Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Bu madde olması gerekenden az içermektedir veya içermemektedir. (Haziran 2017) |
Ehrenfest paradoksu, görelilik teorisinde “biçimi bozulmaz” bir diskin dönme hareketini ele almaktadır. Paul Ehrenfest tarafından 1909 yılında özel görelilik kapsamında kavramıyla ilişkilendirdiği özgün formülasyonunda, kendi simetri ekseni etrafında döndürülen bir ideal biçimi bozulmaz silindirden bahsetmektedir. Laboratuvar çerçevesindeki ölçümde R olan yarıçap her zaman harekete dik yönde olacağından dolayı, duran çerçevede ölçülen R0 yarıçapına eşit olmalıdır. Ancak, çevre (2πR) durmakta olandan daha küçük bir değere γ genel faktorünce Lorentz-Kısalmış olarak gözlenmelidir. Bu şöyle bir çelişkiye yol açmaktadır; R=R0 ve R<R0. Paradoks daha sonra Albert Einstein tarafından detaylıca incelendi, Einstein dış kenar çizgisi üzerine yerleştirilen ve dış kenar çizgisi ile birlikte dönen ölçüm aletlerinin kısalacağından çevre üzerine daha fazla yerleştirileceğini ve çevrenin 2πR den daha büyük görüneceğini gösterdi. Bu dönen gözlemciler için geometrinin Öklid-Dışı geometri olduğunu gösterdi ve bu gösterge Einsten’in Genel Görelilik Kuramı gelişiminde çok önemliydi. Gerçek malzemelerden yapılan içinde ses hızına yakın ile dönen herhangi bir biçimi bozulma nesne merkezkaç kuvvetinden dolayı Rupture noktasını aşacaktır çünkü merkezkaç basıncı malzemenin kesme katsayısını aşamaz.
Burada ses hızı, yoğunluk ve kesme katsayısıdır. Dolayısıyla, ne zaman ki ışık hızına yakın hızlarla bu düşünüldüğünde bu sadece düşünce deneyi olacaktır. Nötron-yozlaşmış malzemeler ışık hızına yakın hızlara olacak sağlanmaktadır çünkü, örneğin nötron-yıldız salınımlarının hızı görece düzeylerdedir, ancak bu malzemeler kesin olarak “biçimi bozulmaz” denecek türden değillerdir.
Paradoksun gereksinimleri
Sabit açısal 
. hızıyla dönmekte olan bir R yarıçaplı bir disk hayal edin. Referans çevçevesi diskin sabit kalan merkezine sabitlenmiştir. Sonrasında, diskin çevresinde herhangi bir noktanın görece hızının büyüklüğü ωR olacaktır. Dolayısıyla, çevre 
faktöründe bir Lorentz-Kısalması’na uğrayacaktır. Ancak, yarıçap hareket yönüne dik olduğundan dolayı herhangi bir kısalmaya uğramayacaktır. Dolayısıyla
.
Bu paradoks oluşturan bir sonuçtur, çünkü Öklid-Geometrisine göre bu oran tam olarak π’ye olmalıdır.
Ehrenfest’in savı
Ehrenfest dönmek üzere yapılmış ideal bir Born-Biçimi Bozulmaz silindir varsaymıştır. Silindirin hiçbir şekilde esneyip uzamadığını veya büzülmediğini varsayarsak, yarıçapı sürekli aynı kalacaktır. Fakat 2πR lik çevre boyunca yerleştirilen ölçüm çubukları durmakta olanlara kıyasla γ faktörünce daha küçük bir değere Lorentz-Kısalmış olacaktır. Bu şöyle bir paradoksa yol açmaktadır; biçimi bozulmaz ölçüm çubukları Lorentz-Kısalmasından dolayı birbirleriyle ayrılmak durumda kalacaktır. Ehrenfest tarafından ortaya koyulan bu uyuşmazlık Born-Biçimi Bozulmaz silindirin parçalanacağını önermektedir.
Dolayısıyla, Ehrenfest Born-Biçimi Bozulmazlığı genel olarak özel görelilikle uyumlu değildir dieyip reductio ad absurdum kullanarak bir iddia ortaya koymuştur. Özel göreliliğe göre bir cisim Born-BiçimiBozulmazlığını korurken dönmeyen bir duruma bükülemez fakat böyle bir cisim sıfırdan farklı sabit bir açısal hız elde ettiğinde özel görelilikle çelişmeden Born-Biçimi Bozulmazlığını korur ve sonrasında (Einstein’in sonradan gösterdiği gibi) disk üzerindeki bir gözlemci yarıçapı 
. olarak ölçecektir.
Einstein ve genel görelilik
Genel göreliliği geliştirirken dönen disk ve dönen diskin biçimi bozulmazlık ile bağlantısı Einstein içinde önemli bir düşünce deneyiydi. Einstein 1912, 1916, 1917, 1922 yıllarındaki birkaç yayınında bu düşünce deneyinden bahsetmektedir ve bu düşünce deneyinden dönen çerçevedeki gözlemci için geometrinin Öklid-Dışı bir geometri olduğu sonucunu çıkarmıştır. Einstein söyle yazmıştır (1922);
s. 66ff: “K'ın x'y' düzlemini merkez alan bir daire çizildiğini ve yarıçapını hayal edin. Daha da ilerisi hayal ederek, bize bir birine eşit çok sayıda biçimi bozulmaz çubuklar verildiğini varsayın. Biz bunların K' a göre sabit duracak şekilde dış kenar çizgisi ve yarıçap boyunca art arda konduğunu varsayalım. Eğer U dış kenar çizgisi boyunca bu çubukların sayısı olacak olursa, D yarıçap boyunca olanların sayısı, sonra, eğer K' K ye göre dönmüyor ise, biz şunu elde ederiz, 
. Fakat eğer K' dönerse biz farklı bir sonuç elde ederiz. Varsayalım K'deki belirli bir zaman olan t de biz bütün çubukların sonlarını belirledik. K ye göre dış kenar çizgisi boyunca olan bütün çubuklar Lorentz kısalmasına maruz kalacaklar fakat yarıçap boyunca olan çubuklar bu kısalmaya maruz kalmayacaklar. Dolayısıyla bu bize şunu gösterir; 
.
Buradan şöyle bir sonuç çıkmaktadır ki K' a göre biçimi bozulmaz nesnelerin düzen yasaları biçimi bozulmaz nesnelerin K e göre olan Öklid geometrisi ile uygunluk gösteren yasalarıyla uyuşmamaktadır. Eğer, daha da ileri gidersek ve aynı özelliklere sahip iki tane (K' ile birlikte dönen) saatten birisini dış kenar çizgisine birisine diğerini çember merkezine yerleştirirsek, K'nin yorumu dış kenar çizgisinde olan saatin merkezdekine göre daha yavaş olduğu olacaktır. K' için zamanı tamamen doğal olmayan yolla tanımlarsak, aynı durum K' dan yorumlandığında da olacaktır, yani K'nin yasaları direkt olarak zamana bağlı hale geleceklerdir. Dolayısıyla, zaman ve mekan K'ye göre özel görelilikte eylemsiz sistemlere göre tanımlandığı gibi tanımlanamayacak. Fakat, eşitlik prensibine göre, K' da yer çekim alanı içeren hareketsiz bir sistem olarak varsayılmalıdır. Dolayısıyla buradan biz şu sonucu çıkarmaktayız ki; yer çekimi zaman-mekan sürekliliğinin metrik yasalarını etkileyen hatta belirlemektedir. Eğer ideal biçimi değişmeyen nesnelerin düzeni geometrik olarak ifade edilirse, yer çekim alanın varlığında geometri Öklid geometrisi olmayacaktır.”
Tarihçe
- 1909: Max Born özel görelilikte biçimi bozulmayan hareket ifadesi ortaya koydu.
- 1909: Born’un biçimi bozulmama ifadesini çalıştıktan sonra, Paul Ehrenfest durağandan dönmeye başlayan bir silindir paradoksunu kullanarak geniş birçok nesnenin hareketinin Born biçimi bozulmazlığına uygun olmadığını gösterdi.
- 1910: Gustav Herglotz ve Fritz Noether bağımsız şekilde Born’un modelini incelediler ve (Herglotz-Fritz Kuramı) Born biçimi bozulmazlığının hareket halindeki nesneler için üç derece özgürlüğe müsaade ettiğini gösterdiler. Örneğin, bir biçimi bozulmaz nesnenin değişmeyen dönme hareketi göstermesi mümkündür, yine de ivmeli dönme hareketi mümkün değil. Yani Ehrenfest’in sonuçlarını onaylar şekilde, bir Born biçimi değişmeyen nesne durağan halden döner hale getirilemez.
- 1910: Max Plank dönderilme sonucu bir diskin kısalmaya uğraması probleminin disk üzerindeki gözlemcinin yapacağı ölçüm ile durağan gözlemcinin ölçümlerinin karşılaştırılması problemi karıştırılmaması gerekliliğine dikkat çekti. Plank ilk problemi çözmenin esneklik kuramını ele almayı ve biraz malzeme modeli ortaya koymayı gerektirdiğini önerdi.
- 1910: Theodor Kaluza disk üzerindeki ve durağan gözlemcilerin çevre için olan ölçümlerindeki farklılığın doğuştan gelen paradoksal hiçbir şey olmadığını işaret etti. Kaluza bunun ancak sadece bir şeyi “dönen diskin geometrisi öklid geometrisi değildir” ifade ettiğini ileri sürmektedir. Kaluza herhangi bir kanıta dayandırmadan bu geometrinin sadece hiperbolik düzlem geometrisi olması gerektiğini ileri sürdü.
- 1911: Max von Laue ivmelenen bir nesnenin sonsuz sayıda özgürlük derecesine sahip olduğunu dolayısıyla hiçbir biçimi değişmeyen nesnenin özel görelilikte var olamayacağını gösterdi.
- 1916: Genel Görelilik Kuramını yeni yazdığı zamanlarda Einstein disk üzerindeki gözlemcinin daha büyük bir çevre ölçeceğini fark etti, C′ = 2π r √(1−v2)−1. Bunun sebebi uzunluk eksenine paralel hareket eden ölçüm aletleri durağan gözlemciye daha kısa gözükecektir. Disk üzerindeki gözlemciler durağan gözlemcilere göre çevreye verilen bir uzunluğa ait daha küçük ölçüm aletleri sığdırabilmektedir.
- 1922: A.S. Eddington ufuk açan kitabı "The Mathematical Theory of Relativity" (p. 113) da dönen diskin yarıçapının (duran göre olan oranla) ‘Lorentz-kısalması’ faktörünün çeyreği çevreye etki etmektedir.
- 1935: Paul Langevin esasen şimdilerde Langevin gözlemciler olarak adlandırılan disk üzerindeki gözlemciler ailesine karşılık gelen bir hareket eden çerçeve (modern terminalojide çerçeve alanı) tanımladı. Paul ayrıca yakındaki Langevin gözlemcilerince ölçülen uzunlukların belirli Riemannian metrike, şimdilerde Langevin-Landau-Lifschitz metrik, karşılık geldiğini gösterdi.
- 1937: Jan Weyssenhoff Langevin gözlemcilerin hiperyüzey dik olmadığın fark etti. Bu sayede, Langevin-Landau-Lifschitz metrikin, Minkowski uzay-zamanın hiperdilimi olmadığını her hayat çizgisinin bir nokta ile yerdeğiştirilmesi ile elde edilen bir oran uzay üzerinde elde edildiği, tanımlandı. Bu metrik yapıyı eklediğimizde Riemannian manifolt haline gelen üç boyutlu pürüssüz manifolt vermektedir.
- 1946: Nathan Rosen Langevin gözlemcileri ile birlikte aynı anda hareket eden eylemsiz gözlemcilerinde Langevin-Landau-Lifschitz metrik tarafından verilen küçük uzunlukları ölçeceğini gösterdi.
- 1946: E. L. Hill (kaba ifadeyle) ışık hızının ses hızına eşit olduğu malzemelerde göresel stresi analiz etti ve bunların merkezkaç kuvveti kaynaklı dairesel genişlemeyi neredeyse ortadan kaldırdığını gösterdi. Hill Arthur Eddington ve diğerlerinin önceki hesaplamalardaki hatalarını da açıkladı.
- 1952: C. Møller dönen gözlemciler bakış açısından anlamsız geodesikleri çalışmayı denedi. (fakat yanlışlıkla uygun bölüntü uzay yerine dilimler kullanmayı deneyerek)
- 1968: V. Cantoni paradoksa direkt ve tamamen kinematik bir açıklama sağladı.
- 1975: Øyvind Grøn paradoksun çözümleri üzerine klasik derleme makalesi yayınladı.
- 1977: Grünbaum ve Janis başta dönmeyen bir diskin spin-upına uygulanabilecek “biçimi-değişebilir” fiziksel gerçekleştirilebilir bir kavram ortaya koydu. (Bu kavram disk yapılabilcek gerçek malzemeler için fiziksel olarak gerçekçi değil, düşünce deneyleri için geçerli)
- 1981: Grøn Hooke yasasının Lorentz dönüşümleri ile uyumlu olmadığını fark edip, göreliliğe dayalı genellemesini ortaya koydu.
- 1997: T. A. Weber ayrı olarak Langevin gözlemcileri ile ilişkili çerçeve alanı tanımladı.
- 2000: Hrvoje Nikolić dönen diskin her bir kısmı kendi eylemsiz olmayan çerçevesinde yaşayarak ayrıca alındığında paradoksun ortadan kalktığını gösterdi.
- 2002: Rizzi and Ruggiero (ve Bel) ayrı ayrı yukarıda bahsedilen bölüntü manifoltu ortaya koydular.
Paradoksa çözüm önerileri
Grøn paradoksun çözümüne dönen çerçevelerdeki saatlerin eşlenmesindeki imkansızlığın set çektiğini ifade etmektedir. Modern çözümler şu şekilde özetlenebilir:
- Disk üzerindeki gözlemcilerce ölçülen küçük uzaklıklar Kaluza’nın iddia ettiği gibi hiperbolik düzlem geometrisi tarafından hakkaten çok iyi (küçük açılar için) yakımsanan Langevin-Landau-Lifschitz metrik tarafından açıklanabilir.
- Fiziksel olarak gerçekçi malzemeler için, gerçek bir disk merkezkaç kuvvetleri yüzünden spin-up fazı boyunca genişler; görecelik etkisi kısmen karşı gelse de bu Newtonsal etkiyi ortadan kaldırmaz. Sabit-durum dönmesi elde edildikten sonra ve disk sakinleşmeye bırakıldıktan sonra, ‘küçüklerde’ geometri yaklaşık Langevin-Landau-Lifschitz metrik tarafından verilmektedir.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu madde olmasi gerekenden az ic baglanti icermektedir veya hic icermemektedir Lutfen bu sayfadan ilgili maddelere ic baglanti vermeye calisin Haziran 2017 Ehrenfest paradoksu gorelilik teorisinde bicimi bozulmaz bir diskin donme hareketini ele almaktadir Paul Ehrenfest tarafindan 1909 yilinda ozel gorelilik kapsaminda kavramiyla iliskilendirdigi ozgun formulasyonunda kendi simetri ekseni etrafinda dondurulen bir ideal bicimi bozulmaz silindirden bahsetmektedir Laboratuvar cercevesindeki olcumde R olan yaricap her zaman harekete dik yonde olacagindan dolayi duran cercevede olculen R0 yaricapina esit olmalidir Ancak cevre 2pR durmakta olandan daha kucuk bir degere g genel faktorunce Lorentz Kisalmis olarak gozlenmelidir Bu soyle bir celiskiye yol acmaktadir R R0 ve R lt R0 Paradoks daha sonra Albert Einstein tarafindan detaylica incelendi Einstein dis kenar cizgisi uzerine yerlestirilen ve dis kenar cizgisi ile birlikte donen olcum aletlerinin kisalacagindan cevre uzerine daha fazla yerlestirilecegini ve cevrenin 2pR den daha buyuk gorunecegini gosterdi Bu donen gozlemciler icin geometrinin Oklid Disi geometri oldugunu gosterdi ve bu gosterge Einsten in Genel Gorelilik Kurami gelisiminde cok onemliydi Gercek malzemelerden yapilan icinde ses hizina yakin ile donen herhangi bir bicimi bozulma nesne merkezkac kuvvetinden dolayi Rupture noktasini asacaktir cunku merkezkac basinci malzemenin kesme katsayisini asamaz FS mv2rS lt mcs2rS mGrSr G displaystyle frac F S frac mv 2 rS lt frac mc s 2 rS approx frac mG rS rho approx G Burada ses hizi yogunluk ve kesme katsayisidir Dolayisiyla ne zaman ki isik hizina yakin hizlarla bu dusunuldugunde bu sadece dusunce deneyi olacaktir Notron yozlasmis malzemeler isik hizina yakin hizlara olacak saglanmaktadir cunku ornegin notron yildiz salinimlarinin hizi gorece duzeylerdedir ancak bu malzemeler kesin olarak bicimi bozulmaz denecek turden degillerdir Paradoksun gereksinimleriSabit acisal wR displaystyle omega R hiziyla donmekte olan bir R yaricapli bir disk hayal edin Referans cevcevesi diskin sabit kalan merkezine sabitlenmistir Sonrasinda diskin cevresinde herhangi bir noktanin gorece hizinin buyuklugu wR olacaktir Dolayisiyla cevre 1 wR 2 c2 displaystyle sqrt 1 omega R 2 c 2 faktorunde bir Lorentz Kisalmasi na ugrayacaktir Ancak yaricap hareket yonune dik oldugundan dolayi herhangi bir kisalmaya ugramayacaktir Dolayisiyla cevrecap 2pR1 wR 2 c22R p1 wR 2 c2 displaystyle frac cevre cap frac 2 pi R sqrt 1 omega R 2 c 2 2R pi sqrt 1 omega R 2 c 2 Bu paradoks olusturan bir sonuctur cunku Oklid Geometrisine gore bu oran tam olarak p ye olmalidir Ehrenfest in saviEhrenfest paradox Circumference of a rotating disk should contract but not the radius as radius is in perpendicular to the direction of motion Ehrenfest donmek uzere yapilmis ideal bir Born Bicimi Bozulmaz silindir varsaymistir Silindirin hicbir sekilde esneyip uzamadigini veya buzulmedigini varsayarsak yaricapi surekli ayni kalacaktir Fakat 2pR lik cevre boyunca yerlestirilen olcum cubuklari durmakta olanlara kiyasla g faktorunce daha kucuk bir degere Lorentz Kisalmis olacaktir Bu soyle bir paradoksa yol acmaktadir bicimi bozulmaz olcum cubuklari Lorentz Kisalmasindan dolayi birbirleriyle ayrilmak durumda kalacaktir Ehrenfest tarafindan ortaya koyulan bu uyusmazlik Born Bicimi Bozulmaz silindirin parcalanacagini onermektedir Dolayisiyla Ehrenfest Born Bicimi Bozulmazligi genel olarak ozel gorelilikle uyumlu degildir dieyip reductio ad absurdum kullanarak bir iddia ortaya koymustur Ozel gorelilige gore bir cisim Born BicimiBozulmazligini korurken donmeyen bir duruma bukulemez fakat boyle bir cisim sifirdan farkli sabit bir acisal hiz elde ettiginde ozel gorelilikle celismeden Born Bicimi Bozulmazligini korur ve sonrasinda Einstein in sonradan gosterdigi gibi disk uzerindeki bir gozlemci yaricapi C 2pR1 v2 c2 displaystyle C prime frac 2 pi R sqrt 1 v 2 c 2 olarak olcecektir Einstein ve genel gorelilikGenel goreliligi gelistirirken donen disk ve donen diskin bicimi bozulmazlik ile baglantisi Einstein icinde onemli bir dusunce deneyiydi Einstein 1912 1916 1917 1922 yillarindaki birkac yayininda bu dusunce deneyinden bahsetmektedir ve bu dusunce deneyinden donen cercevedeki gozlemci icin geometrinin Oklid Disi bir geometri oldugu sonucunu cikarmistir Einstein soyle yazmistir 1922 s 66ff K in x y duzlemini merkez alan bir daire cizildigini ve yaricapini hayal edin Daha da ilerisi hayal ederek bize bir birine esit cok sayida bicimi bozulmaz cubuklar verildigini varsayin Biz bunlarin K a gore sabit duracak sekilde dis kenar cizgisi ve yaricap boyunca art arda kondugunu varsayalim Eger U dis kenar cizgisi boyunca bu cubuklarin sayisi olacak olursa D yaricap boyunca olanlarin sayisi sonra eger K K ye gore donmuyor ise biz sunu elde ederiz U D p displaystyle U D pi Fakat eger K donerse biz farkli bir sonuc elde ederiz Varsayalim K deki belirli bir zaman olan t de biz butun cubuklarin sonlarini belirledik K ye gore dis kenar cizgisi boyunca olan butun cubuklar Lorentz kisalmasina maruz kalacaklar fakat yaricap boyunca olan cubuklar bu kisalmaya maruz kalmayacaklar Dolayisiyla bu bize sunu gosterir U D gt p displaystyle U D gt pi Buradan soyle bir sonuc cikmaktadir ki K a gore bicimi bozulmaz nesnelerin duzen yasalari bicimi bozulmaz nesnelerin K e gore olan Oklid geometrisi ile uygunluk gosteren yasalariyla uyusmamaktadir Eger daha da ileri gidersek ve ayni ozelliklere sahip iki tane K ile birlikte donen saatten birisini dis kenar cizgisine birisine digerini cember merkezine yerlestirirsek K nin yorumu dis kenar cizgisinde olan saatin merkezdekine gore daha yavas oldugu olacaktir K icin zamani tamamen dogal olmayan yolla tanimlarsak ayni durum K dan yorumlandiginda da olacaktir yani K nin yasalari direkt olarak zamana bagli hale geleceklerdir Dolayisiyla zaman ve mekan K ye gore ozel gorelilikte eylemsiz sistemlere gore tanimlandigi gibi tanimlanamayacak Fakat esitlik prensibine gore K da yer cekim alani iceren hareketsiz bir sistem olarak varsayilmalidir Dolayisiyla buradan biz su sonucu cikarmaktayiz ki yer cekimi zaman mekan surekliliginin metrik yasalarini etkileyen hatta belirlemektedir Eger ideal bicimi degismeyen nesnelerin duzeni geometrik olarak ifade edilirse yer cekim alanin varliginda geometri Oklid geometrisi olmayacaktir Tarihce1909 Max Born ozel gorelilikte bicimi bozulmayan hareket ifadesi ortaya koydu 1909 Born un bicimi bozulmama ifadesini calistiktan sonra Paul Ehrenfest duragandan donmeye baslayan bir silindir paradoksunu kullanarak genis bircok nesnenin hareketinin Born bicimi bozulmazligina uygun olmadigini gosterdi 1910 Gustav Herglotz ve Fritz Noether bagimsiz sekilde Born un modelini incelediler ve Herglotz Fritz Kurami Born bicimi bozulmazliginin hareket halindeki nesneler icin uc derece ozgurluge musaade ettigini gosterdiler Ornegin bir bicimi bozulmaz nesnenin degismeyen donme hareketi gostermesi mumkundur yine de ivmeli donme hareketi mumkun degil Yani Ehrenfest in sonuclarini onaylar sekilde bir Born bicimi degismeyen nesne duragan halden doner hale getirilemez 1910 Max Plank donderilme sonucu bir diskin kisalmaya ugramasi probleminin disk uzerindeki gozlemcinin yapacagi olcum ile duragan gozlemcinin olcumlerinin karsilastirilmasi problemi karistirilmamasi gerekliligine dikkat cekti Plank ilk problemi cozmenin esneklik kuramini ele almayi ve biraz malzeme modeli ortaya koymayi gerektirdigini onerdi 1910 Theodor Kaluza disk uzerindeki ve duragan gozlemcilerin cevre icin olan olcumlerindeki farkliligin dogustan gelen paradoksal hicbir sey olmadigini isaret etti Kaluza bunun ancak sadece bir seyi donen diskin geometrisi oklid geometrisi degildir ifade ettigini ileri surmektedir Kaluza herhangi bir kanita dayandirmadan bu geometrinin sadece hiperbolik duzlem geometrisi olmasi gerektigini ileri surdu 1911 Max von Laue ivmelenen bir nesnenin sonsuz sayida ozgurluk derecesine sahip oldugunu dolayisiyla hicbir bicimi degismeyen nesnenin ozel gorelilikte var olamayacagini gosterdi 1916 Genel Gorelilik Kuramini yeni yazdigi zamanlarda Einstein disk uzerindeki gozlemcinin daha buyuk bir cevre olcecegini fark etti C 2p r 1 v2 1 Bunun sebebi uzunluk eksenine paralel hareket eden olcum aletleri duragan gozlemciye daha kisa gozukecektir Disk uzerindeki gozlemciler duragan gozlemcilere gore cevreye verilen bir uzunluga ait daha kucuk olcum aletleri sigdirabilmektedir 1922 A S Eddington ufuk acan kitabi The Mathematical Theory of Relativity p 113 da donen diskin yaricapinin duran gore olan oranla Lorentz kisalmasi faktorunun ceyregi cevreye etki etmektedir 1935 Paul Langevin esasen simdilerde Langevin gozlemciler olarak adlandirilan disk uzerindeki gozlemciler ailesine karsilik gelen bir hareket eden cerceve modern terminalojide cerceve alani tanimladi Paul ayrica yakindaki Langevin gozlemcilerince olculen uzunluklarin belirli Riemannian metrike simdilerde Langevin Landau Lifschitz metrik karsilik geldigini gosterdi 1937 Jan Weyssenhoff Langevin gozlemcilerin hiperyuzey dik olmadigin fark etti Bu sayede Langevin Landau Lifschitz metrikin Minkowski uzay zamanin hiperdilimi olmadigini her hayat cizgisinin bir nokta ile yerdegistirilmesi ile elde edilen bir oran uzay uzerinde elde edildigi tanimlandi Bu metrik yapiyi ekledigimizde Riemannian manifolt haline gelen uc boyutlu purussuz manifolt vermektedir 1946 Nathan Rosen Langevin gozlemcileri ile birlikte ayni anda hareket eden eylemsiz gozlemcilerinde Langevin Landau Lifschitz metrik tarafindan verilen kucuk uzunluklari olcecegini gosterdi 1946 E L Hill kaba ifadeyle isik hizinin ses hizina esit oldugu malzemelerde goresel stresi analiz etti ve bunlarin merkezkac kuvveti kaynakli dairesel genislemeyi neredeyse ortadan kaldirdigini gosterdi Hill Arthur Eddington ve digerlerinin onceki hesaplamalardaki hatalarini da acikladi 1952 C Moller donen gozlemciler bakis acisindan anlamsiz geodesikleri calismayi denedi fakat yanlislikla uygun boluntu uzay yerine dilimler kullanmayi deneyerek 1968 V Cantoni paradoksa direkt ve tamamen kinematik bir aciklama sagladi 1975 Oyvind Gron paradoksun cozumleri uzerine klasik derleme makalesi yayinladi 1977 Grunbaum ve Janis basta donmeyen bir diskin spin upina uygulanabilecek bicimi degisebilir fiziksel gerceklestirilebilir bir kavram ortaya koydu Bu kavram disk yapilabilcek gercek malzemeler icin fiziksel olarak gercekci degil dusunce deneyleri icin gecerli 1981 Gron Hooke yasasinin Lorentz donusumleri ile uyumlu olmadigini fark edip gorelilige dayali genellemesini ortaya koydu 1997 T A Weber ayri olarak Langevin gozlemcileri ile iliskili cerceve alani tanimladi 2000 Hrvoje Nikolic donen diskin her bir kismi kendi eylemsiz olmayan cercevesinde yasayarak ayrica alindiginda paradoksun ortadan kalktigini gosterdi 2002 Rizzi and Ruggiero ve Bel ayri ayri yukarida bahsedilen boluntu manifoltu ortaya koydular Paradoksa cozum onerileriGron paradoksun cozumune donen cercevelerdeki saatlerin eslenmesindeki imkansizligin set cektigini ifade etmektedir Modern cozumler su sekilde ozetlenebilir Disk uzerindeki gozlemcilerce olculen kucuk uzakliklar Kaluza nin iddia ettigi gibi hiperbolik duzlem geometrisi tarafindan hakkaten cok iyi kucuk acilar icin yakimsanan Langevin Landau Lifschitz metrik tarafindan aciklanabilir Fiziksel olarak gercekci malzemeler icin gercek bir disk merkezkac kuvvetleri yuzunden spin up fazi boyunca genisler gorecelik etkisi kismen karsi gelse de bu Newtonsal etkiyi ortadan kaldirmaz Sabit durum donmesi elde edildikten sonra ve disk sakinlesmeye birakildiktan sonra kucuklerde geometri yaklasik Langevin Landau Lifschitz metrik tarafindan verilmektedir