Matematiksel model, bir sistemin matematiksel kavramlar ve dil kullanılarak tanımlanmasıdır. Matematiksel model geliştirme süreci, matematiksel modelleme olarak adlandırılır. Matematiksel modeller, doğa bilimlerinde (fizik, biyoloji, yer bilimi, meteoroloji gibi) ve mühendislik disiplinlerinde (bilgisayar bilimi, yapay zeka gibi) bunun yanı sıra sosyal bilimlerde (ekonomi, psikoloji, sosyoloji, siyaset bilim) kullanılır. Matematiksel modelleri daha çok fizikçiler, mühendisler, istatistikçiler, operasyon araştırma analistleri ve ekonomistler kullanır. Model, bir sistemi açıklamaya, farklı bileşenlerin etkilerini incelemeye ve bir davranış hakkında öngörüde bulunmak için yardımcı olabilir.
Matematiksel Modelin Öğeleri
Matematiksel modeller, dinamik sistemler, istatistiksel modeller, diferansiyel denklemler veya oyun teorisi modelleri gibi birçok formda olabilir. Bunlar ve diğer tip modeller, çeşitli soyut yapıları içeren belirli bir modelle örtüşebilir. Genel olarak, matematiksel modeller mantıksal modelleri içerebilir. Çoğu durumda, bilimsel bir alanın kalitesi, teorik açıdan geliştirilen matematiksel modellerin tekrarlanabilir deneylerin sonuçlarına ne kadar iyi uyum gösterdiğine bağlıdır. Teorik matematiksel modeller ile deneysel ölçümler arasındaki uyuşma eksikliği, geliştirilen teoriler kadar önemli ilerlemelere önayak olur.
Geleneksel matematiksel model dört ana unsuru içerir.
Bunlar;
- Yönetici denklemler
- Yapısal denklemler
- Kısıtlar
- Kinematik denklemler
Sınıflamalar
Matematiksel modeller genellikle ilişkiler ve değişkenlerden oluşur. İlişkiler, cebirsel operatörler, fonksiyonlar, diferansiyel operatörler gibi operatörler tarafından tanımlanabilir. Değişkenler, ilgilenilen sistem parametrelerinin soyutlamalarıdır, bunlar nicelendirilebilir. Yapısına göre matematiksel modeller için birkaç sınıflandırma kriteri kullanılabilir:
- Doğrusal ve doğrusal olmayan: Bir matematiksel modeldeki tüm operatörler doğrusallık sergiliyorsa, elde edilen matematiksel model doğrusal olarak tanımlanır. Aksi takdirde, bir model doğrusal olmayan olarak kabul edilir. Doğrusallık ve doğrusallığın tanımı içeriğe bağlıdır ve doğrusal modellerin doğrusal olmayan ifadeleri olabilir. Örneğin, istatistiksel bir doğrusal modelde, bir ilişkinin parametrelerde doğrusal olduğu kabul edilir, ancak tahmin değişkenlerinde doğrusal olmayabilir. Benzer şekilde, diferansiyel denklem doğrusal diferansiyel operatörler ile yazılabilirse doğrusal olduğu söylenir, ancak yine de doğrusal olmayan ifadeler içerebilir. Bir matematiksel programlama modelinde, eğer nesnel fonksiyonları ve kısıtlar tamamen doğrusal denklemler tarafından temsil edilirse, o zaman model doğrusal bir model olarak kabul edilir. Bir veya daha fazla nesnel fonksiyon veya kısıtlama doğrusal olmayan bir denklem ile gösterilirse, model doğrusal olmayan bir model olarak bilinir.
Doğrusal olmayanlık, oldukça basit sistemlerde bile genellikle kaos ve geri dönmezlik gibi olaylarla ilişkilendirilir. İstisnalar olmasına rağmen, doğrusal olmayan sistemlerin ve modellerin doğrusal olanlara göre çalışılma eğilimi daha zordur. Lineer olmayan problemlere ortak yaklaşım doğrusallaştırmadır; ancak geri dönmezlik gibi lineer olmayana güçlü şekilde bağlı bir yaklaşım ele alınırsa bu sorun doğurabilir.
- Statik ve dinamik: Dinamik bir model, sistemin durumundaki zamana bağlı değişimleri açıklarken, statik (veya kararlı durum) bir model sistemi dengede hesaplar ve böylece zamanla değişmez olur. Dinamik modeller genellikle diferansiyel denklemler ile temsil edilir
- Açık veya gizli: Genel modelin tüm girdi parametreleri biliniyorsa ve çıktı parametreleri sonlu bir dizi hesaplama ile hesaplanabilirse (doğrusal programlama olarak bilinir, yukarıda açıklandığı gibi doğrusallıkla karıştırılmamalıdır) Modelin açık olduğu söyleniyor. Fakat bazen bilinen çıkış parametreleridir ve ilgili girişler, Newton'un yöntemi (eğer model doğrusal ise) veya (doğrusal değilse) Broyden'in yöntemi gibi yinelemeli bir prosedür ile çözülmelidir. Örneğin, belirli bir uçuş koşulunda ve güç ayarında bir tasarım termodinamik döngüsü (hava ve yakıt akış oranları, basınçlar ve sıcaklık) verildiğinde, jet motorunun türbin ve nozül boğaz alanları gibi fiziksel özellikleri açık bir şekilde hesaplanabilir, ancak motorun çalışma çevrimleri diğer uçuş koşullarında ve güç ayarları sabit fiziksel özelliklerden açıkça hesaplanamaz.
- Ayrık ve sürekli: Ayrık bir model, nesneleri moleküler modeldeki parçacıklar veya istatistiksel bir modeldeki durumlar gibi ayrı olarak ele alır. Sürekli bir modelse, boru akışlarındaki akışkanın hız alanı, bir katıdaki sıcaklık- gerilmeler ve bir nokta şarj nedeniyle tüm model boyunca sürekli olarak uygulanan elektrik alanı gibi nesneleri sürekli bir şekilde temsil eder.
- Deterministik ve olasılıksal (stokastik): Deterministik bir model, her değişken durum grubunun modeldeki parametreler tarafından ve bu değişkenlerin önceki durumlarının kümeleri tarafından tek başına belirlendiği bir modeldir. Bu nedenle, deterministik bir model her zaman belirli başlangıç koşullarında aynı şekilde sonuç verir. Tersine, stokastik modelde (genellikle "istatistiksel model" olarak anılır) rastgelelik bulunur ve değişken durumlar benzersiz değerlerle değil, olasılık dağılımlarıyla tanımlanır.
- Dedüktif, endüktif veya kayan: Bir tümdengelim model, teoriye dayalı mantıksal bir yapıdır. Endüktif model, ampirik bulgular ve bunlardan genelleme ile ortaya çıkmaktadır. Yüzen model, ne teori ne de gözlem üzerine kuruludur ancak sadece beklenen yapının çağrılmasıdır. Sosyal bilimlerde matematiğin ekonomi dışındaki uygulamaları asılsız modeller için eleştirilmektedir. Felaket teorisinin bilimde uygulanması kayan model olarak nitelendirilmiştir.
Doğa Bilimlerindeki Önemi
Matematiksel modeller, özellikle fizikte, doğa bilimlerinde büyük önem taşır. Fiziksel teori neredeyse her zaman matematiksel modeller kullanılarak ifade edilir.
Tarih boyunca, giderek daha doğru matematiksel modeller geliştirildi. Newton yasaları birçok günlük fenomeni doğru bir şekilde tanımlamaktadır, ancak belirli sınırlarda rölativite teorisi (İzafiyet Teorisi) ve kuantum mekaniği kullanılmalıdır; hatta bu durum bile tüm durumlara uygulanmaz ve daha fazla iyileştirmeye ihtiyaç duyar.
Daha az doğru modelleri uygun limitlerde elde etmek mümkündür, örneğin relativistik mekanik, Newton mekaniğini, ışık hızından çok daha düşük hızlarda azaltır. Kuantum sayıları yüksek olduğunda, Kuantum mekaniği klasik fiziği azaltır. Örneğin, tenis topunun de Broglie dalga boyu önemsiz derecede küçük, bu nedenle klasik fizik bu durumda kullanmak için iyi bir yaklaşımdır.
İşi basitleştirmek için fizikte idealleştirilmiş modeller kullanmak yaygın bir uygulamadır. Kütlesiz halatlar, nokta parçacıkları, ideal gazlar ve bir kutudaki parçacık fizikte kullanılan basitleştirilmiş basit modeller arasındadır. Fizik yasaları, Newton kanunları, Maxwell denklemleri ve Schrödinger denklemi gibi basit denklemler ile temsil edilir. Bu kanunlar, gerçek durumların matematiksel modellerini yapmak için temel oluşturmaktadır. Birçok gerçek durum çok karmaşıktır ve dolayısıyla bir bilgisayarda yaklaşık olarak modellenmiştir, hesaplama için hesaplanabilir bir model temel kanunlardan veya temel kanunlardan yapılan yaklaşık modellerden yapılır. Örneğin moleküller, Schrödinger denkleminin yaklaşık çözümleri olan moleküler yörünge modelleriyle modellenebilir. Mühendislikte fizik modelleri genellikle sonlu elemanlar analizi gibi matematiksel yöntemlerle üretilir.
Farklı matematiksel modeller, evrenin geometrisinin mutlak doğru tanımları olmayan farklı geometrileri kullanır. Özel görelilik ve genel görelilik Öklid olmayan geometrileri kullanan teorilerin örnekleriyken, Öklid geometrisi daha çok klasik fizikte kullanılır. Analizlerde, mühendisler, sistemin nasıl çalıştığına dair bir hipotez olarak sistemin tanımlayıcı bir modeli oluşturabilir veya öngörülemeyen bir olayın sistemin performansını nasıl etkilediğini tahmin etmeye çalışırlar.
Bazı Uygulamalar
Tarih öncesi zamanlardan bu yana, haritalar ve diagramlar gibi basit modeller kullanılmıştır. Mühendisler, çoğunlukla kontrol edilecek veya optimize edilecek bir sistemi analiz edince matematiksel bir model kullanırlar. Benzer şekilde, bir sistemin kontrolünde, mühendisler benzetimlerde farklı kontrol yaklaşımlarını deneyebilirler.
Bir matematiksel model genellikle bir sistemi bir değişken kümesiyle ve değişkenler arasında ilişkiler kuran bir dizi denklemi tanımlar. Değişkenler birçok çeşit olabilir; Gerçek veya tam sayı sayıları, boolean değerleri veya dizeleri. Değişkenler, sistemin bazı özelliklerini, örneğin, ölçülen sistem çıktılarını sinyal, zamanlama verileri, sayaçlar ve olay oluşumu (evet / hayır) şeklinde gösterir. Gerçek model, farklı değişkenler arasındaki ilişkileri tanımlayan işlevler dizisidir.
Yapı Taşları
İş ve mühendislikte, matematiksel modeller, belirli bir sonucu maksimize etmek için kullanılabilir. Göz önünde bulundurulan sistem bazı girdiler gerektirecektir. Girişleri çıkışlara bağlayan sistem de diğer değişkenlere bağlıdır: karar değişkenleri, durum değişkenleri, eksojen değişkenler ve rastgele değişkenler.
Karar değişkenleri bazen bağımsız değişkenler olarak bilinir. Dışsal değişkenler bazen parametreler veya sabitler olarak bilinir. Durum değişkenleri karar, girdi, rastgele ve dışsal değişkenlere bağımlı olduğundan, değişkenler birbirinden bağımsız değildir. Dahası, çıktı değişkenleri sistemin durumuna (durum değişkenleri tarafından gösterilir) bağlıdır.
Sistemin ve kullanıcılarının hedefleri ve kısıtlamaları çıktı değişkenleri veya durum değişkenlerinin fonksiyonları olarak gösterilebilir. Amaç fonksiyonları, model kullanıcısının perspektifine bağlı olacaktır. Bağlamına bağlı olarak, kullanıcıya ilginin bir ölçüsü olduğu için, bir amaç fonksiyonu bir performans endeksi olarak da bilinir.
Bir modelin sahip olabileceği nesnel işlevlerin ve kısıtlamaların sayısına ilişkin herhangi bir sınırlama olmamasına rağmen, modelin kullanılması ya da optimizasyonu, sayı arttıkça (hesaplama yoluyla) daha kapsayıcı hale gelir. Örneğin, iktisatçılar genellikle girdi-çıktı modellerini kullanırken doğrusal cebri uygularlar. Pek çok değişkeni olan karmaşık matematiksel modeller, bir sembolün çeşitli değişkenleri temsil ettiği vektörler kullanılarak birleştirilebilir.
Ön Bilgi
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgzTHpkakwwSnNZV05yWW05NE0wUXRkMmwwYUVkeVlYQm9jeTV3Ym1jdk5EZ3djSGd0UW14aFkydGliM2d6UkMxM2FYUm9SM0poY0doekxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Matematiksel modelleme problemleri, sistem hakkında ne kadar öncül bilgi bulunduğuna göre genellikle kara kutu veya beyaz kutu modellerine sınıflandırılır. Bir kara kutu modeli, önceden bilgili bir bilgi bulunmayan bir sistemdir. Beyaz kutu modeli (cam kutu veya şeffaf kutu olarak da adlandırılır) gerekli tüm bilgilerin mevcut olduğu bir sistemdir. Pratik olarak tüm sistemler kara kutu ve beyaz kutu modelleri arasında bir yerdedir, bu nedenle bu kavram yalnızca hangi yaklaşımı almaya karar vermede sezgisel bir kılavuz olarak kullanışlıdır.
Genellikle, modeli daha doğru hale getirmek için olabildiğince fazla ön bilgi kullanmanız tercih edilir. Bu nedenle, beyaz kutu modelleri genellikle daha kolay kabul edilir, çünkü bilgileri doğru bir şekilde kullandıysanız, model doğru şekilde davranır. Genellikle bir öncü bilgi, farklı değişkenlerle ilgili işlev türlerini bilmek biçimindedir. Örneğin, bir ilacın bir insan sisteminde nasıl işlediğine dair bir model oluşturursak, kandaki ilacın miktarının genellikle katlanarak azalır bir fonksiyon olduğunu biliriz. Fakat yine de birkaç bilinmeyen parametrelere kalırız; İlaç ne kadar çabuk bozunur ve kandaki başlangıçtaki ilaç miktarı nedir? Bu örnek bu nedenle tamamen beyaz kutu modeli değildir. Bu parametreler, modeli kullanabilmek için bazı yollarla tahmin edilmelidir.
Kara kutu modellerinde, kişi, değişkenler arasındaki ilişkilerin işlevsel formunu ve bu işlevlerdeki sayısal parametreleri tahmin etmeye çalışır. Örneğin, önceden bir bilgi kullanarak, muhtemelen sistemi yeterince açıklayabilecek bir dizi işlevle sonuçlanabilirdik. önceden bir bilgi yoksa, tüm farklı modelleri kapsayacak şekilde işlevleri mümkün olduğunca genel olarak kullanmaya çalışacağız. Kara kutu modelleri için sıklıkla kullanılan bir yaklaşım, genellikle gelen veriler hakkında varsayımlar yapmayan sinir ağlarıdır. Alternatif olarak, doğrusal olmayan sistem tanımlamasının bir parçası olarak geliştirilen NARMAX (Ekolojik girdileri olan Doğrusal Olmayan Otomatik Kayıt Defteri Hareketli Ortalama Modeli) algoritmaları, model terimlerini seçmek, model yapısını belirlemek ve bilinmeyen parametreleri korelasyon varlığında tahmin etmek için kullanılabilir. NARMAX modellerinin sinir ağlarıyla karşılaştırıldığında sağladığı avantaj, NARMAX'ın, altta yatan sürece ilişkin yazabildiği modeller ürettiği ve sinir ağlarının opak olduğu bir yaklaşım üretmesidir.
Öznel Bilgi
Bazen subjektif bilgileri bir matematik modeline dahil etmek yararlı olacaktır. Bu, sezgi, deneyim veya uzman görüşüne dayanarak veya matematiksel formun kolaylığına dayalı olarak yapılabilir. Bayezyen istatistikler, bu öznelliği sıkı bir analizle birleştirmek için teorik bir çerçeve oluşturmaktadır: önceden bir olasılık dağılımı (öznel olabilir) belirliyoruz ve daha sonra bu dağılımı ampirik verilere dayanılarak güncelleriz.
Böyle bir yaklaşıma ihtiyaç duyulacağının bir örneği, bir deneycinin bir parayı hafifçe büküp bir kez attığı bir durumdur ve sonra turanın gelip gelmediğini kayıt eder ve sonra bir sonraki atmada turanın gelme ihtimalini tahmin etme görevi verilir. Parayı büktükten sonra, paranın turalarından çıkacak doğru ihtimal bilinmez. Bu yüzden deneyci önceden dağıtımı kullanmak için bir karar vermelidir (belki de madalyonun şekline bakarak). Böyle bir öznel bilginin toplanması, olasılığın kesin bir tahmini için önemlidir.
Karmaşa/Karışıklık
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTltTDJZekwwMWhkR2hsYldGMGFXTmhiRjl0YjJSbGJITmZabTl5WDJOdmJYQnNaWGhmYzNsemRHVnRjeTVxY0djdk16QXdjSGd0VFdGMGFHVnRZWFJwWTJGc1gyMXZaR1ZzYzE5bWIzSmZZMjl0Y0d4bGVGOXplWE4wWlcxekxtcHdadz09LmpwZw==.jpg)
Genel olarak, model karmaşıklığı, modelin basitliği ve doğruluğu arasındaki dengeyi içerir. Occam'ın bıçağı, özellikle modelleme ile ilgili bir prensiptir ve asıl fikri kabaca eşit prediktif güce sahip modeller arasında en basit olanıdır. Eklenen karmaşıklık genellikle bir modelin gerçekçiliğini geliştirir, ancak modelin anlaşılması ve analizi zorlaştırabilir ve ayrıca sayısal dengesizlik de dahil olmak üzere hesaplama problemleri ortaya çıkarabilir. Thomas Kuhn, bilim ilerledikçe, bir paradigma kayması radikal sadeleştirme öncesi açıklamaların daha karmaşık hale geldiğini savunuyor.
Örneğin, bir uçağın modelini belirlerken uçağın her bir mekanik parçasını modelimize yerleştirebiliriz ve böylece neredeyse beyaz kutuya sahip bir sistem modeli elde ederiz. Bununla birlikte, böylesine muazzam bir ayrıntı miktarı eklemenin hesaplama maliyeti böyle bir modelin kullanımını etkili bir şekilde engelleyecektir. Ayrıca, aşırı karmaşık bir sistem nedeniyle belirsizlik artacaktır, çünkü her ayrı bölüm modele bir miktar değişkenlik getirir. Bu nedenle, modeli mantıklı bir boyuta indirgemek için bazı yaklaşımlar yapmak genellikle uygundur. Mühendisler genellikle daha sağlam ve basit bir model elde etmek için bazı yaklaşımları kabul edebilirler. Örneğin, Newton'un klasik mekaniği, gerçek dünyanın yaklaşık modelidir. Yine de Newton'un modeli, sıradan yaşam koşullarının çoğu için, yani parçacık hızları ışık hızının çok altında olduğu sürece oldukça yeterlidir ve yalnızca makro parçacıkları inceleriz.
Eğitim
Saf beyaz kutu olmayan herhangi bir model, modelin tarif edilmek istenen sisteme uyması için kullanılabilecek bazı parametreleri içerir. Modelleme bir sinir ağı veya başka bir makine öğrenmesi ile yapılırsa, parametrelerin optimizasyonuna eğitim denirken model hiperparametrelerinin optimizasyonu ayar olarak adlandırılır ve kullanılır. Açıkça verilen matematiksel fonksiyonlar yoluyla daha geleneksel modellemelerde, parametreler genellikle eğri uydurma ile belirlenir.
Model Değerlendirmesi;
Modelleme sürecinin önemli bir kısmı verilen bir matematiksel modelin bir sistemi doğru bir şekilde açıklayıp açıklamadığının değerlendirilmesidir. Birkaç farklı değerlendirme tipini içerdiğinden bu soruya cevap vermek zor olabilir.
Ampirik Verilere Uyma
Genellikle, model değerlendirmesinde en kolay olan kısım, bir modelin deneysel ölçümlere veya diğer ampirik verilere uyup uymadığını kontrol etmesidir.Parametreli modellerde, bu uygunluğu test etmek için ortak bir yaklaşım, veriyi birbirinden bağımsız iki alt küme halinde bölmektir: eğitim verileri ve doğrulama verileri. Eğitim verileri, model parametrelerini tahmin etmek için kullanılır. Doğru bir model, bu veriler modelin parametrelerini ayarlamak için kullanılmamasına rağmen doğrulama verileriyle yakından eşleşir. Bu uygulama, istatistiklerde çapraz doğrulama olarak adlandırılır.
Gözlemlenen ve tahmin edilen veriler arasındaki mesafeleri ölçmek için bir metriğin tanımlanması, model uygunluğunu değerlendirmek için yararlı bir araçtır. İstatistikte, karar teorisi ve bazı ekonomik modellerde bir kayıp fonksiyonu benzer bir rol oynamaktadır.
Parametrelerin uygunluğunu test etmek oldukça basit olmakla birlikte, bir modelin genel matematiksel formunun geçerliliğini test etmek daha zor olabilir. Genel olarak istatistiksel modellerin diferansiyel denklemleri içeren modellerden daha iyi test edildiği daha matematiksel araçlar geliştirilmiştir. Parametrik olmayan istatistiklerden alınan araçlar, verilerin bilinen bir dağıtıma ne kadar uyduğunu değerlendirmek veya modelin matematiksel formuyla ilgili yalnızca en ufak varsayımlar yapan genel bir model bulmak için kullanılabilir.
Modelin Kapsamı
Bir modelin kapsamını değerlendirmek, diğer bir deyişle, modelin hangi durumlarda uygulanabileceğini belirlemek daha az açık olabilir. Model, bir veri kümesine dayanıyorsa, bilinen verilerin "tipik" veri kümesi olan hangi sistem veya durumları belirlemesi gerekir.
Modelin veri noktaları arasındaki sistemin özelliklerini iyi açıklayıp açıklamadığına soruya içevurum denir ve gözlemlenen verinin dışındaki olaylar veya veri noktaları için aynı soru dışa vurum olarak adlandırılır. Bir modelin kapsamının tipik sınırlamaları için bir örnek olarak, Newton klasik mekaniğini değerlendirirken, Newton'un ölçümlerini gelişmiş ekipman olmadan yapmış olduğuna dikkat edelim; bu nedenle ışık hızına yakın hızlarda hareket eden parçacıkların özelliklerini ölçemez.
Aynı şekilde, yalnızca makro parçacıklar hariç, küçük moleküllerin ve diğer küçük parçacıkların, hareketlerini ölçemedi. O halde modelinin sıradan yaşam fiziği için oldukça yeterli olmasına rağmen, modelinin bu alanlara iyi bir şekilde ekstrapolasyon yapmadığı şaşırtıcı değildir.
Felsefi Düşünceler
Birçok modelleme biçimi örtük olarak nedensellik hakkındaki iddiaları içerir. Bu genellikle diferansiyel denklemleri içeren modeller için geçerlidir (fakat her zaman geçerli değildir). Modelleme amacının dünyayı anlayışımızı arttırması olduğu için, bir modelin geçerliliği yalnızca ampirik gözlemlere uyma değil, aynı zamanda modelde orijinal olarak tanımlananların ötesinde durumlara veya verilere dışlama yeteneğine dayanır. Bunu, niteliksel ve niceliksel tahminler arasındaki fark olarak düşünebiliriz. Bir de, incelenen fenomenin doğrudan soruşturulmasıyla zaten bilinen şeyin ötesine geçen bazı bilgiler sağlayan bir modelin değersiz olduğunu iddia edebilir
Bu tür eleştirilere bir örnek, Optimal yemleme teorisinin matematiksel modellerinin, evrimin sağduyulu sonuçlarını ve ekolojinin diğer temel ilkelerini aşan bir fikir sunmadığı argümanıdır.
Örnekler
• Bilgisayar bilimlerindeki popüler örneklerden biri, çeşitli makinelerin matematiksel modelleridir, buna bir örnek, soyut bir matematiksel kavram olarak tanımlanan deterministik sonlu otomattır; ancak bir DFA'nın deterministik niteliğinden dolayı, çeşitli özel soruları çözmek için donanım ve yazılımda uygulanabilir.
Örneğin, aşağıdaki, girdinin 0 sayısına eşit sayıda olmasını gerektiren, ikili bir alfabe içeren bir DFAM’dır.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTg1THpsa0wwUkdRV1Y0WVcxd2JHVXVjM1puTHpJMU1IQjRMVVJHUVdWNFlXMXdiR1V1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
M = (Q, Σ, δ, q0, F) where
- Q = {S1, S2},
- Σ = {0, 1},
- q0 = S1,
- F = {S1}, and
- δ aşağıdaki durum geçiş tablosu ile tanımlanır:
0 1 S1 S2 S1 S2 S1 S2
Durum S1, şimdiye kadar girdide 0s'ın çift bir sayısının bulunduğunu, S2 ise tek sayıyı temsil ettiğini gösterir. Girişteki A 1, otomatın durumunu değiştirmez. Giriş sona erdiğinde, durum girişin eşit sayıda 0'lı olup olmadığını gösterecektir. Giriş 0'lık çift bir sayı içeriyorsa, M, giriş durumu kabul edilecek şekilde S1 durumunda kabul halini alacaktır.
M tarafından tanınan dil düzenli ifadeyle verilen 1 * (0 (1 *) 0 (1 *)) *, burada "*" Kleene yıldızıdır, örneğin 1 * negatif olmayan herhangi bir sayı (Muhtemelen sıfır) simgeler "1".
- Düşünmeden yürütülen birçok gündelik etkinlik, matematiksel modellerin kullanılmasıdır. Bir bölgenin küçük, düz bir yüzeye coğrafi bir izdüşümü, uçağı yüzeyi gibi birçok amaç için kullanılabilen bir modeldir.
- Bir başka basit faaliyet, bir aracın başlangıç pozisyonundan, yönünden ve sürüş hızından, seyahat edilen sürenin ve hızın çarpımı denklemi kullanılarak öngörülmesidir. Bu daha resmen kullanıldığında ölü hesaba katılması olarak bilinir. Bu şekilde matematiksel modelleme, mutlaka biçimsel matematik gerektirmez; Hayvanlara ölü saymayı kullandığı gösterilmiştir.
- Nüfus artışı. Nüfus artışının basit (yaklaşık olmasına rağmen) bir modeli, Malthus'un büyüme modelidir. Biraz daha gerçekçi ve büyük oranda kullanılan nüfus büyüme modeli, lojistik fonksiyon ve uzantılarıdır.
- Nüfus artışının bireysel tabanlı hücresel otomata modelleri
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.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.gif)
- Bir potansiyel alan içindeki bir parçacık modeli. Bu modelde, bir parçacığı koordinatlarını zamanın bir fonksiyonu olarak veren bir fonksiyon ile modellenen uzayda bir yörüngeyi tarif eden bir kütle noktası olarak görüyoruz; Potansiyel alan
fonksiyonu tarafından verilir ve bu
, fonksiyonu, yörünge diferansiyel denklemin çözümüdür:
Bu aşağıdaki şekilde de yazılabilir;
Bu model, parçacığın, bu modeli kullandığımız birçok durumda kesinlikle yanlış olduğu bilinen bir nokta kütlesi olduğunu varsayıyor; örneğin, gezegen hareketinin bir modeli olarak varsayıyor.
- Bir tüketici için rasyonel davranış modeli. Bu modelde, bir tüketici 1, 2, ..., n etiketli n mal seçenekli bir piyasa fiyatı p1, p2, ..., pn ile karşı karşıya kaldığını varsayıyoruz. Tüketici, tükenen emtia x1, x2, ..., xn miktarlarına bağlı olarak, U temel eğilimine sahip bir U (ana hatları sayısal değerleri atadığı anlamında kardinal) olarak kabul edilir. Model ayrıca tüketicinin bir vektör x1, x2, ..., xn'yi U (x1, x2, ..., xn) 'yi en yükseğe çıkaracak şekilde satın alması için kullanılan bir bütçeye (M) sahip olduğunu varsaymaktadır. Bu modelde akılcı davranış problemi bir optimizasyon problemi haline gelir, yani:
Tâbi
Bu model, genel denge teorisinde, özellikle ekonomik dengesizliğin varlığını ve Pareto verimliliğini göstermek için kullanılmıştır. Bununla birlikte, bu özel formülasyonun memnuniyet seviyelerine sayısal değerler atadığı gerçeği eleştiri kaynağıdır (ve hatta alay konusu olur). Bununla birlikte, teorinin önemli bir bileşeni değildir ve yine bu bir idealleştirmedir.
- Komşu algılama modeli başlangıçtaki kaotik mantar ağından gelen mantar oluşumunu açıklar.
- Bilgisayar bilimi: Bilgisayar Ağlarında modeller, veri modelleri, yüzey modeli,...
- Mekanik: roket modelinin hareketi,...
Modelleme, gerçek dünyadaki bir durumun ilgili yönlerini seçmek ve tanımlamak gerekir.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- ^ (1972). Social Sciences as Sorcery. . ISBN .
- ^ (1984). An Idiot’s Fugitive Essays on Science. Springer. ss. 121-7. ISBN .
- ^ Billings S.A. (2013), Nonlinear System Identification: NARMAX Methods in the Time, Frequency, and Spatio-Temporal Domains, Wiley.
- ^ Pyke, G. H. (1984). "Optimal Foraging Theory: A Critical Review". Annual Review of Ecology and Systematics. Cilt 15. ss. 523-575. doi:10.1146/annurev.es.15.110184.002515.
- ^ . 11 Eylül 2017 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 26 Aralık 2016.
- ^ Gallistel (1990). The Organization of Learning. Cambridge: The MIT Press. ISBN .
- ^ Whishaw, I. Q.; Hines, D. J.; Wallace, D. G. (2001). "Dead reckoning (path integration) requires the hippocampal formation: Evidence from spontaneous exploration and spatial learning tasks in light (allothetic) and dark (idiothetic) tests". Behavioural Brain Research. 127 (1–2). ss. 49-69. doi:10.1016/S0166-4328(01)00359-X. (PMID) 11718884.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Matematiksel model bir sistemin matematiksel kavramlar ve dil kullanilarak tanimlanmasidir Matematiksel model gelistirme sureci matematiksel modelleme olarak adlandirilir Matematiksel modeller doga bilimlerinde fizik biyoloji yer bilimi meteoroloji gibi ve muhendislik disiplinlerinde bilgisayar bilimi yapay zeka gibi bunun yani sira sosyal bilimlerde ekonomi psikoloji sosyoloji siyaset bilim kullanilir Matematiksel modelleri daha cok fizikciler muhendisler istatistikciler operasyon arastirma analistleri ve ekonomistler kullanir Model bir sistemi aciklamaya farkli bilesenlerin etkilerini incelemeye ve bir davranis hakkinda ongorude bulunmak icin yardimci olabilir Matematiksel Modelin OgeleriMatematiksel modeller dinamik sistemler istatistiksel modeller diferansiyel denklemler veya oyun teorisi modelleri gibi bircok formda olabilir Bunlar ve diger tip modeller cesitli soyut yapilari iceren belirli bir modelle ortusebilir Genel olarak matematiksel modeller mantiksal modelleri icerebilir Cogu durumda bilimsel bir alanin kalitesi teorik acidan gelistirilen matematiksel modellerin tekrarlanabilir deneylerin sonuclarina ne kadar iyi uyum gosterdigine baglidir Teorik matematiksel modeller ile deneysel olcumler arasindaki uyusma eksikligi gelistirilen teoriler kadar onemli ilerlemelere onayak olur Geleneksel matematiksel model dort ana unsuru icerir Bunlar Yonetici denklemler Yapisal denklemler Kisitlar Kinematik denklemlerSiniflamalarMatematiksel modeller genellikle iliskiler ve degiskenlerden olusur Iliskiler cebirsel operatorler fonksiyonlar diferansiyel operatorler gibi operatorler tarafindan tanimlanabilir Degiskenler ilgilenilen sistem parametrelerinin soyutlamalaridir bunlar nicelendirilebilir Yapisina gore matematiksel modeller icin birkac siniflandirma kriteri kullanilabilir Dogrusal ve dogrusal olmayan Bir matematiksel modeldeki tum operatorler dogrusallik sergiliyorsa elde edilen matematiksel model dogrusal olarak tanimlanir Aksi takdirde bir model dogrusal olmayan olarak kabul edilir Dogrusallik ve dogrusalligin tanimi icerige baglidir ve dogrusal modellerin dogrusal olmayan ifadeleri olabilir Ornegin istatistiksel bir dogrusal modelde bir iliskinin parametrelerde dogrusal oldugu kabul edilir ancak tahmin degiskenlerinde dogrusal olmayabilir Benzer sekilde diferansiyel denklem dogrusal diferansiyel operatorler ile yazilabilirse dogrusal oldugu soylenir ancak yine de dogrusal olmayan ifadeler icerebilir Bir matematiksel programlama modelinde eger nesnel fonksiyonlari ve kisitlar tamamen dogrusal denklemler tarafindan temsil edilirse o zaman model dogrusal bir model olarak kabul edilir Bir veya daha fazla nesnel fonksiyon veya kisitlama dogrusal olmayan bir denklem ile gosterilirse model dogrusal olmayan bir model olarak bilinir Dogrusal olmayanlik oldukca basit sistemlerde bile genellikle kaos ve geri donmezlik gibi olaylarla iliskilendirilir Istisnalar olmasina ragmen dogrusal olmayan sistemlerin ve modellerin dogrusal olanlara gore calisilma egilimi daha zordur Lineer olmayan problemlere ortak yaklasim dogrusallastirmadir ancak geri donmezlik gibi lineer olmayana guclu sekilde bagli bir yaklasim ele alinirsa bu sorun dogurabilir Statik ve dinamik Dinamik bir model sistemin durumundaki zamana bagli degisimleri aciklarken statik veya kararli durum bir model sistemi dengede hesaplar ve boylece zamanla degismez olur Dinamik modeller genellikle diferansiyel denklemler ile temsil edilir Acik veya gizli Genel modelin tum girdi parametreleri biliniyorsa ve cikti parametreleri sonlu bir dizi hesaplama ile hesaplanabilirse dogrusal programlama olarak bilinir yukarida aciklandigi gibi dogrusallikla karistirilmamalidir Modelin acik oldugu soyleniyor Fakat bazen bilinen cikis parametreleridir ve ilgili girisler Newton un yontemi eger model dogrusal ise veya dogrusal degilse Broyden in yontemi gibi yinelemeli bir prosedur ile cozulmelidir Ornegin belirli bir ucus kosulunda ve guc ayarinda bir tasarim termodinamik dongusu hava ve yakit akis oranlari basinclar ve sicaklik verildiginde jet motorunun turbin ve nozul bogaz alanlari gibi fiziksel ozellikleri acik bir sekilde hesaplanabilir ancak motorun calisma cevrimleri diger ucus kosullarinda ve guc ayarlari sabit fiziksel ozelliklerden acikca hesaplanamaz Ayrik ve surekli Ayrik bir model nesneleri molekuler modeldeki parcaciklar veya istatistiksel bir modeldeki durumlar gibi ayri olarak ele alir Surekli bir modelse boru akislarindaki akiskanin hiz alani bir katidaki sicaklik gerilmeler ve bir nokta sarj nedeniyle tum model boyunca surekli olarak uygulanan elektrik alani gibi nesneleri surekli bir sekilde temsil eder Deterministik ve olasiliksal stokastik Deterministik bir model her degisken durum grubunun modeldeki parametreler tarafindan ve bu degiskenlerin onceki durumlarinin kumeleri tarafindan tek basina belirlendigi bir modeldir Bu nedenle deterministik bir model her zaman belirli baslangic kosullarinda ayni sekilde sonuc verir Tersine stokastik modelde genellikle istatistiksel model olarak anilir rastgelelik bulunur ve degisken durumlar benzersiz degerlerle degil olasilik dagilimlariyla tanimlanir Deduktif enduktif veya kayan Bir tumdengelim model teoriye dayali mantiksal bir yapidir Enduktif model ampirik bulgular ve bunlardan genelleme ile ortaya cikmaktadir Yuzen model ne teori ne de gozlem uzerine kuruludur ancak sadece beklenen yapinin cagrilmasidir Sosyal bilimlerde matematigin ekonomi disindaki uygulamalari asilsiz modeller icin elestirilmektedir Felaket teorisinin bilimde uygulanmasi kayan model olarak nitelendirilmistir Doga Bilimlerindeki OnemiMatematiksel modeller ozellikle fizikte doga bilimlerinde buyuk onem tasir Fiziksel teori neredeyse her zaman matematiksel modeller kullanilarak ifade edilir Tarih boyunca giderek daha dogru matematiksel modeller gelistirildi Newton yasalari bircok gunluk fenomeni dogru bir sekilde tanimlamaktadir ancak belirli sinirlarda rolativite teorisi Izafiyet Teorisi ve kuantum mekanigi kullanilmalidir hatta bu durum bile tum durumlara uygulanmaz ve daha fazla iyilestirmeye ihtiyac duyar Daha az dogru modelleri uygun limitlerde elde etmek mumkundur ornegin relativistik mekanik Newton mekanigini isik hizindan cok daha dusuk hizlarda azaltir Kuantum sayilari yuksek oldugunda Kuantum mekanigi klasik fizigi azaltir Ornegin tenis topunun de Broglie dalga boyu onemsiz derecede kucuk bu nedenle klasik fizik bu durumda kullanmak icin iyi bir yaklasimdir Isi basitlestirmek icin fizikte ideallestirilmis modeller kullanmak yaygin bir uygulamadir Kutlesiz halatlar nokta parcaciklari ideal gazlar ve bir kutudaki parcacik fizikte kullanilan basitlestirilmis basit modeller arasindadir Fizik yasalari Newton kanunlari Maxwell denklemleri ve Schrodinger denklemi gibi basit denklemler ile temsil edilir Bu kanunlar gercek durumlarin matematiksel modellerini yapmak icin temel olusturmaktadir Bircok gercek durum cok karmasiktir ve dolayisiyla bir bilgisayarda yaklasik olarak modellenmistir hesaplama icin hesaplanabilir bir model temel kanunlardan veya temel kanunlardan yapilan yaklasik modellerden yapilir Ornegin molekuller Schrodinger denkleminin yaklasik cozumleri olan molekuler yorunge modelleriyle modellenebilir Muhendislikte fizik modelleri genellikle sonlu elemanlar analizi gibi matematiksel yontemlerle uretilir Farkli matematiksel modeller evrenin geometrisinin mutlak dogru tanimlari olmayan farkli geometrileri kullanir Ozel gorelilik ve genel gorelilik Oklid olmayan geometrileri kullanan teorilerin ornekleriyken Oklid geometrisi daha cok klasik fizikte kullanilir Analizlerde muhendisler sistemin nasil calistigina dair bir hipotez olarak sistemin tanimlayici bir modeli olusturabilir veya ongorulemeyen bir olayin sistemin performansini nasil etkiledigini tahmin etmeye calisirlar Bazi UygulamalarTarih oncesi zamanlardan bu yana haritalar ve diagramlar gibi basit modeller kullanilmistir Muhendisler cogunlukla kontrol edilecek veya optimize edilecek bir sistemi analiz edince matematiksel bir model kullanirlar Benzer sekilde bir sistemin kontrolunde muhendisler benzetimlerde farkli kontrol yaklasimlarini deneyebilirler Bir matematiksel model genellikle bir sistemi bir degisken kumesiyle ve degiskenler arasinda iliskiler kuran bir dizi denklemi tanimlar Degiskenler bircok cesit olabilir Gercek veya tam sayi sayilari boolean degerleri veya dizeleri Degiskenler sistemin bazi ozelliklerini ornegin olculen sistem ciktilarini sinyal zamanlama verileri sayaclar ve olay olusumu evet hayir seklinde gosterir Gercek model farkli degiskenler arasindaki iliskileri tanimlayan islevler dizisidir Yapi TaslariIs ve muhendislikte matematiksel modeller belirli bir sonucu maksimize etmek icin kullanilabilir Goz onunde bulundurulan sistem bazi girdiler gerektirecektir Girisleri cikislara baglayan sistem de diger degiskenlere baglidir karar degiskenleri durum degiskenleri eksojen degiskenler ve rastgele degiskenler Karar degiskenleri bazen bagimsiz degiskenler olarak bilinir Dissal degiskenler bazen parametreler veya sabitler olarak bilinir Durum degiskenleri karar girdi rastgele ve dissal degiskenlere bagimli oldugundan degiskenler birbirinden bagimsiz degildir Dahasi cikti degiskenleri sistemin durumuna durum degiskenleri tarafindan gosterilir baglidir Sistemin ve kullanicilarinin hedefleri ve kisitlamalari cikti degiskenleri veya durum degiskenlerinin fonksiyonlari olarak gosterilebilir Amac fonksiyonlari model kullanicisinin perspektifine bagli olacaktir Baglamina bagli olarak kullaniciya ilginin bir olcusu oldugu icin bir amac fonksiyonu bir performans endeksi olarak da bilinir Bir modelin sahip olabilecegi nesnel islevlerin ve kisitlamalarin sayisina iliskin herhangi bir sinirlama olmamasina ragmen modelin kullanilmasi ya da optimizasyonu sayi arttikca hesaplama yoluyla daha kapsayici hale gelir Ornegin iktisatcilar genellikle girdi cikti modellerini kullanirken dogrusal cebri uygularlar Pek cok degiskeni olan karmasik matematiksel modeller bir sembolun cesitli degiskenleri temsil ettigi vektorler kullanilarak birlestirilebilir On BilgiTipik bir kara kutu yaklasimi ile bir seyi analiz etmek icin yalnizca bilinmeyen kutuyu cikarmak icin uyaranin cevabin davranisinin hesaba katilmasi gerekir Bu kara kutu sisteminin olagan gosterimi kutuya ortalanmis bir veri akis diyagramidir Matematiksel modelleme problemleri sistem hakkinda ne kadar oncul bilgi bulunduguna gore genellikle kara kutu veya beyaz kutu modellerine siniflandirilir Bir kara kutu modeli onceden bilgili bir bilgi bulunmayan bir sistemdir Beyaz kutu modeli cam kutu veya seffaf kutu olarak da adlandirilir gerekli tum bilgilerin mevcut oldugu bir sistemdir Pratik olarak tum sistemler kara kutu ve beyaz kutu modelleri arasinda bir yerdedir bu nedenle bu kavram yalnizca hangi yaklasimi almaya karar vermede sezgisel bir kilavuz olarak kullanislidir Genellikle modeli daha dogru hale getirmek icin olabildigince fazla on bilgi kullanmaniz tercih edilir Bu nedenle beyaz kutu modelleri genellikle daha kolay kabul edilir cunku bilgileri dogru bir sekilde kullandiysaniz model dogru sekilde davranir Genellikle bir oncu bilgi farkli degiskenlerle ilgili islev turlerini bilmek bicimindedir Ornegin bir ilacin bir insan sisteminde nasil isledigine dair bir model olusturursak kandaki ilacin miktarinin genellikle katlanarak azalir bir fonksiyon oldugunu biliriz Fakat yine de birkac bilinmeyen parametrelere kaliriz Ilac ne kadar cabuk bozunur ve kandaki baslangictaki ilac miktari nedir Bu ornek bu nedenle tamamen beyaz kutu modeli degildir Bu parametreler modeli kullanabilmek icin bazi yollarla tahmin edilmelidir Kara kutu modellerinde kisi degiskenler arasindaki iliskilerin islevsel formunu ve bu islevlerdeki sayisal parametreleri tahmin etmeye calisir Ornegin onceden bir bilgi kullanarak muhtemelen sistemi yeterince aciklayabilecek bir dizi islevle sonuclanabilirdik onceden bir bilgi yoksa tum farkli modelleri kapsayacak sekilde islevleri mumkun oldugunca genel olarak kullanmaya calisacagiz Kara kutu modelleri icin siklikla kullanilan bir yaklasim genellikle gelen veriler hakkinda varsayimlar yapmayan sinir aglaridir Alternatif olarak dogrusal olmayan sistem tanimlamasinin bir parcasi olarak gelistirilen NARMAX Ekolojik girdileri olan Dogrusal Olmayan Otomatik Kayit Defteri Hareketli Ortalama Modeli algoritmalari model terimlerini secmek model yapisini belirlemek ve bilinmeyen parametreleri korelasyon varliginda tahmin etmek icin kullanilabilir NARMAX modellerinin sinir aglariyla karsilastirildiginda sagladigi avantaj NARMAX in altta yatan surece iliskin yazabildigi modeller urettigi ve sinir aglarinin opak oldugu bir yaklasim uretmesidir Oznel Bilgi Bazen subjektif bilgileri bir matematik modeline dahil etmek yararli olacaktir Bu sezgi deneyim veya uzman gorusune dayanarak veya matematiksel formun kolayligina dayali olarak yapilabilir Bayezyen istatistikler bu oznelligi siki bir analizle birlestirmek icin teorik bir cerceve olusturmaktadir onceden bir olasilik dagilimi oznel olabilir belirliyoruz ve daha sonra bu dagilimi ampirik verilere dayanilarak guncelleriz Boyle bir yaklasima ihtiyac duyulacaginin bir ornegi bir deneycinin bir parayi hafifce bukup bir kez attigi bir durumdur ve sonra turanin gelip gelmedigini kayit eder ve sonra bir sonraki atmada turanin gelme ihtimalini tahmin etme gorevi verilir Parayi buktukten sonra paranin turalarindan cikacak dogru ihtimal bilinmez Bu yuzden deneyci onceden dagitimi kullanmak icin bir karar vermelidir belki de madalyonun sekline bakarak Boyle bir oznel bilginin toplanmasi olasiligin kesin bir tahmini icin onemlidir Karmasa KarisiklikBu mekanik anlayis duzeyleri ile karmasik sistemlerin uc tur matematik modelinin sematik bir temsilidir Genel olarak model karmasikligi modelin basitligi ve dogrulugu arasindaki dengeyi icerir Occam in bicagi ozellikle modelleme ile ilgili bir prensiptir ve asil fikri kabaca esit prediktif guce sahip modeller arasinda en basit olanidir Eklenen karmasiklik genellikle bir modelin gercekciligini gelistirir ancak modelin anlasilmasi ve analizi zorlastirabilir ve ayrica sayisal dengesizlik de dahil olmak uzere hesaplama problemleri ortaya cikarabilir Thomas Kuhn bilim ilerledikce bir paradigma kaymasi radikal sadelestirme oncesi aciklamalarin daha karmasik hale geldigini savunuyor Ornegin bir ucagin modelini belirlerken ucagin her bir mekanik parcasini modelimize yerlestirebiliriz ve boylece neredeyse beyaz kutuya sahip bir sistem modeli elde ederiz Bununla birlikte boylesine muazzam bir ayrinti miktari eklemenin hesaplama maliyeti boyle bir modelin kullanimini etkili bir sekilde engelleyecektir Ayrica asiri karmasik bir sistem nedeniyle belirsizlik artacaktir cunku her ayri bolum modele bir miktar degiskenlik getirir Bu nedenle modeli mantikli bir boyuta indirgemek icin bazi yaklasimlar yapmak genellikle uygundur Muhendisler genellikle daha saglam ve basit bir model elde etmek icin bazi yaklasimlari kabul edebilirler Ornegin Newton un klasik mekanigi gercek dunyanin yaklasik modelidir Yine de Newton un modeli siradan yasam kosullarinin cogu icin yani parcacik hizlari isik hizinin cok altinda oldugu surece oldukca yeterlidir ve yalnizca makro parcaciklari inceleriz EgitimSaf beyaz kutu olmayan herhangi bir model modelin tarif edilmek istenen sisteme uymasi icin kullanilabilecek bazi parametreleri icerir Modelleme bir sinir agi veya baska bir makine ogrenmesi ile yapilirsa parametrelerin optimizasyonuna egitim denirken model hiperparametrelerinin optimizasyonu ayar olarak adlandirilir ve kullanilir Acikca verilen matematiksel fonksiyonlar yoluyla daha geleneksel modellemelerde parametreler genellikle egri uydurma ile belirlenir Model Degerlendirmesi Modelleme surecinin onemli bir kismi verilen bir matematiksel modelin bir sistemi dogru bir sekilde aciklayip aciklamadiginin degerlendirilmesidir Birkac farkli degerlendirme tipini icerdiginden bu soruya cevap vermek zor olabilir Ampirik Verilere Uyma Genellikle model degerlendirmesinde en kolay olan kisim bir modelin deneysel olcumlere veya diger ampirik verilere uyup uymadigini kontrol etmesidir Parametreli modellerde bu uygunlugu test etmek icin ortak bir yaklasim veriyi birbirinden bagimsiz iki alt kume halinde bolmektir egitim verileri ve dogrulama verileri Egitim verileri model parametrelerini tahmin etmek icin kullanilir Dogru bir model bu veriler modelin parametrelerini ayarlamak icin kullanilmamasina ragmen dogrulama verileriyle yakindan eslesir Bu uygulama istatistiklerde capraz dogrulama olarak adlandirilir Gozlemlenen ve tahmin edilen veriler arasindaki mesafeleri olcmek icin bir metrigin tanimlanmasi model uygunlugunu degerlendirmek icin yararli bir aractir Istatistikte karar teorisi ve bazi ekonomik modellerde bir kayip fonksiyonu benzer bir rol oynamaktadir Parametrelerin uygunlugunu test etmek oldukca basit olmakla birlikte bir modelin genel matematiksel formunun gecerliligini test etmek daha zor olabilir Genel olarak istatistiksel modellerin diferansiyel denklemleri iceren modellerden daha iyi test edildigi daha matematiksel araclar gelistirilmistir Parametrik olmayan istatistiklerden alinan araclar verilerin bilinen bir dagitima ne kadar uydugunu degerlendirmek veya modelin matematiksel formuyla ilgili yalnizca en ufak varsayimlar yapan genel bir model bulmak icin kullanilabilir Modelin Kapsami Bir modelin kapsamini degerlendirmek diger bir deyisle modelin hangi durumlarda uygulanabilecegini belirlemek daha az acik olabilir Model bir veri kumesine dayaniyorsa bilinen verilerin tipik veri kumesi olan hangi sistem veya durumlari belirlemesi gerekir Modelin veri noktalari arasindaki sistemin ozelliklerini iyi aciklayip aciklamadigina soruya icevurum denir ve gozlemlenen verinin disindaki olaylar veya veri noktalari icin ayni soru disa vurum olarak adlandirilir Bir modelin kapsaminin tipik sinirlamalari icin bir ornek olarak Newton klasik mekanigini degerlendirirken Newton un olcumlerini gelismis ekipman olmadan yapmis olduguna dikkat edelim bu nedenle isik hizina yakin hizlarda hareket eden parcaciklarin ozelliklerini olcemez Ayni sekilde yalnizca makro parcaciklar haric kucuk molekullerin ve diger kucuk parcaciklarin hareketlerini olcemedi O halde modelinin siradan yasam fizigi icin oldukca yeterli olmasina ragmen modelinin bu alanlara iyi bir sekilde ekstrapolasyon yapmadigi sasirtici degildir Felsefi Dusunceler Bircok modelleme bicimi ortuk olarak nedensellik hakkindaki iddialari icerir Bu genellikle diferansiyel denklemleri iceren modeller icin gecerlidir fakat her zaman gecerli degildir Modelleme amacinin dunyayi anlayisimizi arttirmasi oldugu icin bir modelin gecerliligi yalnizca ampirik gozlemlere uyma degil ayni zamanda modelde orijinal olarak tanimlananlarin otesinde durumlara veya verilere dislama yetenegine dayanir Bunu niteliksel ve niceliksel tahminler arasindaki fark olarak dusunebiliriz Bir de incelenen fenomenin dogrudan sorusturulmasiyla zaten bilinen seyin otesine gecen bazi bilgiler saglayan bir modelin degersiz oldugunu iddia edebilir Bu tur elestirilere bir ornek Optimal yemleme teorisinin matematiksel modellerinin evrimin sagduyulu sonuclarini ve ekolojinin diger temel ilkelerini asan bir fikir sunmadigi argumanidir Ornekler Bilgisayar bilimlerindeki populer orneklerden biri cesitli makinelerin matematiksel modelleridir buna bir ornek soyut bir matematiksel kavram olarak tanimlanan deterministik sonlu otomattir ancak bir DFA nin deterministik niteliginden dolayi cesitli ozel sorulari cozmek icin donanim ve yazilimda uygulanabilir Ornegin asagidaki girdinin 0 sayisina esit sayida olmasini gerektiren ikili bir alfabe iceren bir DFAM dir M icin durum tablosu M Q S d q0 F where Q S1 S2 S 0 1 q0 S1 F S1 and d asagidaki durum gecis tablosu ile tanimlanir 0 1S1 S2 S1S2 S1 S2 Durum S1 simdiye kadar girdide 0s in cift bir sayisinin bulundugunu S2 ise tek sayiyi temsil ettigini gosterir Giristeki A 1 otomatin durumunu degistirmez Giris sona erdiginde durum girisin esit sayida 0 li olup olmadigini gosterecektir Giris 0 lik cift bir sayi iceriyorsa M giris durumu kabul edilecek sekilde S1 durumunda kabul halini alacaktir M tarafindan taninan dil duzenli ifadeyle verilen 1 0 1 0 1 burada Kleene yildizidir ornegin 1 negatif olmayan herhangi bir sayi Muhtemelen sifir simgeler 1 Dusunmeden yurutulen bircok gundelik etkinlik matematiksel modellerin kullanilmasidir Bir bolgenin kucuk duz bir yuzeye cografi bir izdusumu ucagi yuzeyi gibi bircok amac icin kullanilabilen bir modeldir Bir baska basit faaliyet bir aracin baslangic pozisyonundan yonunden ve surus hizindan seyahat edilen surenin ve hizin carpimi denklemi kullanilarak ongorulmesidir Bu daha resmen kullanildiginda olu hesaba katilmasi olarak bilinir Bu sekilde matematiksel modelleme mutlaka bicimsel matematik gerektirmez Hayvanlara olu saymayi kullandigi gosterilmistir Nufus artisi Nufus artisinin basit yaklasik olmasina ragmen bir modeli Malthus un buyume modelidir Biraz daha gercekci ve buyuk oranda kullanilan nufus buyume modeli lojistik fonksiyon ve uzantilaridir Nufus artisinin bireysel tabanli hucresel otomata modelleriBir potansiyel alan icindeki bir parcacik modeli Bu modelde bir parcacigi koordinatlarini zamanin bir fonksiyonu olarak veren bir fonksiyon ile modellenen uzayda bir yorungeyi tarif eden bir kutle noktasi olarak goruyoruz Potansiyel alan V R3 R displaystyle V mathbb R 3 rightarrow mathbb R fonksiyonu tarafindan verilir ve bu r R R3 displaystyle mathbf r mathbb R rightarrow mathbb R 3 fonksiyonu yorunge diferansiyel denklemin cozumudur d2r t dt2m V r t xx V r t yy V r t zz displaystyle frac mathrm d 2 mathbf r t mathrm d t 2 m frac partial V mathbf r t partial x mathbf hat x frac partial V mathbf r t partial y mathbf hat y frac partial V mathbf r t partial z mathbf hat z dd Bu asagidaki sekilde de yazilabilir md2r t dt2 V r t displaystyle m frac mathrm d 2 mathbf r t mathrm d t 2 nabla V mathbf r t dd Bu model parcacigin bu modeli kullandigimiz bircok durumda kesinlikle yanlis oldugu bilinen bir nokta kutlesi oldugunu varsayiyor ornegin gezegen hareketinin bir modeli olarak varsayiyor Bir tuketici icin rasyonel davranis modeli Bu modelde bir tuketici 1 2 n etiketli n mal secenekli bir piyasa fiyati p1 p2 pn ile karsi karsiya kaldigini varsayiyoruz Tuketici tukenen emtia x1 x2 xn miktarlarina bagli olarak U temel egilimine sahip bir U ana hatlari sayisal degerleri atadigi anlaminda kardinal olarak kabul edilir Model ayrica tuketicinin bir vektor x1 x2 xn yi U x1 x2 xn yi en yuksege cikaracak sekilde satin almasi icin kullanilan bir butceye M sahip oldugunu varsaymaktadir Bu modelde akilci davranis problemi bir optimizasyon problemi haline gelir yani maxU x1 x2 xn displaystyle max U x 1 x 2 ldots x n dd Tabi i 1npixi M displaystyle sum i 1 n p i x i leq M xi 0 i 1 2 n displaystyle x i geq 0 forall i in 1 2 ldots n dd Bu model genel denge teorisinde ozellikle ekonomik dengesizligin varligini ve Pareto verimliligini gostermek icin kullanilmistir Bununla birlikte bu ozel formulasyonun memnuniyet seviyelerine sayisal degerler atadigi gercegi elestiri kaynagidir ve hatta alay konusu olur Bununla birlikte teorinin onemli bir bileseni degildir ve yine bu bir ideallestirmedir Komsu algilama modeli baslangictaki kaotik mantar agindan gelen mantar olusumunu aciklar Bilgisayar bilimi Bilgisayar Aglarinda modeller veri modelleri yuzey modeli Mekanik roket modelinin hareketi Modelleme gercek dunyadaki bir durumun ilgili yonlerini secmek ve tanimlamak gerekir Ayrica bakinizModeller kuramiKaynakca 1972 Social Sciences as Sorcery ISBN 0 14 021816 5 1984 An Idiot s Fugitive Essays on Science Springer ss 121 7 ISBN 3 540 90703 3 Billings S A 2013 Nonlinear System Identification NARMAX Methods in the Time Frequency and Spatio Temporal Domains Wiley Pyke G H 1984 Optimal Foraging Theory A Critical Review Annual Review of Ecology and Systematics Cilt 15 ss 523 575 doi 10 1146 annurev es 15 110184 002515 11 Eylul 2017 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 26 Aralik 2016 Gallistel 1990 The Organization of Learning Cambridge The MIT Press ISBN 0 262 07113 4 Whishaw I Q Hines D J Wallace D G 2001 Dead reckoning path integration requires the hippocampal formation Evidence from spontaneous exploration and spatial learning tasks in light allothetic and dark idiothetic tests Behavioural Brain Research 127 1 2 ss 49 69 doi 10 1016 S0166 4328 01 00359 X PMID 11718884