde edecek şekilde bölerek normalize edersek, (böylece noktalar ${\displaystyle Q(u')=Q(v')=1}$ eşitiğini sağlayacak), elde ederiz. Eğer ${\displaystyle u}$ ve ${\displaystyle v}$yi normalize etmek yerine ilk koordinatlarına bölersek (${\displaystyle Q(u)}$ ve ${\displaystyle Q(v)}$ sıfırdan büyük olduğundan, sonuç da sıfırdan büyük olacaktır.) izdüşümsel düzlemin noktaları birim dairenin iç kısmında kalan bir alt kümesini elde ederiz. Bunu merkezden geçen ${\displaystyle t=1}$ hiper yüzeyli doğruların kesişimi olarak da düşünebiliriz.