Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Destek
www.wikipedia.tr-tr.nina.az

Benford un savı birinci tam sayı savı olarak da anılır Buna göre birçok pratik gerçek hayat verileri kaynakları

Benford'un savı

Benford'un savı

Benford'un savı, birinci-tam sayı savı olarak da anılır. Buna göre birçok pratik gerçek hayat verileri kaynakları bir seri sayı listesi olarak verilirse en kullanılan ilk rakam (1/3 olasılıkla) 1'dir ve diğer ilk rakamlara gelince kullanılan tam sayıların değerlerinin olasılığı gittikçe azalma gösterir. Örneğin ilk sayının 9 olması olasılığı 1/20'den daha küçüktür. Bu ifadenin dayanağı, pratik gerçek dünya ölçümlerinin genellikle logaritma olarak dağıldığı ve bunun bir sonucu olarak genel olarak pratik gerçek dünyada ölçme suretiyle ele geçen değerlerin logaritmalarının dağılımının genel olarak tekdüze dağılım olduğudur.

image
. Bu reel sayılar çizgisi üzerinde rassal olarak x için konum yaklaşık olarak 1/3 olasılıkla (10'un her üssel katinin en geniş kuşağı olan) bir 1 olacaktır.

Bu beklenmedik ve ilk bakışta pek mantıkî görünmeyen sonuç çok geniş alanda sayısal verilere uygulanabilmektedir. Örneğin elektrik kullanım faturaları, sokak adres numaraları, hisse senedi fiyatları listeleri, ölüm hadleri, nehir uzunlukları, fiziksel sabitler, matematiksel sabitler ve (doğada çok olarak gözlemlenebilen) tarafından açıklanabilen süreçler Benford'un savına uyma göstermektedir. Daha şaşırtıcı ve daha mantıksal olmaktan ayrılan taraf, bu sonucun verilerin sayı bazının değiştirilmesi halinde bile, oranlar değişmesine rağmen geçerli olmasıdır.

Bu savın adı, bu savı 1938'de ortaya koyan fizikçi anılarak konulmuştur. Gerçekte, bu savın açıkladığı olaylar ilk defa 1881'de Simon Newcomb tarafından açıklanmıştır. 1946'da L.V.Furlan aynı savı Almanca açıklamıştır. Bu savın en ayrıntılı matematiksel açıklaması ve matematiksel ispatı 1988'de yapılmıştır.

Matematiksel ifade

Daha kesin olarak, Benford'un savı, başlangıç tam-sayısı olan '(eğer b≥ 2 ise) b bazında d sayısının (yani d ∈ {1, …, b − 1}) ortaya çıkmasının

logb(d + 1) − logbd = logb((d + 1)/d)

değerine orantılı bir olasılıkla olduğunu ileri sürmektedir.

Eğer d ilk tam-sayı ve p ise olasılık ise, 10 bazı ile verilen veri ilk rakamların dağılımı, Benford'un savına göre şöyle olacaktır:

d p
1 30.1%
2 17.6%
3 12.5%
4 9.7%
5 7.9%
6 6.7%
7 5.8%
8 5.1%
9 4.6%

Buna dayanılarak ilk iki tam sayı hakkında şöyle bir kural ortaya atılabilir: Her veri için ilk iki rakam ihtiva eden blokun meydan çıkma olasılığı 'n ye eşittir ve n = 10, …, 99

log100(n + 1) − log100(n)

olur. İlk sıfır içermeyen üç rakamdan oluşan blokların ve daha uzun olan blokların olasılıkları da benzer şekilde ortaya çıkartılabilir. (Gerçekten, b bazında p tane ilk rakam Benford'un savı sonucu bp bazında olan birinci ilk rakamlar Benford'savının sonucunu hemen takip ederler.)

Bu savın neyi açıkladığı şöyle de anlatılabilir: Herhangi bir rakam 10'un bir üssü ve bir m (eğer 1≤m<10) değerde bir mantis (mantissa) ile çarpımı olarak yazılabilir. Benford'un savı doğru ise verinin mantislerinin dağılımı bir 1/x dağılımı gösterecektir. Birçok kişi bu prensipin sonucu olarak eldeki (normalize edilmeyen) veri rakamların dağılımın da aynı dağılımı göstermesi gerektiğine yanlış olarak inanmaktadırlar. Benford'un savı yalnızca mantis dağılımının (1'den 10'a sınırlanmış olarak) Benford savına göre dağılmasına ilişkilidir.

Bu dağılımın ortaya çıkmasının sürpriz yaratmaması gereği verilerin logaritmalarının geçerlilik alanlarına bakışla açıklanabilir. Orijinal veri dağılımının bir mantis dağılımına indirgenmesi verimizin logaritma değerinin kesirsel tarafının dağılımının incelenmesine dönüştürülmüştür. Bu dağılımın genişliği 0 ile 1 arasıdır. Herhangi bir dağılımı bu türlü değiştirmenin sonucunda verinin kesirsel tarafının yaklaşık olarak bir tekdüze dağılım ortaya çıkaracağı kolayca görülebilir. (Çünkü dağılımın kuyruğunun eğimleri 0-1 arasında eğim değerlerine dönüştürülmekte ve alttaki ve üstteki kuyruktaki eğimler birbirini elimine etmektedirler.) Logaritma değerinin kesirsel tarafının yaklaşık tekdüze dağılımı göstermesi doğrudan doğruya orijinal verilerin yaklaşık 1/x dağılımı göstermesinin karşılığıdır. Bu doğal olarak, verilerin 1 ile 10 arasında bulunması olabilirliğinin 1000 ile 10000 arasında olmasından daha büyük olmasına bakmadan uygulanabilir.

Açıklama

Bu savın açıklaması, eğer ilk tam sayıların belirli bir dağılımı gerçekte bulunursa bu dağılımın ölçme birimlerinden bağımsız olması gerekliliğine dayandırılır. Örneğin, eğer uzunluk ölçülerimizi santimetreden milimetreye çevirirsek (yani bir sabit 1/10 ile çarpım işlemi uygulanırsa), dağılımın değişmemesi gerekir - yani dağılım . Bu gerçeğe uyan tek istatistik dağılım logaritması tekdüze olan dağılımdır.

image
Fiziksel sabitler listesinde bulunan ilk tam sayıların frekansının Benford'un savı dağılımına karşı aynı grafikte gösterilmesi.

Örneğin, herhangi iki nesne arasındaki sıfır olmayan ilk tam sayısı için dağılım, bunun santimetre, milimetre, hatta inç veya yarda biriminde/ölçeğinde olmasına bakmadan, aynı şeklini koruyacaktır. Yani eğer ilk tam sayılar için belirlenen bir dağılım varsa, o dağılım verinin ne ölçekte olduğuna hiç dayanmadan uygulanabilecektir.

Daha matematiksel deyimle, X bir rassal değişken ise ve bu değişken olasılığı herhangi bir pozitif tam sayı olan x'e eşit olması (eğer s>1 ise) s−s değerine oranlıdır; yani

image.

Bu oran için sabit 1/ζ(s) olur ve burada ζ Riemann zeta fonksiyonu olur (bakın zeta dağılımı). X içindeki ilk tam sayının n olmasının olasılığı, s değeri 1'e yaklaştıkça

log10(n + 1) − log10(n)

ifadesine yaklaşır.

Benford'un savının şeklinin çok daha kesinlikle açıklanması eğer sayıların "logaritma" değerlerinin ayrık tekdüze dağılım gösterdiği varsayımının gerçekte doğruluğu ile mümkün olabilir. Bu demektir ki bir sayının 100 ile 1000 arasında (yani logaritma ile 2 ile 3 arasında) olması, 10,000 ile 100,000 (logaritma ile 4 ile 5 arası) olması ile aynı olasılıktadır. Birçok veri sayılar, özellikle gelirler, hisse senedi fiyatları, diğer borsa fiyatları gibi üstel büyüme gösteren değişkenler için bu pratik gerçeklere uygun bir varsayım olacaktır.

Bunun nasıl ortaya çıktığı için bir basit örnek verilebilir. Bir nesne miktarının üstel bir oranda büyüme göstermesi demek bu artış haddinin bir sabit olduğunu kabul etmektir. Eğer miktarın iki misline büyümesi bir yıl gerektiriyorsa, gelecek yıl da tekrar iki misli büyüme gösterecek demektir ve bu şekilde 3. yılda da ve diğer yıllarda iki kat artma devam edip duracağı varsayılıdır. Düşünelim; her yıl iki misli artış gösteren bir nesneyi ölçmek için başlama anının sayının 100'e geldiği zaman olduğunu kabul edelim. Bütün birinci yıl sayısının ilk rakamı 1 olacaktır. İkinci yıl için ilk rakam ancak ilk yedi ay için 2 olacaktır ve diğer beş ay 3 olacaktır. Üçüncü yılda ise sayının ilk rakamı 4, 5, 6 ve 7'yi aşacak ve takip eden rakamlardan daha çok uzaklaşmaya başlayacaktır. Dördüncü yılın hemen başlarında ilk rakam 8 ve 9 değerlerini geçecektir ve miktarın değeri 1000'i aştığı zaman bu süreç yeniden başlayacaktır.

Bu örnekten kolayca görülmektedir ki eğer miktar değeri bir yıl içinde rassal zamanlarda örnek alıp ölçülürse, örnek ölçülmesinde bulunan en olabilir ilk rakam değeri 1 olacaktır. Bunu takip eden ölçmelerde değer için daha büyük ilk rakamlar bulunması, değerin daha yüksek ilk rakamlara geçiş göstermesi dolayısıyla, çok daha az olabilirlilikte bulunacaktır.

Buna göre üstel olarak büyüme gösteren miktarların ölçülmesi sonucu ele geçirilen tabloların Benford'un savı kurallarına uymaları çok imkân dahilindedir. Ancak şunu da hatırlamalıdır ki birçok halde üstel büyüme şekli göstermeyen sayılar için bile Benford'un savı uygulanabilir.

Şuna dikkatin çekilmesi gerekir ki eğer eldeki sayılar çok değişik çeşitli dağılımlardan ortaya çıkartılmışlarsa, örneğin zeka testi sonuçları, kişilerin boyları gibi değişik normal dağılım gösteren değişkenlerse, bu sav geçerli olmayacaktır. Fakat, bu rakamlar ana kaynaktan değil diğer sayılarda karışık diğer bir kaynaktan elde edilmişlerse (örneğin anket sonuçlarını 'karışık' olarak veren bir makaleden) Benford'un savı tekrar geçerli olmaya başlayacaktır. Hill [1998] matematikle ispat etmiştir ki eğer bir araştırmacı "rassal" olarak bir sıra olasılık dağılımı seçerse ve sonra da seçtiği dağılıma uyan bir sayı seçerse, sonuç olarak ortaya çıkan sayılar için Benford'un savı uygulanabilir.

Uygulamalar ve sınırlamalar

1972'de hazırladığı bir yazıda bu savın bir ülke çapında planlama projesi için sunulan sosyo-ekonomik verilerin listesinde bir hilebazlık yapılıp yapılmadığı hakkında incelemeye baz olabileceğini iddia etmiştir. Bu açıklamaya göre uydurma istatistik yaratıcılarının kullandıkları tek sayılar bir tekdüze dağılıma yaklaşık olacaktır. Böylece kullanılan verilerin ilk rakamının frekans dağılımı ile Benford'un savına göre çıkartılan beklenen bir dağılımı karşılaştırılması herhangi bir uyuşmazlık gösteren veriyi ortaya çıkaracaktır. Sonuç olarak bu uyuşmazlık gösteren verinin uydurma olabileceği çok mümkün görülecektir; fakat bu istatistiksel sonuç zayıf bir delil olduğu için mümkün hilebazlığın ispat edilmesi için daha ince ve detaylı inceleme gerekecektir.

Bu görüş benzeri bir çalışma J.Nye ve C.Moul (2007) tarafından uluslararası makroekonomik verilerin incelenmesi ile yapılmıştır. Bu çalışmada Dünya Bankası tarafından toplanan uluslararası gayrisafi millî hasıla istatistikleri incelenmiş ve çok büyük bir kısmının bu sava uygun olduğu görülmüştür. Ancak küçük bir sayıda ülkeler için, genellikle gelişmekte olan ülkeler için, gayrisafi milli hasıla istatistiklerinin bu sava uymadığı ortaya çıkmıştır. Bu sonuç asıl orijinal sayıların bürokratik ve politik karışım ile değiştirildiğine bir inanılabilir gösterge olduğu iddiasını ortaya çıkartmıştır.

Son zamanlarda Benford'un savının bu türde araştırma için diğer pratik kullanış alanları olacağı anlaşılmıştır. Bunlar arasında büyük firmaların fiyatlama stratejilerini tekelcilik yapmadıklarını savunmak için sundukları fiyat listeleri, yıllık ve diğer periyodik muhasebe hesapları sunuları, vergiden düşülebilen masraflar için sunulan veriler, hasar sigortası talepleri, yeni ilaçlar için kliniksel denemeler, seçim masrafları bildirileri, milli seçim sonuçları gibi konularda incelemelerin yapılması mümkün görülmektedir ve hatta bu konu türünde bazı pratik araştırmaların sonuçları bilimsel eser olarak yayınlanmıştır.

Ancak, bu tür uygulamaların sonuçlarını incelemek dikkat gerektirmektedir. Bir grup pratik gerçek hayat örneği bu sava uygunluk göstermeyebilir; çünkü kullanılan veri kategorisinin içindeki sayıların dağılımı rassal olarak dağılımın çarpık kuyruğunda bulunmuş olabilirler.

Tarih

Benford'un savının açıkladığı gerçeğin keşfedilmesi 1881'e kadar gider. O tarihte bir Amerikan astronomu olan Simon Newcomb astronomi hesapları yaparken kullandığı logaritma cetvellerini ihtiva eden kitapların başlangıcındaki sayfaların sonraki sayfalardan daha çok kullanılması dolayısı ile zarar gördüğünü gözlemlemiştir. Bu çok kullanma belirtileri sırf sayfaların çok kullanılması şeklinde ise sadece sayfa uçlarında eski izleri görünmesi beklenmekteydi; halbuki herhangi bir sayfayı kullananların sayfanın içindeki sayı satırlarına da baktıkları, satır takip ederken bıraktıkları parmak izleri ile anlaşılmıştır.

Ancak bu hikâyenin biraz abartılı olduğu gerçektir. Çünkü logaritma cetveli kitapları sadece logaritma değerleri değil, antilogaritmaları ve çok kere üsler, kökler, sinüsler, kosinüsler ve benzeri trigonometri cetvellerini de ihtiva etmektedir. Bununla beraber, Newcomb'un yayımladığı makale birinci rakam dağılımları hakkında ilk açıklamayı ihtiva etmekte ve ikinci rakam dağılımı hakkındaki bilgileri de kapsamaktadır. Newcomb'un yazısında, N değerde herhangi bir sayının birinci rakamının log(N+1) değerde olacağı öne sürülmektedir.

Aynı gerçek 1938'de daha geniş alanlarda bulunan veri gruplarını inceleyen fizikçi tarafından da tekrar keşfedilmiştir. 1996'da bu sonucun karışık dağılımlara da uygulanabileceğini ispat etmiştir.

Popüler kültürde kullanış

Benford'un savı Amerikan televizyon şirketi CBSin hazırladığı Numb3rs adlı bir televizyon serisinin The Running Man (Koşan Adam) adlı bölümü için temel kurgu aleti olarak kullanılmıştır.

Ayrıca bakınız

    Kaynakça

    Dış bağlantılar

    Bilgisayarda bulunan kullanma aletleri ve yazılımlar

    • Benford'un savını kullanarak veri analizi için bedelsiz Java aleti 11 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
    • Statistics::Benford 20 Ocak 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Benford'un savı'ndan sapmaları hesaplayan Perl modülü
    • Benford alt grupları üreten bir komputer yazılımı 7 Şubat 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde .

    İnternet siteleri

    • [4] 12 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Benford'un savı ve Zipf'in savı: sitesinde.
    • [5] 18 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Benford'un savına bakış veya Sayi 1'in görünüşü .
    • [6] 12 Kasım 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Beş tane tam sayı daha: sayi 1 ve Benford'un savı hazırlayan .
    • Benford'un savını gösteren bir Flash uygulamasi, hazırlayan William Fawcett.
    • [8] 12 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Bir 1 sayısına bir bakış- hazırlayanlar Jon Walthoe, Robert Hunt ve Mike Pearson, arti Magazine, Eylul 1999.
    • [9] 25 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Benford'un savı -hazırlayan Paul Niquette.
    • [10] 12 Mayıs 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Benford'un Savı - MathPages sitesinde.
    • [11] 25 Şubat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Benford'un savının gizeminin DSP ile çözülüşü.

    wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar

    Benford un savi birinci tam sayi savi olarak da anilir Buna gore bircok pratik gercek hayat verileri kaynaklari bir seri sayi listesi olarak verilirse en kullanilan ilk rakam 1 3 olasilikla 1 dir ve diger ilk rakamlara gelince kullanilan tam sayilarin degerlerinin olasiligi gittikce azalma gosterir Ornegin ilk sayinin 9 olmasi olasiligi 1 20 den daha kucuktur Bu ifadenin dayanagi pratik gercek dunya olcumlerinin genellikle logaritma olarak dagildigi ve bunun bir sonucu olarak genel olarak pratik gercek dunyada olcme suretiyle ele gecen degerlerin logaritmalarinin dagiliminin genel olarak tekduze dagilim oldugudur Bu reel sayilar cizgisi uzerinde rassal olarak x icin konum yaklasik olarak 1 3 olasilikla 10 un her ussel katinin en genis kusagi olan bir 1 olacaktir Bu beklenmedik ve ilk bakista pek mantiki gorunmeyen sonuc cok genis alanda sayisal verilere uygulanabilmektedir Ornegin elektrik kullanim faturalari sokak adres numaralari hisse senedi fiyatlari listeleri olum hadleri nehir uzunluklari fiziksel sabitler matematiksel sabitler ve dogada cok olarak gozlemlenebilen tarafindan aciklanabilen surecler Benford un savina uyma gostermektedir Daha sasirtici ve daha mantiksal olmaktan ayrilan taraf bu sonucun verilerin sayi bazinin degistirilmesi halinde bile oranlar degismesine ragmen gecerli olmasidir Bu savin adi bu savi 1938 de ortaya koyan fizikci anilarak konulmustur Gercekte bu savin acikladigi olaylar ilk defa 1881 de Simon Newcomb tarafindan aciklanmistir 1946 da L V Furlan ayni savi Almanca aciklamistir Bu savin en ayrintili matematiksel aciklamasi ve matematiksel ispati 1988 de yapilmistir Matematiksel ifadeDaha kesin olarak Benford un savi baslangic tam sayisi olan eger b 2 ise b bazinda d sayisinin yani d 1 b 1 ortaya cikmasinin logb d 1 logbd logb d 1 d degerine orantili bir olasilikla oldugunu ileri surmektedir Eger d ilk tam sayi ve p ise olasilik ise 10 bazi ile verilen veri ilk rakamlarin dagilimi Benford un savina gore soyle olacaktir d p1 30 1 2 17 6 3 12 5 4 9 7 5 7 9 6 6 7 7 5 8 8 5 1 9 4 6 Buna dayanilarak ilk iki tam sayi hakkinda soyle bir kural ortaya atilabilir Her veri icin ilk iki rakam ihtiva eden blokun meydan cikma olasiligi nye esittir ven 10 99 log100 n 1 log100 n olur Ilk sifir icermeyen uc rakamdan olusan bloklarin ve daha uzun olan bloklarin olasiliklari da benzer sekilde ortaya cikartilabilir Gercekten b bazinda p tane ilk rakam Benford un savi sonucu bp bazinda olan birinci ilk rakamlar Benford savinin sonucunu hemen takip ederler Bu savin neyi acikladigi soyle de anlatilabilir Herhangi bir rakam 10 un bir ussu ve bir m eger 1 m lt 10 degerde bir mantis mantissa ile carpimi olarak yazilabilir Benford un savi dogru ise verinin mantislerinin dagilimi bir 1 x dagilimi gosterecektir Bircok kisi bu prensipin sonucu olarak eldeki normalize edilmeyen veri rakamlarin dagilimin da ayni dagilimi gostermesi gerektigine yanlis olarak inanmaktadirlar Benford un savi yalnizca mantis dagiliminin 1 den 10 a sinirlanmis olarak Benford savina gore dagilmasina iliskilidir Bu dagilimin ortaya cikmasinin surpriz yaratmamasi geregi verilerin logaritmalarinin gecerlilik alanlarina bakisla aciklanabilir Orijinal veri dagiliminin bir mantis dagilimina indirgenmesi verimizin logaritma degerinin kesirsel tarafinin dagiliminin incelenmesine donusturulmustur Bu dagilimin genisligi 0 ile 1 arasidir Herhangi bir dagilimi bu turlu degistirmenin sonucunda verinin kesirsel tarafinin yaklasik olarak bir tekduze dagilim ortaya cikaracagi kolayca gorulebilir Cunku dagilimin kuyrugunun egimleri 0 1 arasinda egim degerlerine donusturulmekte ve alttaki ve ustteki kuyruktaki egimler birbirini elimine etmektedirler Logaritma degerinin kesirsel tarafinin yaklasik tekduze dagilimi gostermesi dogrudan dogruya orijinal verilerin yaklasik 1 x dagilimi gostermesinin karsiligidir Bu dogal olarak verilerin 1 ile 10 arasinda bulunmasi olabilirliginin 1000 ile 10000 arasinda olmasindan daha buyuk olmasina bakmadan uygulanabilir AciklamaBu savin aciklamasi eger ilk tam sayilarin belirli bir dagilimi gercekte bulunursa bu dagilimin olcme birimlerinden bagimsiz olmasi gerekliligine dayandirilir Ornegin eger uzunluk olculerimizi santimetreden milimetreye cevirirsek yani bir sabit 1 10 ile carpim islemi uygulanirsa dagilimin degismemesi gerekir yani dagilim Bu gercege uyan tek istatistik dagilim logaritmasi tekduze olan dagilimdir Fiziksel sabitler listesinde bulunan ilk tam sayilarin frekansinin Benford un savi dagilimina karsi ayni grafikte gosterilmesi Ornegin herhangi iki nesne arasindaki sifir olmayan ilk tam sayisi icin dagilim bunun santimetre milimetre hatta inc veya yarda biriminde olceginde olmasina bakmadan ayni seklini koruyacaktir Yani eger ilk tam sayilar icin belirlenen bir dagilim varsa o dagilim verinin ne olcekte olduguna hic dayanmadan uygulanabilecektir Daha matematiksel deyimle X bir rassal degisken ise ve bu degisken olasiligi herhangi bir pozitif tam sayi olan x e esit olmasi eger s gt 1 ise s s degerine oranlidir yani P X x x ss gt 1 displaystyle P X x propto x s qquad s gt 1 Bu oran icin sabit 1 z s olur ve burada z Riemann zeta fonksiyonu olur bakin zeta dagilimi X icindeki ilk tam sayinin n olmasinin olasiligi s degeri 1 e yaklastikca log10 n 1 log10 n ifadesine yaklasir Benford un savinin seklinin cok daha kesinlikle aciklanmasi eger sayilarin logaritma degerlerinin ayrik tekduze dagilim gosterdigi varsayiminin gercekte dogrulugu ile mumkun olabilir Bu demektir ki bir sayinin 100 ile 1000 arasinda yani logaritma ile 2 ile 3 arasinda olmasi 10 000 ile 100 000 logaritma ile 4 ile 5 arasi olmasi ile ayni olasiliktadir Bircok veri sayilar ozellikle gelirler hisse senedi fiyatlari diger borsa fiyatlari gibi ustel buyume gosteren degiskenler icin bu pratik gerceklere uygun bir varsayim olacaktir Bunun nasil ortaya ciktigi icin bir basit ornek verilebilir Bir nesne miktarinin ustel bir oranda buyume gostermesi demek bu artis haddinin bir sabit oldugunu kabul etmektir Eger miktarin iki misline buyumesi bir yil gerektiriyorsa gelecek yil da tekrar iki misli buyume gosterecek demektir ve bu sekilde 3 yilda da ve diger yillarda iki kat artma devam edip duracagi varsayilidir Dusunelim her yil iki misli artis gosteren bir nesneyi olcmek icin baslama aninin sayinin 100 e geldigi zaman oldugunu kabul edelim Butun birinci yil sayisinin ilk rakami 1 olacaktir Ikinci yil icin ilk rakam ancak ilk yedi ay icin 2 olacaktir ve diger bes ay 3 olacaktir Ucuncu yilda ise sayinin ilk rakami 4 5 6 ve 7 yi asacak ve takip eden rakamlardan daha cok uzaklasmaya baslayacaktir Dorduncu yilin hemen baslarinda ilk rakam 8 ve 9 degerlerini gececektir ve miktarin degeri 1000 i astigi zaman bu surec yeniden baslayacaktir Bu ornekten kolayca gorulmektedir ki eger miktar degeri bir yil icinde rassal zamanlarda ornek alip olculurse ornek olculmesinde bulunan en olabilir ilk rakam degeri 1 olacaktir Bunu takip eden olcmelerde deger icin daha buyuk ilk rakamlar bulunmasi degerin daha yuksek ilk rakamlara gecis gostermesi dolayisiyla cok daha az olabilirlilikte bulunacaktir Buna gore ustel olarak buyume gosteren miktarlarin olculmesi sonucu ele gecirilen tablolarin Benford un savi kurallarina uymalari cok imkan dahilindedir Ancak sunu da hatirlamalidir ki bircok halde ustel buyume sekli gostermeyen sayilar icin bile Benford un savi uygulanabilir Suna dikkatin cekilmesi gerekir ki eger eldeki sayilar cok degisik cesitli dagilimlardan ortaya cikartilmislarsa ornegin zeka testi sonuclari kisilerin boylari gibi degisik normal dagilim gosteren degiskenlerse bu sav gecerli olmayacaktir Fakat bu rakamlar ana kaynaktan degil diger sayilarda karisik diger bir kaynaktan elde edilmislerse ornegin anket sonuclarini karisik olarak veren bir makaleden Benford un savi tekrar gecerli olmaya baslayacaktir Hill 1998 matematikle ispat etmistir ki eger bir arastirmaci rassal olarak bir sira olasilik dagilimi secerse ve sonra da sectigi dagilima uyan bir sayi secerse sonuc olarak ortaya cikan sayilar icin Benford un savi uygulanabilir Uygulamalar ve sinirlamalar1972 de hazirladigi bir yazida bu savin bir ulke capinda planlama projesi icin sunulan sosyo ekonomik verilerin listesinde bir hilebazlik yapilip yapilmadigi hakkinda incelemeye baz olabilecegini iddia etmistir Bu aciklamaya gore uydurma istatistik yaraticilarinin kullandiklari tek sayilar bir tekduze dagilima yaklasik olacaktir Boylece kullanilan verilerin ilk rakaminin frekans dagilimi ile Benford un savina gore cikartilan beklenen bir dagilimi karsilastirilmasi herhangi bir uyusmazlik gosteren veriyi ortaya cikaracaktir Sonuc olarak bu uyusmazlik gosteren verinin uydurma olabilecegi cok mumkun gorulecektir fakat bu istatistiksel sonuc zayif bir delil oldugu icin mumkun hilebazligin ispat edilmesi icin daha ince ve detayli inceleme gerekecektir Bu gorus benzeri bir calisma J Nye ve C Moul 2007 tarafindan uluslararasi makroekonomik verilerin incelenmesi ile yapilmistir Bu calismada Dunya Bankasi tarafindan toplanan uluslararasi gayrisafi milli hasila istatistikleri incelenmis ve cok buyuk bir kisminin bu sava uygun oldugu gorulmustur Ancak kucuk bir sayida ulkeler icin genellikle gelismekte olan ulkeler icin gayrisafi milli hasila istatistiklerinin bu sava uymadigi ortaya cikmistir Bu sonuc asil orijinal sayilarin burokratik ve politik karisim ile degistirildigine bir inanilabilir gosterge oldugu iddiasini ortaya cikartmistir Son zamanlarda Benford un savinin bu turde arastirma icin diger pratik kullanis alanlari olacagi anlasilmistir Bunlar arasinda buyuk firmalarin fiyatlama stratejilerini tekelcilik yapmadiklarini savunmak icin sunduklari fiyat listeleri yillik ve diger periyodik muhasebe hesaplari sunulari vergiden dusulebilen masraflar icin sunulan veriler hasar sigortasi talepleri yeni ilaclar icin kliniksel denemeler secim masraflari bildirileri milli secim sonuclari gibi konularda incelemelerin yapilmasi mumkun gorulmektedir ve hatta bu konu turunde bazi pratik arastirmalarin sonuclari bilimsel eser olarak yayinlanmistir Ancak bu tur uygulamalarin sonuclarini incelemek dikkat gerektirmektedir Bir grup pratik gercek hayat ornegi bu sava uygunluk gostermeyebilir cunku kullanilan veri kategorisinin icindeki sayilarin dagilimi rassal olarak dagilimin carpik kuyrugunda bulunmus olabilirler TarihBenford un savinin acikladigi gercegin kesfedilmesi 1881 e kadar gider O tarihte bir Amerikan astronomu olan Simon Newcomb astronomi hesaplari yaparken kullandigi logaritma cetvellerini ihtiva eden kitaplarin baslangicindaki sayfalarin sonraki sayfalardan daha cok kullanilmasi dolayisi ile zarar gordugunu gozlemlemistir Bu cok kullanma belirtileri sirf sayfalarin cok kullanilmasi seklinde ise sadece sayfa uclarinda eski izleri gorunmesi beklenmekteydi halbuki herhangi bir sayfayi kullananlarin sayfanin icindeki sayi satirlarina da baktiklari satir takip ederken biraktiklari parmak izleri ile anlasilmistir Ancak bu hikayenin biraz abartili oldugu gercektir Cunku logaritma cetveli kitaplari sadece logaritma degerleri degil antilogaritmalari ve cok kere usler kokler sinusler kosinusler ve benzeri trigonometri cetvellerini de ihtiva etmektedir Bununla beraber Newcomb un yayimladigi makale birinci rakam dagilimlari hakkinda ilk aciklamayi ihtiva etmekte ve ikinci rakam dagilimi hakkindaki bilgileri de kapsamaktadir Newcomb un yazisinda N degerde herhangi bir sayinin birinci rakaminin log N 1 degerde olacagi one surulmektedir Ayni gercek 1938 de daha genis alanlarda bulunan veri gruplarini inceleyen fizikci tarafindan da tekrar kesfedilmistir 1996 da bu sonucun karisik dagilimlara da uygulanabilecegini ispat etmistir Populer kulturde kullanisBenford un savi Amerikan televizyon sirketi CBSin hazirladigi Numb3rs adli bir televizyon serisinin The Running Man Kosan Adam adli bolumu icin temel kurgu aleti olarak kullanilmistir Ayrica bakinizKaynakca Simon Newcomb 1881 Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers Dogal Numaralarin Degisik Sayisal Ifadesinin Kullanis Sikligi Hakkinda Not American Journal of Mathematics C 4 No 1 4 say 39 40 2 L V Furlan 1946 Die Harmoniegesetz der Statistik Eune Untersuchung uber die metrische Interdependenz der soziale Erscheinungen 1948 Reviewed in Journal of the American Statistical Association C 43 Haziran No 242 say 325 328 url http www jstor org view 01621459 di985813 98p0504n 0 frame noframe amp userID 8614251252 york ac uk 01cc99331258e7114ffd0f8cf amp dpi 3 amp config jstor Theodore P Hill 1998 Temmuz Agustos The first digit phenomenon American Scientist C 86 say 358 3 17 Mayis 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde Arsivlenmis kopya 26 Temmuz 2008 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 18 Subat 2008 Hal Varian 1972 Benford s law American Statistician C 26 say 65 John Nye ve Charles Moul 2007 The Political Economy of Numbers On the Application of Benford s Law to International Macroeconomic Statistics The B E Journal of Macroeconomics C 7 1 Makale no 17 url http www bepress com bejm vol7 iss1 art17 20 Subat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Wendy Cho ve Brian Gaines 2007 Augustos Breaking the Benford Law statistical fraud detection in campaign finance The American Statistician C 61 No 3 say 218 223 doi 10 1016 j ijresmar 2005 09 002 Tarek el Sehity Erik Hoelzl ve Erich Kirchler 2005 Price developments after a nominal shock Benford s Law and psychological pricing after the euro introduction International Journal of Research in Marketing C 22 No 4 Aralik say 471 4 url http www sciencedirect com science ob ArticleURL amp udi B6V8R 4HDP6TR 1 amp user 10 amp coverDate 12 2F31 2F2005 amp rdoc 1 amp fmt amp orig search amp sort d amp view c amp acct C000050221 amp version 1 amp urlVersion 0 amp userid 10 amp md5 23171667aea48646882b2ec73d590b5c 10 Ocak 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde ol section Dis baglantilarBilgisayarda bulunan kullanma aletleri ve yazilimlar Benford un savini kullanarak veri analizi icin bedelsiz Java aleti 11 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Statistics Benford 20 Ocak 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Benford un savi ndan sapmalari hesaplayan Perl modulu Benford alt gruplari ureten bir komputer yazilimi 7 Subat 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde Internet siteleri 4 12 Mayis 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Benford un savi ve Zipf in savi sitesinde 5 18 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Benford un savina bakis veya Sayi 1 in gorunusu 6 12 Kasim 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde Bes tane tam sayi daha sayi 1 ve Benford un savi hazirlayan Benford un savini gosteren bir Flash uygulamasi hazirlayan William Fawcett 8 12 Mart 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Bir 1 sayisina bir bakis hazirlayanlar Jon Walthoe Robert Hunt ve Mike Pearson arti Magazine Eylul 1999 9 25 Subat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Benford un savi hazirlayan Paul Niquette 10 12 Mayis 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Benford un Savi MathPages sitesinde 11 25 Subat 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde Benford un savinin gizeminin DSP ile cozulusu

    Yayın tarihi:
    Üst