Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Bu maddede birçok sorun bulunmaktadır. Lütfen sayfayı geliştirin veya bu sorunlar konusunda bir yorum yapın.
|
Matematik ve kuramsal fizikte, ayna simetrisi Calabi-Yau dağıtımlar olarak adlandırılan geometrik cisimler arasındaki ilişkidir. Bu olay, şekilleri geometrik olarak farklı görünen altı boyutlu iki dağıtım için gerçekleşebilir ama yine de eğer bu boyutlar sicim kuramının gizli boyutları ise eşdeğerdirler. Bu durumda, altı boyutlu dağıtımlar için biri diğerinin aynası denir. Ayna simetrisi ilk olarak fizikçiler tarafından keşfedilmiştir. 1990’larda ne zaman ki Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green ve Linda Parks ayna simetrisinin Calabi-Yau dağıtımında rasyonel dalgaların sayımında kullanılabileceğini, yani eskiden beri süre gelen problemlerin çözümünde kullanılabileceğini göstermiş; o zaman matematikçiler ayna simetrisiyle ilgilenmeye başlamışlardır. Ayna simetrisine orijinal yaklaşım kuramsal fizikteki kesin olmayan fikirlere dayansa da matematikçiler ayna simetrisindeki bazı matematiksel tahminlerde kesin ispat yapmışlardır. Bugün, ayna simetrisi soyut matematikte ana araştırma konusudur ve matematikçiler fizikçilerin görülerine dayanan ayna simetrisi için matematiksel bir anlayış geliştirmeye çalışmaktadırlar. Ayrıca, ayna simetrisi sicim kuramındaki hesaplamalar için temel bir araçtır. Ayna simetrisi için ana yaklaşımlar Maksim Kontseviç’in homolog ayna simetrisi programını ve Andrew Strominger, Shing-Tung Yau ve Eric Zaslow'un SYZ varsayımını içerir.
Genel Tanıtım
Ayna Simetrisi Düşüncesi
Ayna simetrisi, fizikçilerin "ikilik" dedikleri durum için hususi bir örnektir. Fizikte, ikilik terimi iki farklı görünen fiziksel sistemin eşit olduğunun basit olmayan bir şekilde ortaya çıkmasını kasteder. Eğer iki kuram arasında bir ikilik var ise, kuramlardan biri diğer kurama bir şekilde aynısı gibi benzeyecek hale dönüştürülebilir anlamına gelir. Bu durumda, dönüşüm altında iki kuram çift olarak adlandırılır. Diğer bir deyişle, bu iki kuram aynı fenomenin farklı matematiksel tasvirleridir.
Kuramsal fizikte çalışılan birçok ikilikler gibi ayna simetrisi de sicim kuramı bağlamında keşfedilmiştir. Sicim kuramında, parçacıklar sıfır boyutlu olarak değil sicim gibi bir boyutlu uzatılmış objeler olarak modellendirilmiştir. Sicim kuramının kendine özgü özelliklerinden biri kuramın matematiksel tutarlılığı için ekstra uzay-zaman boyutları gerektirmesidir. Sicim kuramının süper simetriyi kapsamış hali olan süper sicim kuramında, günlük tecrübelerle bilinen dört boyuta ek olarak altı tane uzay-zaman boyutu vardır. Sicim kuramına dayanan fiziğin en realist modellerinde, ekstra boyutlar kompaktifikasyon süreci olarak bilinen düşük enerjilerdeki kuram ile elimine edilir. Bu daha az sayıda uzay-zaman boyutları olan ve ekstra boyutlar Calabi-You dağıtımlarına “kıvrılmış” olan bir kuram üretir. Bunun için standart bir benzetme bahçe hortumu gibi çok boyutlu bir objedir. Yeterli bir mesafeden bakıldığında hortumun tek bir boyutu yani hortumun uzunluğu görünecektir. Ancak, hortuma yaklaşıldıkça bir boyutu daha hortumun çevresi olduğu görülecektir. Dolayısıyla, hortumun içindeki bir karınca iki boyutta hareket edecektir. Sicim kuramına dayalı bazı modellerde, Calabi-Yau dağıtımlar hortumun çevresine benzer bir rol oynar. 1980’lerin sonunda böyle bir kompaktifikasyonu verilmiş sicim kuramına karşılık benzersiz bir Calabi-Yau dağıtımının yeniden yapılmasının mümkün olmadığı gözlenmiştir. Bunun yerine, aynı fiziği doğuran iki Calabi-Yau dağıtımı olduğu bulunur. Bu dağıtımlar için birbiririnin “ayna”sı denir. Tam ikilik hala bir varsayım olsa da Edward Witten tarafından tanıtılan sicim kuramının basit versiyonu olan topolojik sicim kuramının kapsadığı ayna simetrisi versiyonu kesin olarak matematikçiler tarafından ispatlanmıştır. Topolojik sicim kuramı kapsamında, ayna simetrisi iki kuramı belirtir, A-modeli ve B-modeli kesin bir anlamda birbirine eşdeğerdir.
Sicim kuramının Calabi-Yau kompaktifikasyonları doğanın doğru bir tasvirini sağlamasına bakılmaksızın ayna simetrisinin Calabi-Yau dağıtımlarıyla arasındaki ilişkinin varlığının önemli matematiksel sonuçları vardır. Soyut matematik sicim kuramında kullanılan Calabi-Yau dağıtımlarıyla ilgilenir ve ayna simetrisi matematikçilerin enumarativ cebirsel geometrideki birçok problemi çözmesini Calabi-Yau aynası için eşdeğer problemleri çözmesiyle olanak sağlar. Bugün, ayna simetrisi matematiğin aktif bir araştırma alanıdır ve matematikçiler hala fizkçilerin görülerine dayanan ayna simetrisi için matematiksel bir anlayış geliştirmeye çalışmaktadırlar.
Karmaşık Geometri
Ayna ikiliğinin bir tarafındaki geometriyi anlamak için, kompleks düzlemin noktalarını tanımlayan ortası delik bir çöreğe benzeyen kabartı bir yapı göz önünde bulundurulabilir. Bu yapıyı oluşturmak için ω1/ω2 gerçek olmayacak şekilde ω1 ve ω2 gibi bir çift kompleks sayı seçilir.ω1 ve ω2' nin gerçek olmaması koşulu bu noktaların aynı doğrultuda olmadığını kesinleştirmek içindir. Daha sonar bu noktalar köşe noktaları 0 ve olan bir paralelkenar oluşturur. Paralelkenarın bu köşeleri tanımlanarak istenile kabartı oluşturulur. Bu şekilde elde edilen torilerin hepsi birbirlerine devamlı olarak dönüştürülebilecek şekilde eşittirler. Ancak, onları birbirlerinden ayırmamızı sağlayan fazladan bir yapıları vardır. Şöyle ki, bu şekilde oluşturulan tori karmaşık bir yapıyı sahiptir yani, bu kabartıya komşu herhangi bir nokta karmaşık bir düzlemdeki bir bölgeye benzeyecEğer, orijinal kompleks sayılar yerine onların ortak bir faktörle yeniden ölçeklendirilmiş hali W1 ve W2’ kompleks sayı çiftini kullanırsak (λ gibi karmaşık bir sayı için ω1'=λω1 ve ω2=λω2)Dolayısıyla tori koleksiyonunu yeniden ölçeklendirildikçe değişmeyen bir oran olan kullanarak parametrize etmek uygundur. Genelliğini kaybetmeden t parametresinın pozitif bir sanal kısmı olduğu varsayılabilir dolayısıyla düzlemin üst yarısındaki değerleri alır. Ayrıca, parametrelerin aynı kabartıya denk geldiği gösterilebilir.
Eğer iki tori farklı t değerlerine sahipse o zaman birbirlerine eşit olmayan kompleks yapıları vardır. t parametresinin paralelkenarın karşı kenarlarınını belirlemek için oluşturulan kabartıun şeklini tanımladığı düşünülebilir. Yukarıda açıklandığı gibi ayna simetirisi topolojik sicim kuramının iki fiziksel kuramı olan A-model ve B-modelle ilişkilidir. Bu ikilikte topolojik B-model sadece uzay-zamanın kompleks yapısına dayanır. Dolayısıyla eğer kuramda uzay-zamanı bir kabartı olarak kabul edersek, kuram devamlı olarak sadece parametresine dayanır.
Simplektik Geometri
Kabartının geometrisinin bir diğer açısı kabartının boyutudur. Daha ayrıntılı olarak, kabartının görünümünü birim karenin karşı kenarlarını tanımlayarak elde edilen yüzey olarak söyleyebiliriz ve kabartının alanı bu karedeki alan unsuru ρ"dydx" ile belirtilir. Bu alan unsurunu kareye entegre ederek, kabartıya denk gelen ρ alanını elde ederiz. Bu konseptler daha yüksek boyutlara genellenebilir ve alan unsuru simplektik form kavramıyla genellenir. Simplektik form ile donatılmış uzay çalışmasına simplektik geometri denir.
Ayna simetirisinde, topolojik sicim kuramının A-modeli sadece uzay-zamanın simplektik geometrisine dayanan bir kuramdır. Dolayısıyla, eğer uzay-zamanı bir kabartı olarak kabul edersek, A-model devamlı olarak ρ parametresine dayanır.
T-ikilik
Şu ana kadar karmaşık düzlemdeki paralelkenarın karşı kenarlarını tanımlayarak nasıl kabartı elde edilebileceğini gördük. Buna basit bir örnek olarak karmaşık sayılar ω1 ve ω2 gerçek ve sanal ekseninde bulunsunlar. Bu durumda R1 ve R2reel sayı olmaları koşuluyla ω1= R1 ve ω2= R2
Kabartının simplektik yapısının, alan unsur tarafından nasıl belirlendiğini açıkladık. Paralelkenarımızda 
ve 
koordinatlarını seçebiliriz böylece paralelkenarımızın her kenarının uzunluğu 1 olur. Daha sonra kabartımızın alan unsuru R1R2 "dxdy" olur ki bu birim kareye R1R2'yi entegre eder. Biz ρ simplektik parametresini çarpımı olarak tanımlarız. Şimdi bir fiziksel kuram için kabartının uzay-zamanı temsil ettiğini düşünelim. Bu kuramın temel objeleri kuantum mekaniğinin kurallarına göre uzay-zamanda yayılan sicimlerdir. Sicim kuramının temek ikiliklerinden biri T-ikiliğidir. Bu ikilik belirtir ki bir tanımdaki bütün miktarların ikili tanımda tanımlanması koşulu ile R çaplı çemberde yayılan sicim 1/R çaplı çemberde yayılan sicime eştir. Kabartı ayrıca iki çemberin kartezyen çarpımı da olabilir. Bu demek oluyor ki kabartıdaki ekvatoral çemberin her noktası için bir boylamsal çember vardır.
Örneğin, bir tanımda sicimin momentumu ayrık değerler alıyor ve bu değerler ikili tanımda sicimin çember etrafında dolanma sayısına eşit oluyor. T-ikiliğini kabartıtaki boylamsal çembere uygulanmasıyla, uzay-zamanın farklı bir kabartı tarafından temsil edildiği eş bir tanım bulunur. Genel olarak, ayna simetrisi kompleks geometrideki problemleri simplektik problemlere çeviren iki fiziksel kurama eştir. Kabartı burada iki boyutlu Calabi-Yau dağıtımlarını pekiştirmek için kullanılan ayna simetrisinin en basit örneğidir. Sicim kuramının uygulanmasında altı boyutlu Calabi-Yau dağıtımları göz önüne alınır. Bu altı boyutun karşılığı uzay-zamanın gözlenmeyen altı boyutudur.
Tarih ve Gelişim
Ayna Simetrisinin Keşfi
Ayna simetrisi fikri R çaplı çemberde yayılan sicimin uygun birimlerle fiziksel olarak 1/R çaplı çemberde yayılan sicime eşit olmasının fark edildiği 1980'lere dayanır. Bu fenomen T-ikiliği olarak bilinir ve ayna simetrisiyle yakından ilişkili olduğu anlaşılır. 1985'teki bir kâğıtta Philip Candelas, Gary Horowitz, Andrew Strominger ve Edward Witten Calabi-Yau dağıtımını sicim kuramıyla yoğunlaştırarak parçacık kuramının standart modeline kabaca benzeyen bir kuram elde ederler. Bu gelişmenin ardından sicim kuramına dayalı parçacık fiziği için gerçekçi bir model oluşturma umuduyla birçok fizikçi Calabi-Yau kompaktifikasyonları üzerine çalışmaya başlar. Verilen fiziksel modelle Calabi-Yau dağıtımına denk benzersiz bir model oluşturulamayacağı anlaşılır. Bunun yerine iki Calabi-Yau dağıtımının aynı fiziği doğurduğu bulunur. Calabi-Yau dağıtımları ve Konform Alan kuramı arasındaki ilişki üzerine çalışan Brian Greene ve Ronen Plesser ayna ilişkisinin çözülmesi zor örneklerini bulurlar. Bu ilişki hakkındaki daha fazla kanıt Philip Candelas ve bilgisayar ile Calabi-Yau dağıtımları üzerine geniş çaplı araştırma yapan ve tahmin edildiği gibi ayna simetrisindeki çiftleri gören iki öğrencisinin çalışmalarından gelir.
Ayna Simetrisi Uygulamaları
Philip Candelas, Xenia de la Ossa, Paul Green ve Linda Parks’ın ayna simetrisinin enumarativ geometrideki bazıları onlarca yıl çözülemeyen problemlerin çözümünde kullanılabileceğini göstermesiyle matematikçiler 1990'larda ayna simetrisine ilgi duymaya başlamışlardır. Bu sonuçlar Mayıs 1991'de Berkeley, Kaliforniyada matematikçilere MSRI konferansında gösterilmiştir. Bu konferans sırasında Candelas'ın rasyonel dalgalar sayılırken bulduğu sayı Geir Ellingsrud ve Stein Arild Strømme adlı iki Norveçli matematikçinin görünüşte daha kesin yöntemlerle buldukları sayı ile uyuşmamıştır.
Konferanstaki birçok matematikçi kesin matematiksel argümanlara dayanmadığı için Candelas’ın yönteminde bir hata olduğunu düşünmüşlerdir. Ancak daha sonar Ellingsrud ve Strømme kendi bir hata olduğunu görmüş ve koddaki hatayı düzeltince Candelas’ın bulduğu cevap ile uyuşan bir sonuç almışlardır.
Kanıtlanan Ayna Simetrisi
1990 yılında, Edward Witten sicim kuramının basitleştirilmiş bir sürümünü, topolojik sicim kuramını tanıttı ve fizikçiler topolojik sicim kuramı için ayna simetrisinin bir sürümü olduğunu gösterdiler. Topolojik sicim kuramı hakkındaki bu deyim genellikle matematik literatüründeki ayna simetirisinin tanımı denir. 1994’te Uluslararası Matematikçiler Kongresinde, matematikçi Maxim Kontsevich topolojik sicim kuramındaki ayna simetrisinin fiziksel fikrine dayanan yeni bir matematiksel varsayım sundu. Homolojik ayna simetrisi olarak bilinen bu varsayım iki matematiksel yapının denkliği olarak ayna simetrisini formülüze eder: Calabi-Yau dağıtımı üstündeki tutatlı bobinlerin türetilmiş kategorisi, Fukaya kategorisi ve onun aynası.
Ayrıca 1995 civarında, Kontsevich beşinci dereceden üç bilinmeyenli rasyonel eğrileri sayma sorunu için genel bir formül veren Candelas’ın sonucunu analiz eder ve daha sonra kesin bir matematiksel varsayım olarak bu sonuçları yeniden formüle eder. 1996 yılında, Alexander Giventel Kontsevich’in bu varsayımını kanıtlamak için bir kâğıt yayınladı. Başlangıçta, birçok matematikçi bu yazıyı anlaması zor buldu ve bu nedenle Givental’ın kanıtının doğruluğu ile ilgili şüpheler oluştu. Bunu izleyen yıllarda, Bong Lian, Kefeng Liu ve Shing-Tung Yau bir dizi bağımsız kanıtlar yayınladılar. İlk kanıtı yayınlayan üzerindeki bazı tartışmalara ragmen, bu kâğıtlar artık ayna simetrisini kullanan fizikçiler tarafından elde edilen sonuçların matematiksel bir kanıtı olarak görülüyor. 2000’de Kentaro Hori ve Cumrun Vafa T-ikiliğine dayanan ayna simetirinin başka bir fiziksel kanıtını buldu.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu maddede bircok sorun bulunmaktadir Lutfen sayfayi gelistirin veya bu sorunlar konusunda tartisma sayfasinda bir yorum yapin Bu madde Vikipedi bicem el kitabina uygun degildir Maddeyi Vikipedi standartlarina uygun bicimde duzenleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Gerekli duzenleme yapilmadan bu sablon kaldirilmamalidir Haziran 2015 Matematik ve kuramsal fizikte ayna simetrisi Calabi Yau dagitimlar olarak adlandirilan geometrik cisimler arasindaki iliskidir Bu olay sekilleri geometrik olarak farkli gorunen alti boyutlu iki dagitim icin gerceklesebilir ama yine de eger bu boyutlar sicim kuraminin gizli boyutlari ise esdegerdirler Bu durumda alti boyutlu dagitimlar icin biri digerinin aynasi denir Ayna simetrisi ilk olarak fizikciler tarafindan kesfedilmistir 1990 larda ne zaman ki Philip Candelas Xenia de la Ossa Paul Green ve Linda Parks ayna simetrisinin Calabi Yau dagitiminda rasyonel dalgalarin sayiminda kullanilabilecegini yani eskiden beri sure gelen problemlerin cozumunde kullanilabilecegini gostermis o zaman matematikciler ayna simetrisiyle ilgilenmeye baslamislardir Ayna simetrisine orijinal yaklasim kuramsal fizikteki kesin olmayan fikirlere dayansa da matematikciler ayna simetrisindeki bazi matematiksel tahminlerde kesin ispat yapmislardir Bugun ayna simetrisi soyut matematikte ana arastirma konusudur ve matematikciler fizikcilerin gorulerine dayanan ayna simetrisi icin matematiksel bir anlayis gelistirmeye calismaktadirlar Ayrica ayna simetrisi sicim kuramindaki hesaplamalar icin temel bir aractir Ayna simetrisi icin ana yaklasimlar Maksim Kontsevic in homolog ayna simetrisi programini ve Andrew Strominger Shing Tung Yau ve Eric Zaslow un SYZ varsayimini icerir Genel TanitimAyna Simetrisi Dusuncesi Sicim kuraminin temel cisimleri acik ve kapali sicimlerdir A cross section of a quintic Ayna simetrisi fizikcilerin ikilik dedikleri durum icin hususi bir ornektir Fizikte ikilik terimi iki farkli gorunen fiziksel sistemin esit oldugunun basit olmayan bir sekilde ortaya cikmasini kasteder Eger iki kuram arasinda bir ikilik var ise kuramlardan biri diger kurama bir sekilde aynisi gibi benzeyecek hale donusturulebilir anlamina gelir Bu durumda donusum altinda iki kuram cift olarak adlandirilir Diger bir deyisle bu iki kuram ayni fenomenin farkli matematiksel tasvirleridir Kuramsal fizikte calisilan bircok ikilikler gibi ayna simetrisi de sicim kurami baglaminda kesfedilmistir Sicim kuraminda parcaciklar sifir boyutlu olarak degil sicim gibi bir boyutlu uzatilmis objeler olarak modellendirilmistir Sicim kuraminin kendine ozgu ozelliklerinden biri kuramin matematiksel tutarliligi icin ekstra uzay zaman boyutlari gerektirmesidir Sicim kuraminin super simetriyi kapsamis hali olan super sicim kuraminda gunluk tecrubelerle bilinen dort boyuta ek olarak alti tane uzay zaman boyutu vardir Sicim kuramina dayanan fizigin en realist modellerinde ekstra boyutlar kompaktifikasyon sureci olarak bilinen dusuk enerjilerdeki kuram ile elimine edilir Bu daha az sayida uzay zaman boyutlari olan ve ekstra boyutlar Calabi You dagitimlarina kivrilmis olan bir kuram uretir Bunun icin standart bir benzetme bahce hortumu gibi cok boyutlu bir objedir Yeterli bir mesafeden bakildiginda hortumun tek bir boyutu yani hortumun uzunlugu gorunecektir Ancak hortuma yaklasildikca bir boyutu daha hortumun cevresi oldugu gorulecektir Dolayisiyla hortumun icindeki bir karinca iki boyutta hareket edecektir Sicim kuramina dayali bazi modellerde Calabi Yau dagitimlar hortumun cevresine benzer bir rol oynar 1980 lerin sonunda boyle bir kompaktifikasyonu verilmis sicim kuramina karsilik benzersiz bir Calabi Yau dagitiminin yeniden yapilmasinin mumkun olmadigi gozlenmistir Bunun yerine ayni fizigi doguran iki Calabi Yau dagitimi oldugu bulunur Bu dagitimlar icin birbiririnin ayna si denir Tam ikilik hala bir varsayim olsa da Edward Witten tarafindan tanitilan sicim kuraminin basit versiyonu olan topolojik sicim kuraminin kapsadigi ayna simetrisi versiyonu kesin olarak matematikciler tarafindan ispatlanmistir Topolojik sicim kurami kapsaminda ayna simetrisi iki kurami belirtir A modeli ve B modeli kesin bir anlamda birbirine esdegerdir Sicim kuraminin Calabi Yau kompaktifikasyonlari doganin dogru bir tasvirini saglamasina bakilmaksizin ayna simetrisinin Calabi Yau dagitimlariyla arasindaki iliskinin varliginin onemli matematiksel sonuclari vardir Soyut matematik sicim kuraminda kullanilan Calabi Yau dagitimlariyla ilgilenir ve ayna simetrisi matematikcilerin enumarativ cebirsel geometrideki bircok problemi cozmesini Calabi Yau aynasi icin esdeger problemleri cozmesiyle olanak saglar Bugun ayna simetrisi matematigin aktif bir arastirma alanidir ve matematikciler hala fizkcilerin gorulerine dayanan ayna simetrisi icin matematiksel bir anlayis gelistirmeye calismaktadirlar Karmasik GeometriAyna ikiliginin bir tarafindaki geometriyi anlamak icin kompleks duzlemin noktalarini tanimlayan ortasi delik bir corege benzeyen kabarti bir yapi goz onunde bulundurulabilir Bu yapiyi olusturmak icin w1 w2 gercek olmayacak sekilde w1 ve w2 gibi bir cift kompleks sayi secilir w1 ve w2 nin gercek olmamasi kosulu bu noktalarin ayni dogrultuda olmadigini kesinlestirmek icindir Daha sonar bu noktalar kose noktalari 0 ve olan bir paralelkenar olusturur Paralelkenarin bu koseleri tanimlanarak istenile kabarti olusturulur Bu sekilde elde edilen torilerin hepsi birbirlerine devamli olarak donusturulebilecek sekilde esittirler Ancak onlari birbirlerinden ayirmamizi saglayan fazladan bir yapilari vardir Soyle ki bu sekilde olusturulan tori karmasik bir yapiyi sahiptir yani bu kabartiya komsu herhangi bir nokta karmasik bir duzlemdeki bir bolgeye benzeyecEger orijinal kompleks sayilar yerine onlarin ortak bir faktorle yeniden olceklendirilmis hali W1 ve W2 kompleks sayi ciftini kullanirsak l gibi karmasik bir sayi icin w1 lw1 ve w2 lw2 Dolayisiyla tori koleksiyonunu yeniden olceklendirildikce degismeyen bir oran olan kullanarak parametrize etmek uygundur Genelligini kaybetmeden t parametresinin pozitif bir sanal kismi oldugu varsayilabilir dolayisiyla duzlemin ust yarisindaki degerleri alir Ayrica parametrelerin ayni kabartiya denk geldigi gosterilebilir Eger iki tori farkli t degerlerine sahipse o zaman birbirlerine esit olmayan kompleks yapilari vardir t parametresinin paralelkenarin karsi kenarlarinini belirlemek icin olusturulan kabartiun seklini tanimladigi dusunulebilir Yukarida aciklandigi gibi ayna simetirisi topolojik sicim kuraminin iki fiziksel kurami olan A model ve B modelle iliskilidir Bu ikilikte topolojik B model sadece uzay zamanin kompleks yapisina dayanir Dolayisiyla eger kuramda uzay zamani bir kabarti olarak kabul edersek kuram devamli olarak sadece parametresine dayanir Simplektik GeometriKabartinin geometrisinin bir diger acisi kabartinin boyutudur Daha ayrintili olarak kabartinin gorunumunu birim karenin karsi kenarlarini tanimlayarak elde edilen yuzey olarak soyleyebiliriz ve kabartinin alani bu karedeki alan unsuru r dydx ile belirtilir Bu alan unsurunu kareye entegre ederek kabartiya denk gelen r alanini elde ederiz Bu konseptler daha yuksek boyutlara genellenebilir ve alan unsuru simplektik form kavramiyla genellenir Simplektik form ile donatilmis uzay calismasina simplektik geometri denir Ayna simetirisinde topolojik sicim kuraminin A modeli sadece uzay zamanin simplektik geometrisine dayanan bir kuramdir Dolayisiyla eger uzay zamani bir kabarti olarak kabul edersek A model devamli olarak r parametresine dayanir T ikilikSu ana kadar karmasik duzlemdeki paralelkenarin karsi kenarlarini tanimlayarak nasil kabarti elde edilebilecegini gorduk Buna basit bir ornek olarak karmasik sayilar w1 ve w2 gercek ve sanal ekseninde bulunsunlar Bu durumda R1 ve R2reel sayi olmalari kosuluyla w1 R1 ve w2 R2 Kabartinin simplektik yapisinin alan unsur tarafindan nasil belirlendigini acikladik Paralelkenarimizda x displaystyle x ve y displaystyle y koordinatlarini secebiliriz boylece paralelkenarimizin her kenarinin uzunlugu 1 olur Daha sonra kabartimizin alan unsuru R1R2 dxdy olur ki bu birim kareye R1R2 yi entegre eder Biz r simplektik parametresini carpimi olarak tanimlariz Simdi bir fiziksel kuram icin kabartinin uzay zamani temsil ettigini dusunelim Bu kuramin temel objeleri kuantum mekaniginin kurallarina gore uzay zamanda yayilan sicimlerdir Sicim kuraminin temek ikiliklerinden biri T ikiligidir Bu ikilik belirtir ki bir tanimdaki butun miktarlarin ikili tanimda tanimlanmasi kosulu ile R capli cemberde yayilan sicim 1 R capli cemberde yayilan sicime estir Kabarti ayrica iki cemberin kartezyen carpimi da olabilir Bu demek oluyor ki kabartidaki ekvatoral cemberin her noktasi icin bir boylamsal cember vardir Ornegin bir tanimda sicimin momentumu ayrik degerler aliyor ve bu degerler ikili tanimda sicimin cember etrafinda dolanma sayisina esit oluyor T ikiligini kabartitaki boylamsal cembere uygulanmasiyla uzay zamanin farkli bir kabarti tarafindan temsil edildigi es bir tanim bulunur Genel olarak ayna simetrisi kompleks geometrideki problemleri simplektik problemlere ceviren iki fiziksel kurama estir Kabarti burada iki boyutlu Calabi Yau dagitimlarini pekistirmek icin kullanilan ayna simetrisinin en basit ornegidir Sicim kuraminin uygulanmasinda alti boyutlu Calabi Yau dagitimlari goz onune alinir Bu alti boyutun karsiligi uzay zamanin gozlenmeyen alti boyutudur Tarih ve GelisimAyna Simetrisinin Kesfi Ayna simetrisi fikri R capli cemberde yayilan sicimin uygun birimlerle fiziksel olarak 1 R capli cemberde yayilan sicime esit olmasinin fark edildigi 1980 lere dayanir Bu fenomen T ikiligi olarak bilinir ve ayna simetrisiyle yakindan iliskili oldugu anlasilir 1985 teki bir kagitta Philip Candelas Gary Horowitz Andrew Strominger ve Edward Witten Calabi Yau dagitimini sicim kuramiyla yogunlastirarak parcacik kuraminin standart modeline kabaca benzeyen bir kuram elde ederler Bu gelismenin ardindan sicim kuramina dayali parcacik fizigi icin gercekci bir model olusturma umuduyla bircok fizikci Calabi Yau kompaktifikasyonlari uzerine calismaya baslar Verilen fiziksel modelle Calabi Yau dagitimina denk benzersiz bir model olusturulamayacagi anlasilir Bunun yerine iki Calabi Yau dagitiminin ayni fizigi dogurdugu bulunur Calabi Yau dagitimlari ve Konform Alan kurami arasindaki iliski uzerine calisan Brian Greene ve Ronen Plesser ayna iliskisinin cozulmesi zor orneklerini bulurlar Bu iliski hakkindaki daha fazla kanit Philip Candelas ve bilgisayar ile Calabi Yau dagitimlari uzerine genis capli arastirma yapan ve tahmin edildigi gibi ayna simetrisindeki ciftleri goren iki ogrencisinin calismalarindan gelir Ayna Simetrisi Uygulamalari Philip Candelas Xenia de la Ossa Paul Green ve Linda Parks in ayna simetrisinin enumarativ geometrideki bazilari onlarca yil cozulemeyen problemlerin cozumunde kullanilabilecegini gostermesiyle matematikciler 1990 larda ayna simetrisine ilgi duymaya baslamislardir Bu sonuclar Mayis 1991 de Berkeley Kaliforniyada matematikcilere MSRI konferansinda gosterilmistir Bu konferans sirasinda Candelas in rasyonel dalgalar sayilirken buldugu sayi Geir Ellingsrud ve Stein Arild Stromme adli iki Norvecli matematikcinin gorunuste daha kesin yontemlerle bulduklari sayi ile uyusmamistir Konferanstaki bircok matematikci kesin matematiksel argumanlara dayanmadigi icin Candelas in yonteminde bir hata oldugunu dusunmuslerdir Ancak daha sonar Ellingsrud ve Stromme kendi bir hata oldugunu gormus ve koddaki hatayi duzeltince Candelas in buldugu cevap ile uyusan bir sonuc almislardir Kanitlanan Ayna Simetrisi 1990 yilinda Edward Witten sicim kuraminin basitlestirilmis bir surumunu topolojik sicim kuramini tanitti ve fizikciler topolojik sicim kurami icin ayna simetrisinin bir surumu oldugunu gosterdiler Topolojik sicim kurami hakkindaki bu deyim genellikle matematik literaturundeki ayna simetirisinin tanimi denir 1994 te Uluslararasi Matematikciler Kongresinde matematikci Maxim Kontsevich topolojik sicim kuramindaki ayna simetrisinin fiziksel fikrine dayanan yeni bir matematiksel varsayim sundu Homolojik ayna simetrisi olarak bilinen bu varsayim iki matematiksel yapinin denkligi olarak ayna simetrisini formuluze eder Calabi Yau dagitimi ustundeki tutatli bobinlerin turetilmis kategorisi Fukaya kategorisi ve onun aynasi Ayrica 1995 civarinda Kontsevich besinci dereceden uc bilinmeyenli rasyonel egrileri sayma sorunu icin genel bir formul veren Candelas in sonucunu analiz eder ve daha sonra kesin bir matematiksel varsayim olarak bu sonuclari yeniden formule eder 1996 yilinda Alexander Giventel Kontsevich in bu varsayimini kanitlamak icin bir kagit yayinladi Baslangicta bircok matematikci bu yaziyi anlamasi zor buldu ve bu nedenle Givental in kanitinin dogrulugu ile ilgili supheler olustu Bunu izleyen yillarda Bong Lian Kefeng Liu ve Shing Tung Yau bir dizi bagimsiz kanitlar yayinladilar Ilk kaniti yayinlayan uzerindeki bazi tartismalara ragmen bu kagitlar artik ayna simetrisini kullanan fizikciler tarafindan elde edilen sonuclarin matematiksel bir kaniti olarak goruluyor 2000 de Kentaro Hori ve Cumrun Vafa T ikiligine dayanan ayna simetirinin baska bir fiziksel kanitini buldu