Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Bu maddede birçok sorun bulunmaktadır. Lütfen sayfayı geliştirin veya bu sorunlar konusunda bir yorum yapın.
|
Eksiklik Teoremi, Kurt Gödel'in 1931 yılında doktorasında yer verdiği "Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Biçimsel Olarak Karar Verilemeyen Önermeleri Üzerine" başlıklı makalesinde 4. önerme olarak geçer. Sezgisel olarak matematikte belitlere (aksiyom) dayanan her sistemin tutarlı olması dahilinde eksik olması gerektiğini bildirir.
Ünlü Alman matematikçi David Hilbert, matematikteki tüm ispatların, belli bir sabit yöntem veya yöntemler bütünü ile, yani aksiyomatik bir sistem vasıtasıyla, elde edilebileceğini düşünüyordu ve bu doğrultuda çalışmalarına başladı. Temel aritmetikteki tüm doğruları, aksiyomlarından türetebilir ise, matematikteki tüm doğruları da bu aksiyom yapılarından elde edebilecekti.
Hilbert'in çağdaşı olan Gödel bunun olanaksızlığını gösterdi. Bunu kısaca şu şekilde yaptı: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Aynı şekilde G ifadenin değilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formül ile ifade etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak doğruluğu hesaplanabilir ise, G ifadesinin değilinin de doğruluğunun hesaplanabileceğini gösterdi.
Gödel buradan şu iki sonuca varmıştır:
- Ögesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarlı ise eksiksiz değildir.
- Ögesel aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarlılığını sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve işlemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün değildir.
Gödel, bu teoremle Hilbert programı'nda sorduğu "Matematik tam mıdır?" sorusuna hayır yanıtını verir. Hilbert, matematiği paradokslardan ve tutarsızlıklardan kurtarmak amacıyla, sınırlı ve tam bir aksiyomlar kümesi ile tüm mevcut teoremlere sağlam bir zemin kurmayı amaçlamış ve gerçel analiz gibi karmaşık sistemlerin bu zemin üzerine oturmuş daha basit sistemler ile kanıtlanabileceğini önermişti. Tüm matematiğin tutarlılığını basit aritmetiğe indirgemeyi amaçlayan bu çaba, eksiklik teoremi ile boşa çıkmıştır.
İşin ilginç tarafı, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerleştirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çıkartılabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde doğruluğu ya da yanlışlığı ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktır.
Gödel'in ifadesiyle: "Her -tutarlı yinelgen sınıfı K'ya öyle yinelgen r sınıf-imleri tekabül eder ki, bu durumda, ne vGnr ne de ~(vGnr), Flg(K)'ya ait olur (Burada v, r'nin idir)."
Daha sade bir anlatımla, "Sayı kuramının bütün tutarlı ilksavlı formülasyonları karar verilemeyen önermeler içerir."
Bu önermeyi biraz açacak olursak, tutarlı biçimsel bir dizge (sistem) kurallara ve belitlere dayanıyorsa bu dizge kesinlikle karar verilemeyen (ne doğru ne de yanlış olduğu kanıtlanabilen) önermeler içerecektir. Gödel'in ikinci teoremi, her biçimsel dizgenin sayılar kuramına eşbiçimli (izomorfik) olduğunu söyler. Bu durumda bu teoremle, sayı kuramının her formülasyonunun eksik olması gerektiği kanıtlanmıştır.
Bu karar verilemeyen önermeler için en çok bilinen örnekler, sayılar kuramında , geometride , mantıkta 'dur.
Eubulides Paradoksu
En çarpıcı ve yalın olanı Eublides Paradoksu'dur. "Bu önerme yanlıştır" önermesi karar verilemez bir önermedir. Önerme yanlış olduğu varsayılırsa doğru olduğunu ama doğru olduğu varsayılırsa yanlış olduğunu gösteriyor. Bu tür kendi hakkında konuşan önermelere "kendine-göndergeli önerme" terimi ilk Douglas R. Hofstadter 1989'da Türkiye'de Kabalcı yayınlarından çıkan "Gödel, Escher, Bach" kitabında kullanmıştır.
Paralellik Beliti
Pek açık olmayan bir örnek ise . (Öklit) M.Ö. 300'de yazmış olduğu ve hala geçerli olan geometri kitabı Elementlerde tüm geometriyi sezgisel olarak 5 belite dayandırır. Bu 5 belitten sonuncusunun diğer dördünden farklı olduğu göze çarpmış ve matematikçiler bu beliti kanıtlamak için çok uğraşlar vermişlerdir ama kimse başaramamıştır. Daha sonra , ve gizlice Gauss birbirlerinden habersiz bu beş belitin tersinin alınarak da başka bir geometriye ulaşılabileceğini gösterdiler. Belit Playfair'in versiyonuyla "Bir doğrunun dışındaki bir noktadan geçen ve o doğruya paralel olan sadece ve sadece bir doğru bulunur." önermesidir. Bu önermenin tersi olan "... en az iki doğru bulunur" önermesi Hiperbolik geometri (ya da Lobachevsky-Bolyai-Gauss Geometrisi) diye yeni bir geometriye kapı açmıştır.
Bu örnekle Gödel'in bu teoreminin aslında matematikte dizgeleri (sistemleri) dallara ayırarak yeni kapılar araladığı görülebilir.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- Gödel Teoreminin Yapay Zeka Üzerine 24 Mayıs 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu maddede bircok sorun bulunmaktadir Lutfen sayfayi gelistirin veya bu sorunlar konusunda tartisma sayfasinda bir yorum yapin Bu madde Vikipedi bicem el kitabina uygun degildir Maddeyi Vikipedi standartlarina uygun bicimde duzenleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Gerekli duzenleme yapilmadan bu sablon kaldirilmamalidir Subat 2024 Bu maddede kullanilan kirmizi baglantilarin Vikipedi yonergelerine uymadigi dusunulmektedir Bu maddedeki gereksiz kirmizi baglantilari kaldirarak varolan baglanti eklemeye calisin Subat 2024 Bu maddenin daha erisilebilir olmasi icin konusuna gore basliklara bolunmesi gerekmektedir Lutfen Bicem el kitabina uygun bir sekilde bolum baslik ve alt basliklari ekleyerek maddeyi duzenleyin Bu maddenin veya maddenin bir bolumunun gelisebilmesi icin Matematik konusunda uzman kisilere gereksinim duyulmaktadir Ayrintilar icin lutfen tartisma sayfasini inceleyin veya yeni bir tartisma baslatin Konu hakkinda uzman birini bulmaya yardimci olarak ya da maddeye gerekli bilgileri ekleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Subat 2024 Bu maddenin listelenen kaynaklarindan bazilari guvenilir olmayabilir Lutfen daha iyi daha guvenilir kaynaklar arayarak bu maddeye yardimci olun Guvenilir olmayan kaynaklar sorgulanabilir veya silinebilir Subat 2024 Bu sablonun nasil ve ne zaman kaldirilmasi gerektigini ogrenin Bu maddedeki uslubun ansiklopedik bir yazidan beklenen resmi ve ciddi usluba uygun olmadigi dusunulmektedir Maddeyi gelistirerek ya da konuyla ilgili tartismaya katilarak Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Eksiklik Teoremi Kurt Godel in 1931 yilinda doktorasinda yer verdigi Principia Mathematica Gibi Dizgelerin Bicimsel Olarak Karar Verilemeyen Onermeleri Uzerine baslikli makalesinde 4 onerme olarak gecer Sezgisel olarak matematikte belitlere aksiyom dayanan her sistemin tutarli olmasi dahilinde eksik olmasi gerektigini bildirir Unlu Alman matematikci David Hilbert matematikteki tum ispatlarin belli bir sabit yontem veya yontemler butunu ile yani aksiyomatik bir sistem vasitasiyla elde edilebilecegini dusunuyordu ve bu dogrultuda calismalarina basladi Temel aritmetikteki tum dogrulari aksiyomlarindan turetebilir ise matematikteki tum dogrulari da bu aksiyom yapilarindan elde edebilecekti Hilbert in cagdasi olan Godel bunun olanaksizligini gosterdi Bunu kisaca su sekilde yapti Bu onerme ispatlanamaz ifadesini G aritmetik sisteminde formulize etti Ayni sekilde G ifadenin degilini Bu onerme ispatlanabilir de formul ile ifade etti Daha sonra G ifadesinin aritmetik olarak dogrulugu hesaplanabilir ise G ifadesinin degilinin de dogrulugunun hesaplanabilecegini gosterdi Godel buradan su iki sonuca varmistir Ogesel aritmetik iceren aksiyomatik bir sistem tutarli ise eksiksiz degildir Ogesel aritmetik iceren aksiyomatik bir sistemin tutarliligini sistemin kendi icinden sistemin kendi formullerini ve islemlerini kullanarak ispatlamak mumkun degildir Godel bu teoremle Hilbert programi nda sordugu Matematik tam midir sorusuna hayir yanitini verir Hilbert matematigi paradokslardan ve tutarsizliklardan kurtarmak amaciyla sinirli ve tam bir aksiyomlar kumesi ile tum mevcut teoremlere saglam bir zemin kurmayi amaclamis ve gercel analiz gibi karmasik sistemlerin bu zemin uzerine oturmus daha basit sistemler ile kanitlanabilecegini onermisti Tum matematigin tutarliligini basit aritmetige indirgemeyi amaclayan bu caba eksiklik teoremi ile bosa cikmistir Isin ilginc tarafi bu G ifadesi sistemin icine bir aksiyom olarak yerlestirilse bile yeni bir Godel cumlesi cikartilabilir Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim boyle bir sistemde dogrulugu ya da yanlisligi ispatlanamayacak bir Godel cumlesi bulunacaktir Godel in ifadesiyle Her w displaystyle omega tutarli yinelgen sinifi K ya oyle yinelgen r sinif imleri tekabul eder ki bu durumda ne vGnr ne de vGnr Flg K ya ait olur Burada v r nin idir Daha sade bir anlatimla Sayi kuraminin butun tutarli ilksavli formulasyonlari karar verilemeyen onermeler icerir Bu onermeyi biraz acacak olursak tutarli bicimsel bir dizge sistem kurallara ve belitlere dayaniyorsa bu dizge kesinlikle karar verilemeyen ne dogru ne de yanlis oldugu kanitlanabilen onermeler icerecektir Godel in ikinci teoremi her bicimsel dizgenin sayilar kuramina esbicimli izomorfik oldugunu soyler Bu durumda bu teoremle sayi kuraminin her formulasyonunun eksik olmasi gerektigi kanitlanmistir Bu karar verilemeyen onermeler icin en cok bilinen ornekler sayilar kuraminda geometride mantikta dur Eubulides Paradoksu En carpici ve yalin olani Eublides Paradoksu dur Bu onerme yanlistir onermesi karar verilemez bir onermedir Onerme yanlis oldugu varsayilirsa dogru oldugunu ama dogru oldugu varsayilirsa yanlis oldugunu gosteriyor Bu tur kendi hakkinda konusan onermelere kendine gondergeli onerme terimi ilk Douglas R Hofstadter 1989 da Turkiye de Kabalci yayinlarindan cikan Godel Escher Bach kitabinda kullanmistir Paralellik Beliti Pek acik olmayan bir ornek ise Oklit M O 300 de yazmis oldugu ve hala gecerli olan geometri kitabi Elementlerde tum geometriyi sezgisel olarak 5 belite dayandirir Bu 5 belitten sonuncusunun diger dordunden farkli oldugu goze carpmis ve matematikciler bu beliti kanitlamak icin cok ugraslar vermislerdir ama kimse basaramamistir Daha sonra ve gizlice Gauss birbirlerinden habersiz bu bes belitin tersinin alinarak da baska bir geometriye ulasilabilecegini gosterdiler Belit Playfair in versiyonuyla Bir dogrunun disindaki bir noktadan gecen ve o dogruya paralel olan sadece ve sadece bir dogru bulunur onermesidir Bu onermenin tersi olan en az iki dogru bulunur onermesi Hiperbolik geometri ya da Lobachevsky Bolyai Gauss Geometrisi diye yeni bir geometriye kapi acmistir Bu ornekle Godel in bu teoreminin aslinda matematikte dizgeleri sistemleri dallara ayirarak yeni kapilar araladigi gorulebilir Ayrica bakinizTutarlilik Onermeler mantigi Oklid disi geometri ParadoksKaynakcaGodel Teoreminin Yapay Zeka Uzerine 24 Mayis 2005 tarihinde Wayback Machine sitesinde