Bu madde, uygun değildir.Eylül 2018) ( |
Güven aralığı, istatistik biliminde bir için bir çeşit olup bir çıkarımsal istatistik çözüm aracıdır. Bir anakütle parametre değerinin tek bir sayı ile kestirimi yapılacağına, bu parametre değerini kapsayabilecek iki (alt ve üst sınır) sayıdan oluşan bir aralık bulunur. Böylece güven aralıkları bir kestirimin ne kadar güvenilir olduğunu gösterir.
Bulunan aralığın anakütle parametresini içine alıp kapsamasının ne kadar olasılığı bulduğu güven düzeyi veya güven katsayısı ile belirlenir. Bir güven aralığı her zaman, bir yüksek yüzde orantı olarak ifade edilen, bir güven düzeyi ile birlikte verilir; örneğin geleneksel olarak istatistikçiler %99 güven aralığı veya %95 güven aralığı veya %90 güven aralığı şeklinde ifadeler kullanırlar. Bir güven aralığının iki uç (alt ve üst) noktası güven sınırları olarak anılır. Arzu edilen güven düzeyini yükseltmek, güven aralığının genişlemesine yol açar. Herhangi verilmiş bir durumda kullanılan kestirim yöntemi için, güven düzeyi gittikçe büyültülürse, çıkartılan güven aralığı da gittikçe genişleyecektir.
Bir güven aralığının hesaplanması, genel olarak kestirim yönteminin özellikleri hakkında gayet belirli varsayımların yapılmasını gerektirir. Bundan açıktır ki güven aralığı hesaplaması bir aracıdır. Örneğin bir anakütle ortalaması hakkında çıkarım yapmak için örneklem verileri kullanılarak hazırlanan bir anakütle ortalaması güven aralığı kurmak için, örneklemin rastgele olduğunu ve bu rastgele örneklem verilerinin de normal dağılım gösteren bir anakütleden geldiği varsayımı yapılır. Bu nedenle burada incelen güven aralıklarının konumunda olmaları gerekmez; ama herhangi bir güven aralığında belirli bazı değişiklikler yapılarak - yani şekline sokularak - güven aralığına karakteri de kazandırılabilir.
Genel olarak güven aralıkları Neyman–Pearson tipi "çokluluk (frequentist) olasılık" temel teorisine dayanmaktadır. temel teorisi kullanılırsa, benzer bir parametrik çıkarımsal analiz aracı, bir , ortaya çıkartılır. Ancak güven aralığı ve inanılır aralık değişik teorik ve felsefi temellere dayanan kavramlardır ve genellikle aynı verilerden değişik güven ve inanılır aralıkları ortaya çıkartılır. Çoklulukçu objektif ve Bayes tipi subjektif olasılık temel felsefeleri hakkında temelden bir uyuşmazlık olduğu gibi, istatistikçiler arasında güven aralığı veya inanılır aralık kullanılması gereği ve yararlığı hakkında büyük uyuşmazlık bulunmaktadır.
Kavramsal temel
Aralık kestirimleri ile nokta kestirimlerini karşılaştırmakta fayda bulunmaktadır. Bir nokta kestirim ilgi duyulan anakütle parametrenin tahmin değeri olarak verilmiş tek bir sayı değeridir. Buna karşıt olarak, aralık kestiriminde anakütle parametresinin içinde bulunduğu, alt ve üst sınırı sayı değerleri olan bir aralık yayılımı verilir. Kestirimlerin güvenilirliğini daha iyice belirtmek için istatistik çalışmalarda tablolar ve grafiklerde tek bir nokta kestirim değeri yanında bir kestirim aralığı (alt ve üst sınır) değerleri de verilir.
Bir örneğin için bir seçimden önce yapılan bir seçim sondaj sonuçlarının ne kadar güvenilir olduğunu belirlemek istenebilir. Uygun bir seçmen örnekleminde bulunan seçmenlere sorulan bir sorudan bu örnekleme dahil olanların %40'ının belirli bir partiye oy verme kararı olduğu öğrendiği kabul edilsin. Bu örneklem oranı olan %40, anakütle oranı olarak kullanılınca, bu bir nokta kestirim olur ve tüm seçmenlerin %40'ının belirli partiye oy verecekleri kestirimi yapılabilir. Aynı örneklem verileri kullanılarak anakütle belirli partiye oy verenle oranı için "%90 güven aralığı" kurulabilir ve bu aralığın %36 ile %44 arasında olduğu bulunabilir ve "%95 güven aralığı" ise %36 ile %44 olarak elde edilir. Herhangi belirtilmiş bir güven düzeyi için (diğer her şey değişmeden aynı kalırsa) daha az yaygın bir güven aralığı daha çok yaygın bir güven aralığından daha fazla inanılır sonuç verir. Bir güven aralığının yaygınlığına etki eden büyük bir faktör kestirim hesaplanması için kullanılan örneklem büyüklüğüdür; yani örneklemle elde edilen gerçek veri değerlerin kaç tane olduğudur.
güven aralığı kavramını çoklu değişkenli haller değerlerine genelleştirir. Bu güven bölgeleri sadece kestirim hatalarını olasılık derecelerini vermekle kalmazlar ayrıca bir değişken için kestirim değerinin diğer değişken için kestirim değerinden daha fazla veya daha az güvenilir olup olmadığını da gösterirler. Bakınız .
Birçok uygulamalı çalışmalarda %95 güven düzeyi için tek bir güven aralığı göreneksel olarak verilir. Fakat eğer grafikler de verilmekte ise adet olarak birkaç güven düzeyi için (%50, %95, %99) güven aralıkları verilir.
İstatistiksel kuram
Tanımlama
Rassal aralıklar olarak güven aralığı
Güven aralıkları belirli verilmiş veri setine dayanarak hesaplanır. Bir veri seti için tipik gözlemler değerleri x ile ifade edilir ve X aynı anakütleden gözlenmesi mümkün olabilecek sonucu ifade eder. Burada X gerçek sayı değeri x olan bir rassal değişken olur ve X = x ifadesi gözlemlenen bir gerçek sayı değerini ifade eder. Bir güven aralığı bir çift u(.) (alt) ve v(.) (üst) fonksiyonlar ile belirlenir ve belirli bir veri seti için güven aralığı (u(x), v(x)) aralığı ile tanımlanır. Bir güven aralığı tanımını tamamlamak için güven aralığının verdiği aralık kestiriminin konusu olan değer hakkında gayet açık anlayış bulunması gerekmektedir. Bu değerin w olduğu kabul edilsin. u(.) ve v(.) fonksiyonlarını, (u(x), v(x)) aralığını w için en yakın güven aralığı yapabilmek için nitelik, üç-noktalarını rassal değişkenler olarak işlem gören (u(X), v(X)) ile verilen bir seri rassal aralıkların nitelikleriyle ilişkilidir. Bu nitelik wyi de içinde bulunduran rassal aralığın olasılığı c yani
olur ve kapsama olasılığı olarak isimlendirilir.
Burada U = u(X) ve V = v(X) üç noktaları istatistik olurlar yani gerçekte gözlemlenen veri seti değerlerinden ortaya çıkarılmış bir gözlemlenen rassal değişkendirler. Rassal aralık (U, V) olarak ifade edilir.
İstatistiksel çıkarım için güven aralıkları
Yukarıda verilen bilgilerin istatistiksel çıkarım için uygulanır bir yol olması bir başka etaptan da geçmek gereklidir: kestirimi yapılacak miktar ile X sonucunun olasılık dağılımı. Bu olasılık dağılımı bir gözlemlenemeyecek ama kestiriminin yapılması istenen miktar parametresi (theta θ) ile ve diğer gözlemlenemeyecek ama kestiriminin bilinmesi istenmeyen parametreleri temsil eden (phi φ) ile belirlensin. Kestiriminin bilinmesi istenmeyen diğer parametreler φ istatistikte rahatsız edici parametreler olarak isimlendirilir ama bir kenara atılıp göz yumulamaz miktarlardır ve istatistiksel kuramın bunları ele alıp kurama koymak için bir yol bulması gerekir
φ için 0 ile 1 arasında herhangi bir sayı olan α oranda bir güven aralığı şöyle tanımlanır:
ve burada
ve u(X) ve v(X) gözlemlenebilen rassal değişkenler olurlar. Buna göre gözümleyemeyen θe etki yapan gözlemlenmeyen φ parametrelerin değerlerinin bilinmesi, ü(X) ve v(X) değerlerini bilmek için gerekmemektedir.
Bazen bir yüzde olarak ifade edilen 100%·(1 − α) veya (1 − α) sayısı güven düzeyi veya bazen de güven katsayısı olarak isimlendirilir. Burada Prθ,φ olasılık ifadesi ;(θ, φ) ile belirtilen dağılımı olan X rassal değişkeninin olasılığıdır. Bu belirtilmenin önemli bir açıklaması θ parametresinin gerçek doğru değeri ne olursa olsun, (U, V) rassal aralığının θ'nin bilinmeyen değerini yüksek olasılıkla kapsamaktadır.
Dikkat edilmesi gerek bir başka nokta da, Prθ,φ olasılık terimin modeli gayet ayrınıtıl olarak geliştirilmiş olan herhangi birine uyması gerekmemektedir; ama çok kere pratik sorunlarda belirli bir dağılıma uyabilir. Nasıl rassal değişken X, aynı anakütleden ve gerçeğin aynı versiyonundan gelen x için diğer mümkün gerçekleşmeleri temsil ettiğini kabul edersen, benzer açıklamayla (θ, φ) parametreler, X için dağılımların değişik nitelikleri olan değişik gerçek versiyonu ele almamız gerektiğine işaret ettiğini kabul etmek gerekir..
Rassal sonuçlar için güven aralıkları
Güven aralıkları yukarıda belirtildiği gibi sabit değerler için tanımladığı gibi, rassal miktarlar için de tanımlanabilir. (Örneğin ). Bunu yapabilmek için X parametresine istatistiksel bağımsız veya bağımlı olabilen, bir ek tek-değerli bir rassal değişken Y ele almak gerekir. O zaman (u(x), v(x)) aralığını kurmak için kullandığımız kural, eğer
ifadesi gerçek ise, Y parametresinin daha-gözümü-yapılabilecek değeri olan x için bir güven aralığı ortaya çıkarmak mümkündür. Bu şartlı ifadede Prθ,φ (θ, φ) ile belirtilen ve (X, Y) rassal değişkenlerin ortak dağılımını gösterir.
Yaklaşık güven aralıkları
Bazı standart olmayan uygulamalarda, bir güven aralığı kurabilmek için gerekli olan niteliklere tıpatıp uymayan hallere rastlanma mümkündür. Bu hallerde, kurallara uymakla beraber, pratikte yararlı olabilecek yaklaşık güven aralığı bulunabilir. Bir rassal değişken için kapsama olasılığı c(θ, φ)
ile tanımlanır ve eger kabul edilebilir bir yaklaşım düzeyine ulaştığı bilinip kabul edilirse, bir yaklaşık güven aralığı kurabilmek için kullanılacak kural şöyle verilir.
Güven aralıkları ile Bayes tıpı inanılır aralıkların karşılaştırılması
Bayes tıpı güven aralık kestimine ismi verilmektedir. Yukarıda verilenlere uyan bir notasyon kullanırsak, θ parametresini bilinmeyen doğru değeri için bir inanılır aralık tanımlaması şöyledir: Belirli bir α
Burada (küçük theta) Θ bilinmeyen θ parametre değerinin rassal değişken olduğunu vurgulayarak işaret etmek için kullanılmaktadır.
İki değişik tipdeki aralığın tanımlanmalrinin karşılaştırması şöyle yapılabilir:
- Bir güven aralığının tanımlaması verilmiş (θ, φ) için (veya bu değerlere şartlı olarak bağımlı) X için dağılımdan hesaplanmış olasılıkları içerir.
- Bir inanılır aralığın tanımı ise X = x gözümlemmış değerlerinin Φ değerleri üzerinde marjinalize edilmiş (veya ortalaması alınmış) değerlerine şartlı olan Θ parametresinin dağılımından hesaplanmış olasılıkları içerir.
Bu açıklamalarda çok kere rahatsızlık edici parametrelerin ele alınıp incelenmesi bir kenara bırakılmıştır. Ancak bu incelemeler yapılırsa iki değişik aralık şeklinde açıklamaların çok göze çarpar şekilde çok değişik şekilde olacağı bilinmektedir.
Bazı basit standart haller için aynı veriyi kullanarak elde edilen güven aralığı ve inanılır aralık birbiriyle çakışır şekilde birbiriyle aynıdır. Ancak Bayes-tıpı analiz için ya çok ılımlı şekilde veya çok güçlü şekilde kullanılmakta ise, bu iki tip aralık, aynı veri ile her zaman çok değişik sonuç çıkartılacaktır.
Burada Θ notasyonu θ nin bilinmeyen değerIenin bir rassal değişken olarak kabul edildiği gereceğini vurgulamak için kullanılmaktadır. İki tip aralık için tanımlamalar şöyle karşılaştırılabilirler:
- Bir "güven aralığı"nin tanımlanması verilmiş (θ, φ)'e göre (veya bu değerlere koşullu olan) X için dağılım ve bu koşulun (θ, φ) ifadesinin tüm değerleri için gerçek olduğu şartını kullanılarak hesaplanmış olan olasılık değerlerini gerektirir.
- Bir "inanılır aralık" tanımlanması için X = x gözümdenmiş değerleri ve bunların Φ değerlerine göre marginilize edilmesi (veya ortalaması alınması) ile elde edilen değerlerden ortaya çıkartılan olasılık değerlerini gerektirir. Bu Φ, değeri φ "sıkıntı veren parametreleri (nuisance parameters)" olan φ değerlerinin belirsizliğini gösteren rassal değişkendir.
Suna dikkati çekilmelidir ki güven aralığı ve inanılır aralıkların karşılaştırılmalarının ele alındığı birçok kaynakta "sıkıntı veren parametreleri (nuisance parameters)" hakkında hiçbir bilgi verilmemektedir; ama bu parametrelerin ele alınması iki yöntemde değişiktir ve değişik yaklaşım gösterilmesini gerektirmektedir
Bazı standart hallerde, "güven aralığı" ve "inanılabilir aralık" yaklaşımları kullanılarak ortaya çıkartılan aralıklar tıpatıp ayni değerlerde olabilirler. Fakat eğer için kullanılan cok guclu veya orta güçlü ise bu iki yaklaşıma göre çıkartılan iki aralık değişik değerlerde olacaktır.
Arzu edilir nitelikleri
Standart istatistiksel yordamlar kullanılmakta iken çok kere güven aralıkları kurmak için özel standart yordamlar kullanılır. Bu yordamlar, eğer yordamın temelinde olan varsayımlara gerçekte de doğru olduğu bilinirse, arzu edilen önceden belirlenmiş bazı nitelikleri karşılamak üzere tasarlanmıştır. Bu arzu edilen nitelikler şunlardır: geçerlilik, optimallik ve değişmezlik. Bunlar arasında en önemlisi geçerlilik olup bunu yakından optimallik takip etmektedir. Değişmezlik genellikle aralığı kurmak için bir kural olmayıp daha çok bir güven aralığını teorik bakımdan ortaya çıkartmak için yöntemin bir niteliğidir. Bu arzu edilen nitelikler standart olmayan güven aralıkları için de aynen geçerlidir.
- Geçerlilik: Bu nitelik güven aralığı için kapsama olasılığının (güven düzeyinin) ya tıpatıp gerçek olması veya iyi bir yaklaşım olarak gerçek olmasıdır.
- Optimallik: Bu nitelik güven aralığının kurulması kurallarının veri setinin kapsadığı enformasyonun mümkün olan en çoğunun kullanılmasıdır. Örneklem veri setinin hemen hemen yarısını bir kenara bırakarak sadece kalan kısmı ile bile bir güven aralığının kurulması mümkün olacağı yukarıdaki açıklamadan bilinmektedir. Optimalilik niteliği hakkında yargıya varmak için bir usul aralığın uzunluğunu yargı kriteri olarak kullanmaktır. Kurulan bir aralık kurulabilen diğer aralıklardan tipik olarak daha dar ise, o aralık diğerlerine nazaran optimallik kriterine daha uygun olduğu kabul edilebilir.
- Değişmezlik: Birçok pratik uygulama için kestirimi yapılacak miktar çok iyice tanımlanmadığı bilinmektedir. Örneğin bir anakütle nüfus için medyan geliri bulmak için bir sondaj örneklem bulunduğu kabul edilsin. Fakat gelirleri açıklamak için kullanılan garfiksel istatistik araçlarında kullanılan ölçek gerçek gelir değil gelirin logarıtmasıdır. Bu nedenle elde edilecek anakütle gelir sonucunun gerçek değil gelirin logarıtması olarak kestirmi yapılması ve güven aralığın tespit edilmesi de uygun bir usul olabilir. Değişmezlik arzu edilen niteliği uygulanırsa hem medyan gelirlerle kurulan bir güven aralığı ve hem de medyan gelirlerin logarıthmaları ile kurulan ve alt ve üst üç aralık noktaları gelir logarıtması olarak ifade edilen güven aralığı kurma sonuçlar için aynı derecede uygundurlar.
Elde edilme yöntemleri
Standart olmayan uygulamalar için güven aralığı kurmak için bir kural ortaya çıkarmak için çeşitli değişik yollara başvurmak mümkündür. Kabul edilmiş standart yordamları çeşitli değişik yollarla açıklanamak ve kanıtlamak imkânı vardır. Tıpık olarak güven aralığı kurmak için bir kural incelenmekte olan miktar için bir bulmak için kullanılan özel üzüle yakından bağlıdır.
- İstatistik: Bu kestirim için kullanılan yakından bağlıdır. Basit bir örneğin kestirimi yapılması gereken miktarın anakütle ortalaması olsun; bu halde doğa bir kestirim örneklem ortalaması olur. Yine bir örneklem ortalaması için dağılım varyansının kestirimi için örneklem varyansının uygun olduğu kabul edilmektedir. Doğru anakütle ortalaması için güven aralığı olarak, örneklem ortalamasını merkez alarak aralığın genişliğinin örneklem varyasının kare kökünün bir sabitle çarpımıyla elde edilen çok basit ve naif bir aralık kurabiliriz.
- Olabilirlilik kuramı: Eğer kestirimler maksimum olabilirlik prensibi kullanılarak kurulmuşsa, bu kavramın temelindeki kurama göre kestirmler için güven aralıkları veya güven bölgeleri kurmak için iki değişik yol bulunurur,
- Kestirmci denklemler:Bu halde kestirim yaklaşımı, hem momentler yönteminin genelleştirilmesinden ve hem de maksimum olabilirlik prensibi genelleştirmesinden ortaya çıktığı kabul edilir. Maksimum olabilirlik teorisinin bazı genelleştirilmeleri ile elde edilen sonuçlar kullanılarak ortaya çıkarılan güven aralıklarının bu sonuçlara da uygun olduğu kabul edilmesi neticesi yaratabilir.
- " suretiyle": Eğer bir parametrenin genel değerleri için anlamlılık hipotez tezleri kullanmak mümkünse, o zaman güven aralıkları/bölgeleri, doğru değerin sıfır hipotezinde verilen verilen değere eşitliliği (1-p) anlamlılık seviyesinde bir hipotez sınama sonucu olarak retedilmeyen her bir noktayı %100p güven bölgesi içine alarak kurulur.
Örnekler
Pratik bir örnek
Bir firma ürettiği margarini paketlemek için margarini küçük plastik kaplara dolduran bir makine kullanmaktadır. Bu makine her bir plastik kaba 250g margarin doldurmak üzere ayarlanmıştır. Ancak gerçekte doldurulan her bir kabın muhteviyatı tıpatıp 250g olmayıp bu miktardan ufak farklar göstermektedir. Gerçek muhteviyat bu nedenle rassal değişken X olarak alınabilir. Makinanın ayarının istenilir şekilde olması için muhteviyat rassal değişkeni X, 250g ortalama etrafında ve 2,5g. standart sapma gösteren bir normal dağılıma uyması uygun olduğu kabul edilsin. Bu makinanın ayarının istenilene uygun olup olmadığını belirlemek için gerçekte üretilen dolu plastik kaplardan rastgele bir örneklem alınmıştır ve bunların muhteviyatı ölçülmüştür. Bu rastgele örneklem büyüklüğü n = 25 olsun. Rassal değişken X için bu örneklem değerleri X1, ..., X25 olur.
X için beklenen değer yani normal dağılım parametresi olan anakütle ortalaması μ olsun. Bunun bir uygun elde edilen örneklem ortalamasıdır; yani
Bu 25 kaptan oluşan örneklem için gerçek muhteviyat ağırlıkları x1, ..., x25 olarak ifade edilir ve bunların ortalaması (yani örneklem ortalaması) şöyle bulunur:
Bulunan 250,2 örneklem ortalaması anakütle ortalaması μ için bir olarak kabul edilebilir. Fakat bilinmektedir ki başka birkaç 25 büyüklükte rastgele örneklem seçilirse örneklem ortalamalar (diyelim) 250,4 veya 251,1 olabilir ama bu örneklem ortalamasının 280 gm olmasının olasılığı çok küçüktür. Gerçekte gözlemlenen kestirim değeri olan 250,2 gm etrafında bir aralık bulunduğu ve eğer gerçek anakütle ortalaması bu aralık içine düşerse, gözlemlenen verinin ender bir şekilde istenilenden değişik olmayacağı kabul edilebilir. Bu türlü aralığa μ parametresi için "güven aralığı" adı verilir. Bu aralığı nasıl hesaplayabiliriz? Aralığın alt ve üst uç noktaları bulmak için elimizde bulunan örneklem verilerini kullanabilir. Böylece aralık uç noktaları bir "istatistik" olurlar; ve X1, ..., X25 örnekleminin fonksiyonu olurlar ve bunlar da rassal değişkenler olurlar.
Elimizdeki problemde anakütle ağırlıkları normal dağılım gösterdiği için örneklem ortalaması da normal dağılım gösterir ve bu örneklem ortalaması normal dağılımı için beklenen değer μ ve standart hatası σ/√n = 0.5 (gram) olur. Böylece örneklem ortalama değerini standardize edebilip z-değerini şöyle bulabiliriz:
Bu ifade içinde kestirimi yapılmak istenen μ parametresine bağlıdır ama bu standart normal dağılım μ parametresine bağımlı değildir. Bu nedenle μ değerinden bağımsız olan ve Z değişkeninin, ne kadar güvenimiz olmasını istediğimizi bildirip ölçen 1 − α, olasılığı ile arasında bulunduğu −z ve z sayılarını bulmak mümkündür. Bu hal için 1 − α = 0.95 olmasını kabul edelim yani
Şu yığmalı dağılım fonksiyonu bulunur
kullanarak z sayısı şöyle bulunur:
Bu sonuç şöyle yorumlanabilir: 0,95 olasılık ile μ parametresinin
ve
stokastık uç noktaları arasında olduğuna dair bir güven aralığı bulunmaktadır.
Bu yorumda şuna dikkati çekmek gerekir: Burada μ parametresinin hesaplanan aralığın içine düşmesinin olasılığı 0,95 olduğu ifade edilmemektedir. Elde edilen güven aralığı şöyle açıklanmaktadır. Her zaman yeni ölçüler alınması tekrarlanınca yeni bir örneklem için ortalama değeri bulunur ve yeni bir güven aralık üç değerleri elde edilebilir. Bu tekrarlama ile elde edilen aralıkların %95ı anakütle μ değerini içinde bulunduracak ve %5 μ değerini ihtiva etmeyecektir.
Buna göre güven aralıkları ortaya çıkartılan -z ve z değerleri formülüne konularak elde edilir. Bundan dolayısı margarın kabı doldurma makinası için anakütle ortalama muhteviyat ağırlığı için %95 güven aralığı şöyle elde edilir:
Parametre μ için istenilen 250gm değeri hesaplanan güven aralığı içinde bulunduğu için, makinenin ayarının bozuk olduğuna inanmaya neden bulunmamaktadır.
Hesaplanan aralık için, μ değeri içinde bulunsa da bulunmasa da, sabit alt ve üst üç değerleri bulunmaktadır. Böylece μnin güven aralığı içinde bulunma olasılığı ya (aralık içinde ise) 1 olur ya da (aralık dışında ise) 0 olur. Bu nedenle güven aralığı kavramı için "parametre μ değerinin güven aralığı içinde bulunma olasılığı (1 − α) olur", şeklinde açıklama yapmak hatalıdır. Yani güven aralığı ve ilişkili güven düzeyi olasılık değerleri değildirler. Güven aralığı tekrar edilen örneklem alınmaları ve her bir örneklem için güven aralıkları hesaplanması halinde bu aralıkların %100(1 − α) oranının parametre μ değerini ihtiva edeceğini bildirmektedir. Bu halde hesaplanan aralıkların %100α oranı parametreyi ihtiva etmeyecektir. Ne yazıktır ki elde edilen örneklemlerin hangisinin güven aralığının parametreyi ihtiva edeceğini bilmemize ve kestirebilmemize imkân yoktur. Bunun için güven aralığı açıklaması "%100(1 − α) güven düzeyi ile μ değeri güven aralığı içinde bulunacaktır" şeklinde yapılmaktadır.
Kenarda verilen gösterim bir simülasyon sonucu vermektedir ve 50 simülasyon gerçekleşmesi için hesaplanıp elde edilen 50 güven aralığının verilen bir düzey doğru olarak verilen μ anakütle ortalama değerini ihtiva edip etmediğini göstermektedir. Eğer rastgele tek bir simülasyon gerçekleşmesi seçersek parametreyi ihtiva edecek bir aralığı seçmemizin olasılığı %95'tir; ancak kader kısmet olarak parametreyi ihtiva etmeyen bir gerçekleşmeyi seçme de mümkündür. Bunun hangisinin gerçeğe çıkacağını bilmemizin imkâni ihtimali yoktur; elimizde bildiğimiz sadece bir güven aralığı vardır!!
Kavramsal örnek
İstatistiksel anakütle parametreleri ortalaması μ ve varyansi σ2 olan normal dağılımlı bir anakütleden gelen n büyüklüğünde bir rastgele örnekleme seçelim ve her biri diğerinden Bağımsız olan örneklem değerlerinin X1, ..., Xn olarak bulunduğunu kabul edelim.
Bu elde edilen veri değerlerinden "örneklem ortalaması" ve "örneklem varyansı" şöyle bulunur:
O zaman
ifadesi "serbestlik derecesi" n − 1 olan belirli bir Student'in t dağılımı gösterir. Bu ifadede dikkat edilecek nokta T dağılımı ifadesinin gözlemlenemez μ ve σ2; değişkenlerini içinde bulundurmamasıdır.
μ için %90 bir güven aralığı hesaplamak istediğimizi kabul edelim. Bu dağılımın %95 yüzdebirliği c ile ifade edilirse
olur. T nin −c altında bulunması için olasılık %5dir ve +c üstünde olması da %5dır. Böylece T nin −c ve +c sınırları arasına düşme olasılığı %90'dır.
Böylece
olur ve μ için bir teorik (stokastık) %90 güven aralığı elde edilmiş olur.
Örneklemi gözümledikten sonra : için ve S için s değerleri hesaplanabilir. Bunlardan şu güven aralığı hesaplanır:
ve bu sabit üç noktaları olan bir aralıktır. μ bu güven aralığı içindedir veya içinde değildir ve bu aralığın μ parametresini içine alma olasılık değeri hakkında daha başka hiçbir şey söyleme imkânımız bulunmamaktadır.
Ortalama için yaklaşık güven aralığı
Anakütle için rassal değişken olan sayılar bir normal dağılım göstermiyorlarsa da bir anakütle ortalaması için yaklaşık güven aralığı kurmak merkezsel limit teoremi kullanarak mümkün olabilir. Bu yaklaşık sonuca varmak için kullanılan 'nün hacminin büyük olması gerekmektedir.
Bu yaklaşık güven aralığı elde etmek için kullanılan formüller gerçekte normal dağılım gösteren anakütleden alınan örneklem verileri için kullanılan formüller ile aynıdır ve çıkartılan yaklaşık güven aralığının yorumlanıp açıklanması aynı şekilde yapılır. Bulunan yaklaşık güven aralığı, eğer anakütle dağılımı hemen hemen normal dağılıma yakın şekilde ise yahut yığmalı dağılım fonksiyonu hiç kesiklikler göstermiyorsa veyahut dağılımın çarpıklıgı pek az ise nispeten küçük sayıda örneklem veri seti elde edilerek uygulanıp kullanılması tavsiye edilmektedir.
Hipotez sınamasına ilişkisi
Güven aralığı kavramı ve istatistiksel kavramının dayandıkları temel varsayımlara ve elde edilen sonuçlara değişiktir. Bu nedenle bu iki çıkartımsal istatistik yöntemlerinin kavramsal olarak ayrı tutulmaları gerekmektedir.
Ancak bu iki değişik yöntem birbirleriyle bazı anlamda bağlantı göstermekte ve bir sınıra kadar birbirini tamamlayıcı görünmektedir. Her türlü güven aralığı böyle kurulmamakla beraber, genellikle bir %100(1−α) güven aralığı için kurma yordamı, θ=θ<şub>0</şub> hipotezinin sınanması sırasında bütün %100α anlamlılık seviyesinde ret edilmeyen θ<şub>0</şub> değerlerinden oluşur. Bu türlü yaklaşım her zaman geçerli olmayabilir; çünkü bu pratikte her zaman uygun bir hipotez sınanmasının elimizde bulunacağını önceden varsaymaktadır. Ama böyle bir hipotez sınanması mevcutsa, bu sınanma için yapılması gereken varsayımların da güven aralığı için de aynen geçerli olması olması gereklidir.
Bir güven aralığının içinde bulunan parametre değerlerinin bir hipotez sınaması ile ret edilmeyen değerlerle genel olarak eşdeğerli olduğunu kabul etmek elverişli bir yaklaşım olabilir; ama bu türlü varsayımı yapmak çok tehlikelidir. Birçok hallerde elde edilen güven aralıkları tam teoriye uyan değerler değil yaklaşık ve ancak genellikle uygun olan değerlerden oluşur ve çok kere "artı veya eksi stardart hatanın bir veya iki misli" şeklinde yaklaşık genellemelerden başka bir şey değildirler; bu genellemelerin güya ilişkili olduğu kabul edilen hipotez sınamalarına nesil bir etki yapacağı ve bu etkinin miktarı ve yönü bilinmemektedir.
Anlamı ve açıklaması
Olasılığın çokluluk temeline bağlı olduğu teorisini kabul edenler için güven aralığı çeşitli değişik şekillerde yorumlamak mümkündür:
- Güven aralığı örneklemler, daha kesin bir ifade ile (tekrar tekrar arkaarkaya alınan) örneklemler, ile ifade edilebilirler: Cox ve Hinkley "Eğer bu prosedür çoklu sayıda örneklemekle ile çok defa tekrar edilebilseler, (her bir örneklem için değişen) hesaplanmış güven aralığı doğru anakütle parametresini %90 defa kapsayacaktır. ef>Cox, D.R ve Hinkley DV. (1974) Theoretical Statistics, Londra:Chapman and Hall, (İngilizce) say. 49, 209</ref> Kendall ve Stuart bunun aynı anakütleden tekrar tekrar örneklem alma manası olmadığına ve gerekenin sadece teker ve tekrar örneklme alınması gerektiğine işaret etmektedirler.
- Güven aralığı kavramı şöyle açıklanabilir: Cox ve Hinkley'in bir başka yaklaşımı ile "Güven aralığı, bir anakütle parametresinin, %10 anlamlılık derecesinde istatistiksel olarak anlamlı olmayan parametre gerçek değeri ile gözlemlenen kestirim değer farklarının değerlerini temsil eder."
". Bu gerçekten bir güven aralığının kurulmasında kullanılacak özel bir yordamı anlatmaktadır.
- Bir güven aralığına ilişkili olan olasılık bir deneyden-önce görüş açısından ele alınabilir yani üzerinde çalışma yapılan nesnelere tatbik edilen rastgele sağlamalar olarak görülebilir. Bu halde deneyi yapan, önce bir güven aralığı hesaplamayı tasarladığı ve gerçek deneyi yapmaya başlamadan bu aralığın doğru bilinmeyen değeri kapsaması için belirli riskin hesaplanması için kullanılacak bir güven aralığı kurduğu kabul edilmektedir. Bu yukarıda verilen "tekrar edilen örneklemler" yaklaşımına yakındır; ama özellikle gerçekte tekrarlamanın imkânsız olduğu hallerde (örneğin örneklem alıp ölçmenin örneklemi imha etmeyle sonuçlanması) örneklem alma prosedürünün tekrarlamasını teorik varsayımını bir kenara etmektedir.
Yukarıda verilen açıklamalarını bir ortak yanı şudur: Eğer parametrenin doğru değeri hesaplandıktan sonar %90 güven aralığı dışında kalmaktaysa, o zaman şansa dayalı olarak %10 (veya daha az) olasılığı olan bir olay ortaya çıkmıştır.
"Güven" sözcüğünün istatistiksel anlamı
Alternatifler ve tenkitler
Güven aralığı içinde bir yöntemdir ve "çokluluklu" olasılığı temel alan istatistik pratikte popüler olarak kullanıldığı için en çok kullanılan aralık kestirmi yöntemidir. Bu yöntemin amacı anakütle parametresinin kestirmidir. Çokluluk olasılık temeline bağlı istatistik yöntemlerinde parametre kestirimi yapılacağına gelecekte ortaya çıkabilecek örneklemlerin sonucunun kestirmi de yapılma hedef alınabilir ve o zaman kurmak gerekir. Eğer olasılık temelinde olduğu kabul edilirse aralık kestirimi için kullanılır.
Bu yöntemlerin hangisi kullanılırsa en kullanışlı sonuçların ortay çıkacağı çok tartışmalıdır. Bu üç değişik aralık kestiriminin matematik temelleri üzerinde tartışma bulunmaz ve her ucu de geçerli matematik kullanılarak ortaya çıkartılmıştır ve eğer matematik doğru kullanılmakta ise aynı veri setinden üç değişik matematiksel aralık bulmak mümkündür, Tartışma olasılık kavramının temelinin ne olduğuna dairdir ve daha çok felsefi anlaşmazlıklara dayanır.
Bayes tıpı olasılık temeli felsefesine dayanan istatistikçiler, bir ortaya çıkarılınca, bu güven aralığını kestirim aralığı inançlılar gibi "ben bundan sonraki örneklemdem çıkarılam ortalama kestirimim (diyelim) %90 olasılıkla bu aralık içine düşeceğini tahmin ediyorum" demeyip "parametrenin gerçekte bu aralığa düşmesi için benim bilgi "inanç" düzeyim %90'dır" derler.
Güven aralıkları temellerinde olasılıktan çıkartıldığı için normal olasılık yasalarına uymaları gerekir. Eğer birkaç, her biri bağımsızlık varsayıma uyarak hesaplanmış, değişik istatistik ve her birine ait güven aralığı verilirse ya bu bağımsızlık varsayımına uymak gerekir; uyulma kabul edilmezse yapılan hesaplar geçersiz hale gelir. Eğer bir örneklem için birkaç değişik güven aralığı hesaplanmış olup da bunlarda en dar olanını kabul etmek istenirse, bu geçerli bir tutum değildir çünkü bu seçim yapılması halinde yapılan hesaplar geçerli güven aralıkları vermez. Bu seçimi yapmak olasılığı değiştirir ve gerçek aralığı genişletir ve bunun ne kadar olacağını tahmin etmek imkânsızdır.
Bu problem eğer güven aralığı seçmek hipotez sınaması analizi içinde kullanılırsa özellikle önem kazanır. Onun için, bazılarına göre güven aralıklarının hipotez sınaması için kullanılması uygun görülür şeklinde ifadeler bulunmakla beraber, bu açıklama hipotez sınaması için değişik bir yöntem ve değişik bir yorum kullanılması gerektiğine işaret eder.
Oranlar için güven aralıkları ve ilişkili nicelikler
Ayrıca bakınız
Online hesaplayıcılar
- TAMU güven aralığı hesaplayıcıları 15 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce) (Erişme:24.4.2010)
- GraphPad Çabuk hesaplayıcısı 30 Nisan 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce) (Erişme:24.4.2010)
Dipnotlar
- ^ Örneğin biyoistatistik çalışmaları için uygulamada. Kaynak: Zar, J.H. (1984) Biostatistical Analysis. Prentice Hall International, New Jersey. pp 43–45
- ^ Bernardo J.E ve Smith, Adrian (2000) Bayesian theory, New York:Wiley say.259 (İngilizce)
- ^ Bu büyük örneklem büyüklüğü için 20. yüzyılda örneklem veri setinin 30 veya daha büyük sayıda olması yeterli bulunmakta olduğu kabul edilmekteydi. Fakat 2000'li yıllarda bu yaklaşık güven aralığı (ve hipotez sınaması için) 30 sayısının her zaman yeterli olmadığı yapılan kompüter simülasyonu ile gösterilmiştir. Böylece "merkezsel limit teoremi" uygulaması için ekstradan şartlar bulunması gereği ortaya çıkmaktadır.
- ^ Kendall, M.G. ve Stuart, D.G. (1973)The Advanced Theory of Statistics. Vol 2: Inference and Relationship, Londra:Griffin,. Kısım 20.4
- ^ Cox,D.R. ve Hinkley D.V. (1974) Theoretical Statistics, Londra:Chapman ve Hall, say.214, 225, 233
- ^ (1937) "Outline of a Theory of Statistical Estimation Başed on the Claşsıcal Theory of Probabılıty", Philosophical Transactions of the Royal Society of London A, 236, 333–380.
Kaynakça
- İngilizce Wikipedia "Confidence intervals" maddesi: [1] 9 Nisan 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce) (Erişme:24.4.2010)
- İngilizce "Usable Statististics" websitesinde kendikendine ogrenme için "Introduction to Confidence intervals" maddesi: [2] 27 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce) (Erişme:24.4.2010)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu madde Vikipedi bicem el kitabina uygun degildir Maddeyi Vikipedi standartlarina uygun bicimde duzenleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Gerekli duzenleme yapilmadan bu sablon kaldirilmamalidir Eylul 2018 Guven araligi istatistik biliminde bir icin bir cesit olup bir cikarimsal istatistik cozum aracidir Bir anakutle parametre degerinin tek bir sayi ile kestirimi yapilacagina bu parametre degerini kapsayabilecek iki alt ve ust sinir sayidan olusan bir aralik bulunur Boylece guven araliklari bir kestirimin ne kadar guvenilir oldugunu gosterir Bulunan araligin anakutle parametresini icine alip kapsamasinin ne kadar olasiligi buldugu guven duzeyi veya guven katsayisi ile belirlenir Bir guven araligi her zaman bir yuksek yuzde oranti olarak ifade edilen bir guven duzeyi ile birlikte verilir ornegin geleneksel olarak istatistikciler 99 guven araligi veya 95 guven araligi veya 90 guven araligi seklinde ifadeler kullanirlar Bir guven araliginin iki uc alt ve ust noktasi guven sinirlari olarak anilir Arzu edilen guven duzeyini yukseltmek guven araliginin genislemesine yol acar Herhangi verilmis bir durumda kullanilan kestirim yontemi icin guven duzeyi gittikce buyultulurse cikartilan guven araligi da gittikce genisleyecektir Bir guven araliginin hesaplanmasi genel olarak kestirim yonteminin ozellikleri hakkinda gayet belirli varsayimlarin yapilmasini gerektirir Bundan aciktir ki guven araligi hesaplamasi bir aracidir Ornegin bir anakutle ortalamasi hakkinda cikarim yapmak icin orneklem verileri kullanilarak hazirlanan bir anakutle ortalamasi guven araligi kurmak icin orneklemin rastgele oldugunu ve bu rastgele orneklem verilerinin de normal dagilim gosteren bir anakutleden geldigi varsayimi yapilir Bu nedenle burada incelen guven araliklarinin konumunda olmalari gerekmez ama herhangi bir guven araliginda belirli bazi degisiklikler yapilarak yani sekline sokularak guven araligina karakteri de kazandirilabilir Genel olarak guven araliklari Neyman Pearson tipi cokluluk frequentist olasilik temel teorisine dayanmaktadir temel teorisi kullanilirsa benzer bir parametrik cikarimsal analiz araci bir ortaya cikartilir Ancak guven araligi ve inanilir aralik degisik teorik ve felsefi temellere dayanan kavramlardir ve genellikle ayni verilerden degisik guven ve inanilir araliklari ortaya cikartilir Coklulukcu objektif ve Bayes tipi subjektif olasilik temel felsefeleri hakkinda temelden bir uyusmazlik oldugu gibi istatistikciler arasinda guven araligi veya inanilir aralik kullanilmasi geregi ve yararligi hakkinda buyuk uyusmazlik bulunmaktadir Kavramsal temelBu cubuklarin usteki uclari gozlem ortalamalarini ve kirmizi dogru parcalari ise bunlari kapsayip icine alan guven araliklarini gosterir Aralik kestirimleri ile nokta kestirimlerini karsilastirmakta fayda bulunmaktadir Bir nokta kestirim ilgi duyulan anakutle parametrenin tahmin degeri olarak verilmis tek bir sayi degeridir Buna karsit olarak aralik kestiriminde anakutle parametresinin icinde bulundugu alt ve ust siniri sayi degerleri olan bir aralik yayilimi verilir Kestirimlerin guvenilirligini daha iyice belirtmek icin istatistik calismalarda tablolar ve grafiklerde tek bir nokta kestirim degeri yaninda bir kestirim araligi alt ve ust sinir degerleri de verilir Bir ornegin icin bir secimden once yapilan bir secim sondaj sonuclarinin ne kadar guvenilir oldugunu belirlemek istenebilir Uygun bir secmen ornekleminde bulunan secmenlere sorulan bir sorudan bu ornekleme dahil olanlarin 40 inin belirli bir partiye oy verme karari oldugu ogrendigi kabul edilsin Bu orneklem orani olan 40 anakutle orani olarak kullanilinca bu bir nokta kestirim olur ve tum secmenlerin 40 inin belirli partiye oy verecekleri kestirimi yapilabilir Ayni orneklem verileri kullanilarak anakutle belirli partiye oy verenle orani icin 90 guven araligi kurulabilir ve bu araligin 36 ile 44 arasinda oldugu bulunabilir ve 95 guven araligi ise 36 ile 44 olarak elde edilir Herhangi belirtilmis bir guven duzeyi icin diger her sey degismeden ayni kalirsa daha az yaygin bir guven araligi daha cok yaygin bir guven araligindan daha fazla inanilir sonuc verir Bir guven araliginin yayginligina etki eden buyuk bir faktor kestirim hesaplanmasi icin kullanilan orneklem buyuklugudur yani orneklemle elde edilen gercek veri degerlerin kac tane oldugudur guven araligi kavramini coklu degiskenli haller degerlerine genellestirir Bu guven bolgeleri sadece kestirim hatalarini olasilik derecelerini vermekle kalmazlar ayrica bir degisken icin kestirim degerinin diger degisken icin kestirim degerinden daha fazla veya daha az guvenilir olup olmadigini da gosterirler Bakiniz Bircok uygulamali calismalarda 95 guven duzeyi icin tek bir guven araligi goreneksel olarak verilir Fakat eger grafikler de verilmekte ise adet olarak birkac guven duzeyi icin 50 95 99 guven araliklari verilir Istatistiksel kuramTanimlama Rassal araliklar olarak guven araligi Guven araliklari belirli verilmis veri setine dayanarak hesaplanir Bir veri seti icin tipik gozlemler degerleri x ile ifade edilir ve X ayni anakutleden gozlenmesi mumkun olabilecek sonucu ifade eder Burada X gercek sayi degeri x olan bir rassal degisken olur ve X x ifadesi gozlemlenen bir gercek sayi degerini ifade eder Bir guven araligi bir cift u alt ve v ust fonksiyonlar ile belirlenir ve belirli bir veri seti icin guven araligi u x v x araligi ile tanimlanir Bir guven araligi tanimini tamamlamak icin guven araliginin verdigi aralik kestiriminin konusu olan deger hakkinda gayet acik anlayis bulunmasi gerekmektedir Bu degerin w oldugu kabul edilsin u ve v fonksiyonlarini u x v x araligini w icin en yakin guven araligi yapabilmek icin nitelik uc noktalarini rassal degiskenler olarak islem goren u X v X ile verilen bir seri rassal araliklarin nitelikleriyle iliskilidir Bu nitelik wyi de icinde bulunduran rassal araligin olasiligi c yani c Pr u X lt w lt v X displaystyle c Pr u X lt w lt v X olur ve kapsama olasiligi olarak isimlendirilir Burada U u X ve V v X uc noktalari istatistik olurlar yani gercekte gozlemlenen veri seti degerlerinden ortaya cikarilmis bir gozlemlenen rassal degiskendirler Rassal aralik U V olarak ifade edilir Istatistiksel cikarim icin guven araliklari Yukarida verilen bilgilerin istatistiksel cikarim icin uygulanir bir yol olmasi bir baska etaptan da gecmek gereklidir kestirimi yapilacak miktar ile X sonucunun olasilik dagilimi Bu olasilik dagilimi bir gozlemlenemeyecek ama kestiriminin yapilmasi istenen miktar parametresi theta 8 ile ve diger gozlemlenemeyecek ama kestiriminin bilinmesi istenmeyen parametreleri temsil eden phi f ile belirlensin Kestiriminin bilinmesi istenmeyen diger parametreler f istatistikte rahatsiz edici parametreler olarak isimlendirilir ama bir kenara atilip goz yumulamaz miktarlardir ve istatistiksel kuramin bunlari ele alip kurama koymak icin bir yol bulmasi gerekir f icin 0 ile 1 arasinda herhangi bir sayi olan a oranda bir guven araligi soyle tanimlanir u X v X displaystyle u X v X ve burada Pr8 f u X lt 8 lt v X 1 a for all 8 f displaystyle Pr theta varphi u X lt theta lt v X 1 alpha text for all theta varphi ve u X ve v X gozlemlenebilen rassal degiskenler olurlar Buna gore gozumleyemeyen 8e etki yapan gozlemlenmeyen f parametrelerin degerlerinin bilinmesi u X ve v X degerlerini bilmek icin gerekmemektedir Bazen bir yuzde olarak ifade edilen 100 1 a veya 1 a sayisi guven duzeyi veya bazen de guven katsayisi olarak isimlendirilir Burada Pr8 f olasilik ifadesi 8 f ile belirtilen dagilimi olan X rassal degiskeninin olasiligidir Bu belirtilmenin onemli bir aciklamasi 8 parametresinin gercek dogru degeri ne olursa olsun U V rassal araliginin 8 nin bilinmeyen degerini yuksek olasilikla kapsamaktadir Dikkat edilmesi gerek bir baska nokta da Pr8 f olasilik terimin modeli gayet ayrinitil olarak gelistirilmis olan herhangi birine uymasi gerekmemektedir ama cok kere pratik sorunlarda belirli bir dagilima uyabilir Nasil rassal degisken X ayni anakutleden ve gercegin ayni versiyonundan gelen x icin diger mumkun gerceklesmeleri temsil ettigini kabul edersen benzer aciklamayla 8 f parametreler X icin dagilimlarin degisik nitelikleri olan degisik gercek versiyonu ele almamiz gerektigine isaret ettigini kabul etmek gerekir Rassal sonuclar icin guven araliklari Guven araliklari yukarida belirtildigi gibi sabit degerler icin tanimladigi gibi rassal miktarlar icin de tanimlanabilir Ornegin Bunu yapabilmek icin X parametresine istatistiksel bagimsiz veya bagimli olabilen bir ek tek degerli bir rassal degisken Y ele almak gerekir O zaman u x v x araligini kurmak icin kullandigimiz kural eger Pr8 f u X lt Y lt v X 1 a her 8 f icin displaystyle Pr theta varphi u X lt Y lt v X 1 alpha text her theta varphi text icin ifadesi gercek ise Y parametresinin daha gozumu yapilabilecek degeri olan x icin bir guven araligi ortaya cikarmak mumkundur Bu sartli ifadede Pr8 f 8 f ile belirtilen ve X Y rassal degiskenlerin ortak dagilimini gosterir Yaklasik guven araliklari Bazi standart olmayan uygulamalarda bir guven araligi kurabilmek icin gerekli olan niteliklere tipatip uymayan hallere rastlanma mumkundur Bu hallerde kurallara uymakla beraber pratikte yararli olabilecek yaklasik guven araligi bulunabilir Bir rassal degisken icin kapsama olasiligi c 8 f Pr8 ϕ u X lt 8 lt v X c 8 ϕ displaystyle Pr theta phi u X lt theta lt v X c theta phi ile tanimlanir ve eger kabul edilebilir bir yaklasim duzeyine ulastigi bilinip kabul edilirse bir yaklasik guven araligi kurabilmek icin kullanilacak kural soyle verilir c 8 ϕ 1 a for all 8 ϕ displaystyle c theta phi approxeq 1 alpha text for all theta phi Guven araliklari ile Bayes tipi inanilir araliklarin karsilastirilmasi Bayes tipi guven aralik kestimine ismi verilmektedir Yukarida verilenlere uyan bir notasyon kullanirsak 8 parametresini bilinmeyen dogru degeri icin bir inanilir aralik tanimlamasi soyledir Belirli bir a Pr u x lt 8 lt v x X x 1 a displaystyle Pr u x lt Theta lt v x X x 1 alpha Burada kucuk theta 8 bilinmeyen 8 parametre degerinin rassal degisken oldugunu vurgulayarak isaret etmek icin kullanilmaktadir Iki degisik tipdeki araligin tanimlanmalrinin karsilastirmasi soyle yapilabilir Bir guven araliginin tanimlamasi verilmis 8 f icin veya bu degerlere sartli olarak bagimli X icin dagilimdan hesaplanmis olasiliklari icerir Bir inanilir araligin tanimi ise X x gozumlemmis degerlerinin F degerleri uzerinde marjinalize edilmis veya ortalamasi alinmis degerlerine sartli olan 8 parametresinin dagilimindan hesaplanmis olasiliklari icerir Bu aciklamalarda cok kere rahatsizlik edici parametrelerin ele alinip incelenmesi bir kenara birakilmistir Ancak bu incelemeler yapilirsa iki degisik aralik seklinde aciklamalarin cok goze carpar sekilde cok degisik sekilde olacagi bilinmektedir Bazi basit standart haller icin ayni veriyi kullanarak elde edilen guven araligi ve inanilir aralik birbiriyle cakisir sekilde birbiriyle aynidir Ancak Bayes tipi analiz icin ya cok ilimli sekilde veya cok guclu sekilde kullanilmakta ise bu iki tip aralik ayni veri ile her zaman cok degisik sonuc cikartilacaktir Burada 8 notasyonu 8 nin bilinmeyen degerIenin bir rassal degisken olarak kabul edildigi gerecegini vurgulamak icin kullanilmaktadir Iki tip aralik icin tanimlamalar soyle karsilastirilabilirler Bir guven araligi nin tanimlanmasi verilmis 8 f e gore veya bu degerlere kosullu olan X icin dagilim ve bu kosulun 8 f ifadesinin tum degerleri icin gercek oldugu sartini kullanilarak hesaplanmis olan olasilik degerlerini gerektirir Bir inanilir aralik tanimlanmasi icin X x gozumdenmis degerleri ve bunlarin F degerlerine gore marginilize edilmesi veya ortalamasi alinmasi ile elde edilen degerlerden ortaya cikartilan olasilik degerlerini gerektirir Bu F degeri f sikinti veren parametreleri nuisance parameters olan f degerlerinin belirsizligini gosteren rassal degiskendir Suna dikkati cekilmelidir ki guven araligi ve inanilir araliklarin karsilastirilmalarinin ele alindigi bircok kaynakta sikinti veren parametreleri nuisance parameters hakkinda hicbir bilgi verilmemektedir ama bu parametrelerin ele alinmasi iki yontemde degisiktir ve degisik yaklasim gosterilmesini gerektirmektedir Bazi standart hallerde guven araligi ve inanilabilir aralik yaklasimlari kullanilarak ortaya cikartilan araliklar tipatip ayni degerlerde olabilirler Fakat eger icin kullanilan cok guclu veya orta guclu ise bu iki yaklasima gore cikartilan iki aralik degisik degerlerde olacaktir Arzu edilir nitelikleri Standart istatistiksel yordamlar kullanilmakta iken cok kere guven araliklari kurmak icin ozel standart yordamlar kullanilir Bu yordamlar eger yordamin temelinde olan varsayimlara gercekte de dogru oldugu bilinirse arzu edilen onceden belirlenmis bazi nitelikleri karsilamak uzere tasarlanmistir Bu arzu edilen nitelikler sunlardir gecerlilik optimallik ve degismezlik Bunlar arasinda en onemlisi gecerlilik olup bunu yakindan optimallik takip etmektedir Degismezlik genellikle araligi kurmak icin bir kural olmayip daha cok bir guven araligini teorik bakimdan ortaya cikartmak icin yontemin bir niteligidir Bu arzu edilen nitelikler standart olmayan guven araliklari icin de aynen gecerlidir Gecerlilik Bu nitelik guven araligi icin kapsama olasiliginin guven duzeyinin ya tipatip gercek olmasi veya iyi bir yaklasim olarak gercek olmasidir Optimallik Bu nitelik guven araliginin kurulmasi kurallarinin veri setinin kapsadigi enformasyonun mumkun olan en cogunun kullanilmasidir Orneklem veri setinin hemen hemen yarisini bir kenara birakarak sadece kalan kismi ile bile bir guven araliginin kurulmasi mumkun olacagi yukaridaki aciklamadan bilinmektedir Optimalilik niteligi hakkinda yargiya varmak icin bir usul araligin uzunlugunu yargi kriteri olarak kullanmaktir Kurulan bir aralik kurulabilen diger araliklardan tipik olarak daha dar ise o aralik digerlerine nazaran optimallik kriterine daha uygun oldugu kabul edilebilir Degismezlik Bircok pratik uygulama icin kestirimi yapilacak miktar cok iyice tanimlanmadigi bilinmektedir Ornegin bir anakutle nufus icin medyan geliri bulmak icin bir sondaj orneklem bulundugu kabul edilsin Fakat gelirleri aciklamak icin kullanilan garfiksel istatistik araclarinda kullanilan olcek gercek gelir degil gelirin logaritmasidir Bu nedenle elde edilecek anakutle gelir sonucunun gercek degil gelirin logaritmasi olarak kestirmi yapilmasi ve guven araligin tespit edilmesi de uygun bir usul olabilir Degismezlik arzu edilen niteligi uygulanirsa hem medyan gelirlerle kurulan bir guven araligi ve hem de medyan gelirlerin logarithmalari ile kurulan ve alt ve ust uc aralik noktalari gelir logaritmasi olarak ifade edilen guven araligi kurma sonuclar icin ayni derecede uygundurlar Elde edilme yontemleri Standart olmayan uygulamalar icin guven araligi kurmak icin bir kural ortaya cikarmak icin cesitli degisik yollara basvurmak mumkundur Kabul edilmis standart yordamlari cesitli degisik yollarla aciklanamak ve kanitlamak imkani vardir Tipik olarak guven araligi kurmak icin bir kural incelenmekte olan miktar icin bir bulmak icin kullanilan ozel uzule yakindan baglidir Istatistik Bu kestirim icin kullanilan yakindan baglidir Basit bir ornegin kestirimi yapilmasi gereken miktarin anakutle ortalamasi olsun bu halde doga bir kestirim orneklem ortalamasi olur Yine bir orneklem ortalamasi icin dagilim varyansinin kestirimi icin orneklem varyansinin uygun oldugu kabul edilmektedir Dogru anakutle ortalamasi icin guven araligi olarak orneklem ortalamasini merkez alarak araligin genisliginin orneklem varyasinin kare kokunun bir sabitle carpimiyla elde edilen cok basit ve naif bir aralik kurabiliriz Olabilirlilik kurami Eger kestirimler maksimum olabilirlik prensibi kullanilarak kurulmussa bu kavramin temelindeki kurama gore kestirmler icin guven araliklari veya guven bolgeleri kurmak icin iki degisik yol bulunurur Kestirmci denklemler Bu halde kestirim yaklasimi hem momentler yonteminin genellestirilmesinden ve hem de maksimum olabilirlik prensibi genellestirmesinden ortaya ciktigi kabul edilir Maksimum olabilirlik teorisinin bazi genellestirilmeleri ile elde edilen sonuclar kullanilarak ortaya cikarilan guven araliklarinin bu sonuclara da uygun oldugu kabul edilmesi neticesi yaratabilir suretiyle Eger bir parametrenin genel degerleri icin anlamlilik hipotez tezleri kullanmak mumkunse o zaman guven araliklari bolgeleri dogru degerin sifir hipotezinde verilen verilen degere esitliligi 1 p anlamlilik seviyesinde bir hipotez sinama sonucu olarak retedilmeyen her bir noktayi 100p guven bolgesi icine alarak kurulur OrneklerPratik bir ornek Bir firma urettigi margarini paketlemek icin margarini kucuk plastik kaplara dolduran bir makine kullanmaktadir Bu makine her bir plastik kaba 250g margarin doldurmak uzere ayarlanmistir Ancak gercekte doldurulan her bir kabin muhteviyati tipatip 250g olmayip bu miktardan ufak farklar gostermektedir Gercek muhteviyat bu nedenle rassal degisken X olarak alinabilir Makinanin ayarinin istenilir sekilde olmasi icin muhteviyat rassal degiskeni X 250g ortalama etrafinda ve 2 5g standart sapma gosteren bir normal dagilima uymasi uygun oldugu kabul edilsin Bu makinanin ayarinin istenilene uygun olup olmadigini belirlemek icin gercekte uretilen dolu plastik kaplardan rastgele bir orneklem alinmistir ve bunlarin muhteviyati olculmustur Bu rastgele orneklem buyuklugu n 25 olsun Rassal degisken X icin bu orneklem degerleri X1 X25 olur X icin beklenen deger yani normal dagilim parametresi olan anakutle ortalamasi m olsun Bunun bir uygun elde edilen orneklem ortalamasidir yani m X 1n i 1nXi displaystyle hat mu bar X frac 1 n sum i 1 n X i Bu 25 kaptan olusan orneklem icin gercek muhteviyat agirliklari x1 x25 olarak ifade edilir ve bunlarin ortalamasi yani orneklem ortalamasi soyle bulunur x 125 i 125xi 250 2gram displaystyle bar x frac 1 25 sum i 1 25 x i 250 2 text gram Bulunan 250 2 orneklem ortalamasi anakutle ortalamasi m icin bir olarak kabul edilebilir Fakat bilinmektedir ki baska birkac 25 buyuklukte rastgele orneklem secilirse orneklem ortalamalar diyelim 250 4 veya 251 1 olabilir ama bu orneklem ortalamasinin 280 gm olmasinin olasiligi cok kucuktur Gercekte gozlemlenen kestirim degeri olan 250 2 gm etrafinda bir aralik bulundugu ve eger gercek anakutle ortalamasi bu aralik icine duserse gozlemlenen verinin ender bir sekilde istenilenden degisik olmayacagi kabul edilebilir Bu turlu araliga m parametresi icin guven araligi adi verilir Bu araligi nasil hesaplayabiliriz Araligin alt ve ust uc noktalari bulmak icin elimizde bulunan orneklem verilerini kullanabilir Boylece aralik uc noktalari bir istatistik olurlar ve X1 X25 ornekleminin fonksiyonu olurlar ve bunlar da rassal degiskenler olurlar Elimizdeki problemde anakutle agirliklari normal dagilim gosterdigi icin orneklem ortalamasi X displaystyle bar X da normal dagilim gosterir ve bu orneklem ortalamasi normal dagilimi icin beklenen deger m ve standart hatasi s n 0 5 gram olur Boylece orneklem ortalama degerini standardize edebilip z degerini soyle bulabiliriz Z X ms n X m0 5 displaystyle Z frac bar X mu sigma sqrt n frac bar X mu 0 5 Bu ifade icinde kestirimi yapilmak istenen m parametresine baglidir ama bu standart normal dagilim m parametresine bagimli degildir Bu nedenle m degerinden bagimsiz olan ve Z degiskeninin ne kadar guvenimiz olmasini istedigimizi bildirip olcen 1 a olasiligi ile arasinda bulundugu z ve z sayilarini bulmak mumkundur Bu hal icin 1 a 0 95 olmasini kabul edelim yani P z Z z 1 a 0 95 displaystyle P z leq Z leq z 1 alpha 0 95 Su yigmali dagilim fonksiyonu bulunur F z P Z z 1 a2 0 975 z F 1 F z F 1 0 975 1 96 displaystyle begin aligned Phi z amp P Z leq z 1 tfrac alpha 2 0 975 6pt z amp Phi 1 Phi z Phi 1 0 975 1 96 end aligned kullanarak z sayisi soyle bulunur 0 95 1 a P z Z z P 1 96 X ms n 1 96 P X 1 96sn m X 1 96sn P X 1 96 0 5 m X 1 96 0 5 P X 0 98 m X 0 98 displaystyle begin aligned 0 95 amp 1 alpha P z leq Z leq z P left 1 96 leq frac bar X mu sigma sqrt n leq 1 96 right 6pt amp P left bar X 1 96 frac sigma sqrt n leq mu leq bar X 1 96 frac sigma sqrt n right 6pt amp P left bar X 1 96 times 0 5 leq mu leq bar X 1 96 times 0 5 right 6pt amp P left bar X 0 98 leq mu leq bar X 0 98 right end aligned Bu sonuc soyle yorumlanabilir 0 95 olasilik ile m parametresinin X 0 98 displaystyle bar X 0 98 ve X 0 98 displaystyle bar X 0 98 stokastik uc noktalari arasinda olduguna dair bir guven araligi bulunmaktadir Bu yorumda suna dikkati cekmek gerekir Burada m parametresinin hesaplanan araligin icine dusmesinin olasiligi 0 95 oldugu ifade edilmemektedir Elde edilen guven araligi soyle aciklanmaktadir Her zaman yeni olculer alinmasi tekrarlaninca yeni bir orneklem icin ortalama X displaystyle bar X degeri bulunur ve yeni bir guven aralik uc degerleri elde edilebilir Bu tekrarlama ile elde edilen araliklarin 95i anakutle m degerini icinde bulunduracak ve 5 m degerini ihtiva etmeyecektir Buna gore guven araliklari ortaya cikartilan z ve z degerleri formulune konularak elde edilir Bundan dolayisi margarin kabi doldurma makinasi icin anakutle ortalama muhteviyat agirligi icin 95 guven araligi soyle elde edilir x 0 98 x 0 98 250 2 0 98 250 2 0 98 249 22 251 18 displaystyle bar x 0 98 bar x 0 98 250 2 0 98 250 2 0 98 249 22 251 18 Dikey dogru parcalari m icin bir guven araliginin simulasyon analiziyle 50 defa gerceklestirilme sonuclarini temsil etmektedir Parametre m icin istenilen 250gm degeri hesaplanan guven araligi icinde bulundugu icin makinenin ayarinin bozuk olduguna inanmaya neden bulunmamaktadir Hesaplanan aralik icin m degeri icinde bulunsa da bulunmasa da sabit alt ve ust uc degerleri bulunmaktadir Boylece mnin guven araligi icinde bulunma olasiligi ya aralik icinde ise 1 olur ya da aralik disinda ise 0 olur Bu nedenle guven araligi kavrami icin parametre m degerinin guven araligi icinde bulunma olasiligi 1 a olur seklinde aciklama yapmak hatalidir Yani guven araligi ve iliskili guven duzeyi olasilik degerleri degildirler Guven araligi tekrar edilen orneklem alinmalari ve her bir orneklem icin guven araliklari hesaplanmasi halinde bu araliklarin 100 1 a oraninin parametre m degerini ihtiva edecegini bildirmektedir Bu halde hesaplanan araliklarin 100a orani parametreyi ihtiva etmeyecektir Ne yaziktir ki elde edilen orneklemlerin hangisinin guven araliginin parametreyi ihtiva edecegini bilmemize ve kestirebilmemize imkan yoktur Bunun icin guven araligi aciklamasi 100 1 a guven duzeyi ile m degeri guven araligi icinde bulunacaktir seklinde yapilmaktadir Kenarda verilen gosterim bir simulasyon sonucu vermektedir ve 50 simulasyon gerceklesmesi icin hesaplanip elde edilen 50 guven araliginin verilen bir duzey dogru olarak verilen m anakutle ortalama degerini ihtiva edip etmedigini gostermektedir Eger rastgele tek bir simulasyon gerceklesmesi secersek parametreyi ihtiva edecek bir araligi secmemizin olasiligi 95 tir ancak kader kismet olarak parametreyi ihtiva etmeyen bir gerceklesmeyi secme de mumkundur Bunun hangisinin gercege cikacagini bilmemizin imkani ihtimali yoktur elimizde bildigimiz sadece bir guven araligi vardir Kavramsal ornek Istatistiksel anakutle parametreleri ortalamasi m ve varyansi s2 olan normal dagilimli bir anakutleden gelen n buyuklugunde bir rastgele ornekleme secelim ve her biri digerinden Bagimsiz olan orneklem degerlerinin X1 Xn olarak bulundugunu kabul edelim Bu elde edilen veri degerlerinden orneklem ortalamasi X displaystyle overline X ve orneklem varyansi soyle bulunur X X1 Xn n displaystyle overline X X 1 cdots X n n S2 1n 1 i 1n Xi X 2 displaystyle S 2 frac 1 n 1 sum i 1 n left X i overline X right 2 O zaman T X mS n displaystyle T frac overline X mu S sqrt n ifadesi serbestlik derecesi n 1 olan belirli bir Student in t dagilimi gosterir Bu ifadede dikkat edilecek nokta T dagilimi ifadesinin gozlemlenemez m ve s2 degiskenlerini icinde bulundurmamasidir m icin 90 bir guven araligi hesaplamak istedigimizi kabul edelim Bu dagilimin 95 yuzdebirligi c ile ifade edilirse Pr c lt T lt c 0 9 displaystyle Pr left c lt T lt c right 0 9 olur T nin c altinda bulunmasi icin olasilik 5dir ve c ustunde olmasi da 5dir Boylece T nin c ve c sinirlari arasina dusme olasiligi 90 dir Boylece Pr X cSn lt m lt X cSn 0 9 displaystyle Pr left overline X frac cS sqrt n lt mu lt overline X frac cS sqrt n right 0 9 olur ve m icin bir teorik stokastik 90 guven araligi elde edilmis olur Orneklemi gozumledikten sonra X displaystyle overline X icin x displaystyle overline x ve S icin s degerleri hesaplanabilir Bunlardan su guven araligi hesaplanir x csn x csn displaystyle left overline x frac cs sqrt n overline x frac cs sqrt n right ve bu sabit uc noktalari olan bir araliktir m bu guven araligi icindedir veya icinde degildir ve bu araligin m parametresini icine alma olasilik degeri hakkinda daha baska hicbir sey soyleme imkanimiz bulunmamaktadir Ortalama icin yaklasik guven araligiAnakutle icin rassal degisken olan sayilar bir normal dagilim gostermiyorlarsa da bir anakutle ortalamasi icin yaklasik guven araligi kurmak merkezsel limit teoremi kullanarak mumkun olabilir Bu yaklasik sonuca varmak icin kullanilan nun hacminin buyuk olmasi gerekmektedir Bu yaklasik guven araligi elde etmek icin kullanilan formuller gercekte normal dagilim gosteren anakutleden alinan orneklem verileri icin kullanilan formuller ile aynidir ve cikartilan yaklasik guven araliginin yorumlanip aciklanmasi ayni sekilde yapilir Bulunan yaklasik guven araligi eger anakutle dagilimi hemen hemen normal dagilima yakin sekilde ise yahut yigmali dagilim fonksiyonu hic kesiklikler gostermiyorsa veyahut dagilimin carpikligi pek az ise nispeten kucuk sayida orneklem veri seti elde edilerek uygulanip kullanilmasi tavsiye edilmektedir Hipotez sinamasina iliskisiGuven araligi kavrami ve istatistiksel kavraminin dayandiklari temel varsayimlara ve elde edilen sonuclara degisiktir Bu nedenle bu iki cikartimsal istatistik yontemlerinin kavramsal olarak ayri tutulmalari gerekmektedir Ancak bu iki degisik yontem birbirleriyle bazi anlamda baglanti gostermekte ve bir sinira kadar birbirini tamamlayici gorunmektedir Her turlu guven araligi boyle kurulmamakla beraber genellikle bir 100 1 a guven araligi icin kurma yordami 8 8 lt sub gt 0 lt sub gt hipotezinin sinanmasi sirasinda butun 100a anlamlilik seviyesinde ret edilmeyen 8 lt sub gt 0 lt sub gt degerlerinden olusur Bu turlu yaklasim her zaman gecerli olmayabilir cunku bu pratikte her zaman uygun bir hipotez sinanmasinin elimizde bulunacagini onceden varsaymaktadir Ama boyle bir hipotez sinanmasi mevcutsa bu sinanma icin yapilmasi gereken varsayimlarin da guven araligi icin de aynen gecerli olmasi olmasi gereklidir Bir guven araliginin icinde bulunan parametre degerlerinin bir hipotez sinamasi ile ret edilmeyen degerlerle genel olarak esdegerli oldugunu kabul etmek elverisli bir yaklasim olabilir ama bu turlu varsayimi yapmak cok tehlikelidir Bircok hallerde elde edilen guven araliklari tam teoriye uyan degerler degil yaklasik ve ancak genellikle uygun olan degerlerden olusur ve cok kere arti veya eksi stardart hatanin bir veya iki misli seklinde yaklasik genellemelerden baska bir sey degildirler bu genellemelerin guya iliskili oldugu kabul edilen hipotez sinamalarina nesil bir etki yapacagi ve bu etkinin miktari ve yonu bilinmemektedir Anlami ve aciklamasiOlasiligin cokluluk temeline bagli oldugu teorisini kabul edenler icin guven araligi cesitli degisik sekillerde yorumlamak mumkundur Guven araligi orneklemler daha kesin bir ifade ile tekrar tekrar arkaarkaya alinan orneklemler ile ifade edilebilirler Cox ve Hinkley Eger bu prosedur coklu sayida orneklemekle ile cok defa tekrar edilebilseler her bir orneklem icin degisen hesaplanmis guven araligi dogru anakutle parametresini 90 defa kapsayacaktir ef gt Cox D R ve Hinkley DV 1974 Theoretical Statistics Londra Chapman and Hall Ingilizce say 49 209 lt ref gt Kendall ve Stuart bunun ayni anakutleden tekrar tekrar orneklem alma manasi olmadigina ve gerekenin sadece teker ve tekrar orneklme alinmasi gerektigine isaret etmektedirler Guven araligi kavrami soyle aciklanabilir Cox ve Hinkley in bir baska yaklasimi ile Guven araligi bir anakutle parametresinin 10 anlamlilik derecesinde istatistiksel olarak anlamli olmayan parametre gercek degeri ile gozlemlenen kestirim deger farklarinin degerlerini temsil eder Bu gercekten bir guven araliginin kurulmasinda kullanilacak ozel bir yordami anlatmaktadir Bir guven araligina iliskili olan olasilik bir deneyden once gorus acisindan ele alinabilir yani uzerinde calisma yapilan nesnelere tatbik edilen rastgele saglamalar olarak gorulebilir Bu halde deneyi yapan once bir guven araligi hesaplamayi tasarladigi ve gercek deneyi yapmaya baslamadan bu araligin dogru bilinmeyen degeri kapsamasi icin belirli riskin hesaplanmasi icin kullanilacak bir guven araligi kurdugu kabul edilmektedir Bu yukarida verilen tekrar edilen orneklemler yaklasimina yakindir ama ozellikle gercekte tekrarlamanin imkansiz oldugu hallerde ornegin orneklem alip olcmenin orneklemi imha etmeyle sonuclanmasi orneklem alma prosedurunun tekrarlamasini teorik varsayimini bir kenara etmektedir Yukarida verilen aciklamalarini bir ortak yani sudur Eger parametrenin dogru degeri hesaplandiktan sonar 90 guven araligi disinda kalmaktaysa o zaman sansa dayali olarak 10 veya daha az olasiligi olan bir olay ortaya cikmistir Guven sozcugunun istatistiksel anlamiAlternatifler ve tenkitlerGuven araligi icinde bir yontemdir ve cokluluklu olasiligi temel alan istatistik pratikte populer olarak kullanildigi icin en cok kullanilan aralik kestirmi yontemidir Bu yontemin amaci anakutle parametresinin kestirmidir Cokluluk olasilik temeline bagli istatistik yontemlerinde parametre kestirimi yapilacagina gelecekte ortaya cikabilecek orneklemlerin sonucunun kestirmi de yapilma hedef alinabilir ve o zaman kurmak gerekir Eger olasilik temelinde oldugu kabul edilirse aralik kestirimi icin kullanilir Bu yontemlerin hangisi kullanilirsa en kullanisli sonuclarin ortay cikacagi cok tartismalidir Bu uc degisik aralik kestiriminin matematik temelleri uzerinde tartisma bulunmaz ve her ucu de gecerli matematik kullanilarak ortaya cikartilmistir ve eger matematik dogru kullanilmakta ise ayni veri setinden uc degisik matematiksel aralik bulmak mumkundur Tartisma olasilik kavraminin temelinin ne olduguna dairdir ve daha cok felsefi anlasmazliklara dayanir Bayes tipi olasilik temeli felsefesine dayanan istatistikciler bir ortaya cikarilinca bu guven araligini kestirim araligi inanclilar gibi ben bundan sonraki orneklemdem cikarilam ortalama kestirimim diyelim 90 olasilikla bu aralik icine dusecegini tahmin ediyorum demeyip parametrenin gercekte bu araliga dusmesi icin benim bilgi inanc duzeyim 90 dir derler Guven araliklari temellerinde olasiliktan cikartildigi icin normal olasilik yasalarina uymalari gerekir Eger birkac her biri bagimsizlik varsayima uyarak hesaplanmis degisik istatistik ve her birine ait guven araligi verilirse ya bu bagimsizlik varsayimina uymak gerekir uyulma kabul edilmezse yapilan hesaplar gecersiz hale gelir Eger bir orneklem icin birkac degisik guven araligi hesaplanmis olup da bunlarda en dar olanini kabul etmek istenirse bu gecerli bir tutum degildir cunku bu secim yapilmasi halinde yapilan hesaplar gecerli guven araliklari vermez Bu secimi yapmak olasiligi degistirir ve gercek araligi genisletir ve bunun ne kadar olacagini tahmin etmek imkansizdir Bu problem eger guven araligi secmek hipotez sinamasi analizi icinde kullanilirsa ozellikle onem kazanir Onun icin bazilarina gore guven araliklarinin hipotez sinamasi icin kullanilmasi uygun gorulur seklinde ifadeler bulunmakla beraber bu aciklama hipotez sinamasi icin degisik bir yontem ve degisik bir yorum kullanilmasi gerektigine isaret eder Oranlar icin guven araliklari ve iliskili niceliklerAyrica bakinizp degeri Chebyshev esitsizligiOnline hesaplayicilarTAMU guven araligi hesaplayicilari 15 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce Erisme 24 4 2010 GraphPad Cabuk hesaplayicisi 30 Nisan 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce Erisme 24 4 2010 Dipnotlar Ornegin biyoistatistik calismalari icin uygulamada Kaynak Zar J H 1984 Biostatistical Analysis Prentice Hall International New Jersey pp 43 45 Bernardo J E ve Smith Adrian 2000 Bayesian theory New York Wiley ISBN 0 471 49464 X say 259 Ingilizce Bu buyuk orneklem buyuklugu icin 20 yuzyilda orneklem veri setinin 30 veya daha buyuk sayida olmasi yeterli bulunmakta oldugu kabul edilmekteydi Fakat 2000 li yillarda bu yaklasik guven araligi ve hipotez sinamasi icin 30 sayisinin her zaman yeterli olmadigi yapilan komputer simulasyonu ile gosterilmistir Boylece merkezsel limit teoremi uygulamasi icin ekstradan sartlar bulunmasi geregi ortaya cikmaktadir Kendall M G ve Stuart D G 1973 The Advanced Theory of Statistics Vol 2 Inference and Relationship Londra Griffin Kisim 20 4 Cox D R ve Hinkley D V 1974 Theoretical Statistics Londra Chapman ve Hall say 214 225 233 1937 Outline of a Theory of Statistical Estimation Based on the Classical Theory of Probability Philosophical Transactions of the Royal Society of London A 236 333 380 KaynakcaIngilizce Wikipedia Confidence intervals maddesi 1 9 Nisan 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Ingilizce Erisme 24 4 2010 Ingilizce Usable Statististics websitesinde kendikendine ogrenme icin Introduction to Confidence intervals maddesi 2 27 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde Ingilizce Erisme 24 4 2010