Karmaşık analizde holomorf fonksiyonlar için özdeşlik teoremi, açık bir D kümesi üzerinde verilmiş olan f ve g gibi iki holomorf fonksiyon D içindeki bir z noktasının komşuluğunun üzerinde eşit olursa (yani f = g ise), o zaman bu iki fonksiyonun D üzerinde eşit olduklarını ifade eder. Bu yüzden, holomorf bir fonksiyon tamamıyla, D içinde muhtemelen çok küçük bir komşuluktaki değerleriyle belirlenir. Bu durum, gerçel türevlenebilir fonksiyonlar için doğru değildir. Karşılaştırıldığında, holomorfi veya karmaşık türevlenebilirlik, daha esnek olmayan bir fikirdir. Matematik gösteriminin dışında bir dil kullanılırsa, sürekli fonksiyonlar "yumuşak" olarak değerlendirilirse holomorf fonksiyonlar "sert"tir.
Teoremin altında destek olan fikir holomorf fonksiyonların .
Kanıt
D bölgesi üzerindeki bağlantılılık varsayımı gereklidir ve aslında kısa bir kanıtın anahtarıdır. (Açıkçası, D iki açık ve ayrık kümeden oluşursa, sonuç burada doğru olmaz.) Bu varsayım altında, verilen küme boş olmadığı için, topoloji açısından iddia, f ve g 'nin hem açık hem de olan bir küme üzerinde eşit oldukları anlamına gelir. Burada kapalılık, f ve g 'nin sürekliliğinden ileri gelmektedir.
Bu yüzden, ana fikir f ve g 'nin birbirine eşit olduğu açık kümeyi göstermektir. Bir holomorf fonksiyon kendi tanım kümesindeki her yerde kendi vasıtasıyla temsil edilebildiği için
kümesini göz önüne almak yeterlidir.
w, S 'nin içinde bir nokta olsun. O zaman, f ve g 'nin Taylor serileri pozitif yakınsaklık yarıçapına sahip olduğundan, belli bir r için Br(w) açık diski de S içinde yer alır. (Aslında r, w 'nin D 'nin sınırına olan uzaklığından küçük herhangi bir sayı olabilir.) Bu S 'nin açık olduğunu gösterir ve teoremin kanıtını verir.
Bir iyileştirme
Teoremin varsayımları aynı sonucu üretecek şekilde hafifçe gevşetilebilir. Belirli bir şekilde, D üzerindeki iki holomorf fonksiyon, D içindeki yığılma noktası (bu nokta c olsun) olan bir kümede aynıysa, o zaman D üzerinde f=g 'dir.
Bunu kanıtlamak için, her k ≥ 0 için f(k)(c) = g(k)(c) olduğunu göstermek yeterlidir. Eğer böyle olmazsa, m, f(m)(c) ≠ g(m)(c) eşitsizliğini sağlayan negatif olmayan en küçük tam sayı olsun. Holomorfi dolayısıyla, c 'nin açık bir komşuluğunda aşağıdaki Taylor serisi temsili vardır:
Bariz bir şekilde, h, c etrafındaki açık bir B diskinde sıfır değeri almaz. Ancak, bu halde, delikli B - {c} kümesi üzerinde f - g ≠ 0 olur. Ama bu da c 'nin yığılma noktası olmasıyla {f = g} çelişir ve bu yüzden iddia kanıtlanır.
Teoremin bu formülasyonu, karmaşık bir a sayısı için f = a olmadıkça f -1(a) 'nın ayrık (ve sayılabilir) bir küme olduğunu gösterir.
Kaynakça
- Ablowitz, Mark J.; Fokas A. S., Complex variables: Introduction and applications, Cambridge University Press, Cambridge, Birleşik Krallık, 1997, sf. 123, .
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Karmasik analizde holomorf fonksiyonlar icin ozdeslik teoremi acik bir D kumesi uzerinde verilmis olan f ve g gibi iki holomorf fonksiyon D icindeki bir z noktasinin komsulugunun uzerinde esit olursa yani f g ise o zaman bu iki fonksiyonun D uzerinde esit olduklarini ifade eder Bu yuzden holomorf bir fonksiyon tamamiyla D icinde muhtemelen cok kucuk bir komsuluktaki degerleriyle belirlenir Bu durum gercel turevlenebilir fonksiyonlar icin dogru degildir Karsilastirildiginda holomorfi veya karmasik turevlenebilirlik daha esnek olmayan bir fikirdir Matematik gosteriminin disinda bir dil kullanilirsa surekli fonksiyonlar yumusak olarak degerlendirilirse holomorf fonksiyonlar sert tir Teoremin altinda destek olan fikir holomorf fonksiyonlarin KanitD bolgesi uzerindeki baglantililik varsayimi gereklidir ve aslinda kisa bir kanitin anahtaridir Acikcasi D iki acik ve ayrik kumeden olusursa sonuc burada dogru olmaz Bu varsayim altinda verilen kume bos olmadigi icin topoloji acisindan iddia f ve g nin hem acik hem de olan bir kume uzerinde esit olduklari anlamina gelir Burada kapalilik f ve g nin surekliliginden ileri gelmektedir Bu yuzden ana fikir f ve g nin birbirine esit oldugu acik kumeyi gostermektir Bir holomorf fonksiyon kendi tanim kumesindeki her yerde kendi vasitasiyla temsil edilebildigi icin S z D f k z g k z k 0 displaystyle S z in D f k z g k z quad forall k geq 0 kumesini goz onune almak yeterlidir w S nin icinde bir nokta olsun O zaman f ve g nin Taylor serileri pozitif yakinsaklik yaricapina sahip oldugundan belli bir r icin Br w acik diski de S icinde yer alir Aslinda r w nin D nin sinirina olan uzakligindan kucuk herhangi bir sayi olabilir Bu S nin acik oldugunu gosterir ve teoremin kanitini verir Bir iyilestirmeTeoremin varsayimlari ayni sonucu uretecek sekilde hafifce gevsetilebilir Belirli bir sekilde D uzerindeki iki holomorf fonksiyon D icindeki yigilma noktasi bu nokta c olsun olan bir kumede ayniysa o zaman D uzerinde f g dir Bunu kanitlamak icin her k 0 icin f k c g k c oldugunu gostermek yeterlidir Eger boyle olmazsa m f m c g m c esitsizligini saglayan negatif olmayan en kucuk tam sayi olsun Holomorfi dolayisiyla c nin acik bir komsulugunda asagidaki Taylor serisi temsili vardir f g z z c m f g m f g m 1 z c z c m h z displaystyle begin aligned f g z amp z c m cdot f g m f g m 1 z c cdots amp z c m cdot h z end aligned Bariz bir sekilde h c etrafindaki acik bir B diskinde sifir degeri almaz Ancak bu halde delikli B c kumesi uzerinde f g 0 olur Ama bu da c nin yigilma noktasi olmasiyla f g celisir ve bu yuzden iddia kanitlanir Teoremin bu formulasyonu karmasik bir a sayisi icin f a olmadikca f 1 a nin ayrik ve sayilabilir bir kume oldugunu gosterir KaynakcaAblowitz Mark J Fokas A S Complex variables Introduction and applications Cambridge University Press Cambridge Birlesik Krallik 1997 sf 123 ISBN 0 521 48058 2