Dik üçgen yükseklik teoremi veya geometrik ortalama teoremi, bir dik üçgendeki hipotenüs üzerindeki yükseklik uzunluğu ile hipotenüs üzerinde oluşturduğu iki doğru parçası arasındaki ilişkiyi tanımlayan temel geometrinin bir sonucudur. İki doğru parçasının geometrik ortalamasının yüksekliğe eşit olduğunu belirtir.
Teorem ve uygulamaları
Eğer , dik üçgende yüksekliği ve ile hipotenüs üzerindeki parçaları gösteriyorsa, teorem şu şekilde ifade edilebilir:
veya alan cinsinden ifade edilirse:
Sonraki versiyon, bir dikdörtgeni cetvel ve pergel ile kare yapmak için, yani belirli bir dikdörtgene eşit alanlı bir kare oluşturmak için bir yöntem sağlar. Kenarları ve olan böyle bir dikdörtgenin, sol üst köşesini ile gösterelim. Şimdi parçasını soluna kadar uzatalım ('de ortalanmış yayını kullanarak) ve çapı yeni parça ve uç noktaları ile olan bir yarım çember çizelim. Sonra 'deki çapa, 'deki yarım çemberi kesen dik bir doğru çizelim. Thales teoremine göre ve çap, doğru parçasının yükseklik olduğu bir dik üçgen oluşturur, dolayısıyla dikdörtgenin alanına eşit alanlı olan bir karenin kenarıdır. Yöntem ayrıca kare köklerin oluşturulmasına da izin verir ( bakın), çünkü 1 genişliğinde bir dikdörtgenden başlayarak inşa edilen karenin, dikdörtgenin diğer kenar uzunluğunun kareköküne eşit bir kenar uzunluğu olacaktır.
Teorem, iki sayı durumunda geometrik bir kanıtını sağlamak için kullanılabilir. ve sayıları için çapında yarım çember oluşturulur. Şimdi yükseklik, iki sayının geometrik ortalamasını ve yarıçapı aritmetik ortalamasını temsil eder. Yükseklik her zaman yarıçapa eşit veya daha küçük olduğu için bu eşitsizliği ortaya çıkarır.
Geometrik ortalama teoremi, Thales teoreminin tersi, dik üçgenin hipotenüsünün çevrel çemberinin çapı olmasını sağladığından, ayrıca bir çember için kesişen kirişler teoreminin özel bir durumu olarak düşünülebilir.
İfadenin tersi de doğrudur. Yüksekliğin, kendisi tarafından oluşturulan iki doğru parçasının geometrik ortalamasına eşit olduğu herhangi bir üçgen, bir dik üçgendir.
Tarihçe
Teorem genellikle, onu Elemanlar VI. kitabında 8. önermenin doğal sonucu olarak ifade eden Öklid'e (y. MÖ 360-280) atfedilir. II. Kitabın 14. önermesinde, Öklid bir dikdörtgenin karesini almak için burada verilen yönteme esasen uyan bir yöntem verir. Bununla birlikte, Öklid, geometrik ortalama teoremine dayanmak yerine, yapının doğruluğu için biraz daha karmaşık bir kanıt sağlar.
İspat
Benzerliğe dayanarak
Teoremin kanıtı :
ve üçgenleri benzerdir, çünkü:
- üçgenlerini düşünün, burada ve 'dir, bu nedenle göre 'dir.
- Ayrıca, üçgenleri düşünün, burada ve 'dir, bu nedenle AA postülatına göre 'dir.
Bu nedenle, her iki üçgen ve , üçgenine ve kendilerine benzerdir, yani 'dir.
Benzerlik nedeniyle aşağıdaki eşitlik oranlarını elde ederiz ve cebirsel yeniden düzenlenmesi bize teoremi verir:
Tersinin kanıtı:
Tersi için eşitliğini sağlanan bir üçgenimiz vardır ve 'deki açının dik açı olduğunun gösterilmesi gerekir. Şimdi yüzünden ayrıca ifadesine sahibiz. eşitliği ile birlikte üçgenler ve eşit büyüklükte bir açıya ve aynı orana sahip karşılıklı kenar çiftlerine sahiptir. Bu, üçgenlerin benzer olduğu anlamına gelir ve sonuç aşağıdaki şekilde ifade edilebilir:
Pisagor teoremine dayanarak
Geometrik ortalama teoreminin kurgusunda, Pisagor teoreminin uygulanabileceği üç dik üçgen , ve vardır:
- ,
- ve
İlk 2 iki denklemi taraf tarafa toplamak ve ardından üçüncüyü kullanmak aşağıdaki ifadenin elde edilmesini sağlar:
- .
İkiye bölerek sadeleştirme, sonunda geometrik ortalama teoreminin formülünü verir.
Parçalarına ayırma ve yeniden düzenlemeye dayanarak
Dik üçgeni yüksekliği boyunca parçalarına ayırmak, iki farklı şekilde artırılabilen ve ve uzunluklarına sahip dikey kenarları olan daha büyük bir dik üçgen olarak düzenlenebilen iki benzer üçgen verir. Bu tür bir düzenleme, bu tamamlamak için alanına sahip bir kare alan ve alanına sahip diğer bir dikdörtgen gerektirir. Her iki düzenleme de aynı üçgeni verdiğinden, kare ve dikdörtgenin alanları aynı olmalıdır.
Kesme haritalamaya dayanarak
Yüksekliğin karesi, ve kenarları ile eşit alanlı bir dikdörtgene, üç yardımıyla dönüştürülebilir (kesme haritalama alanı korur):
Kaynakça
- ^ a b c d e Hartmut Wellstein, Peter Kirsche: Elementargeometrie. Springer, 2009, , pp. 76-77 (German, Google Kitaplar'da online copy)
- ^ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images. MAA 2011, , pp. 31–32 (Google Kitaplar'da online copy)
- ^ Öklid: Elemanlar, book II – prop. 14, book VI – prop. 8, (online copy 1 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde .)
- ^ , Thomas Friedrich: Elementary Geometry. AMS 2008, , p. 25 (Google Kitaplar'da online copy, s. 25,)
Dış bağlantılar
- Cut-the-Knot.org'da Geometrik Ortalama 24 Eylül 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Dik ucgen yukseklik teoremi veya geometrik ortalama teoremi bir dik ucgendeki hipotenus uzerindeki yukseklik uzunlugu ile hipotenus uzerinde olusturdugu iki dogru parcasi arasindaki iliskiyi tanimlayan temel geometrinin bir sonucudur Iki dogru parcasinin geometrik ortalamasinin yukseklige esit oldugunu belirtir gri karenin alani gri dikdortgenin alani h2 pq h pq displaystyle h 2 pq Leftrightarrow h sqrt pq Teorem ve uygulamalariq displaystyle q nun degerini 1 alarak p displaystyle sqrt p nin insa edilmesi Eger h displaystyle h dik ucgende yuksekligi ve p displaystyle p ile q displaystyle q hipotenus uzerindeki parcalari gosteriyorsa teorem su sekilde ifade edilebilir h pq displaystyle h sqrt pq veya alan cinsinden ifade edilirse h2 pq displaystyle h 2 pq AO GO esitsizligi Sonraki versiyon bir dikdortgeni cetvel ve pergel ile kare yapmak icin yani belirli bir dikdortgene esit alanli bir kare olusturmak icin bir yontem saglar Kenarlari p displaystyle p ve q displaystyle q olan boyle bir dikdortgenin sol ust kosesini D displaystyle D ile gosterelim Simdi q displaystyle q parcasini soluna p displaystyle p kadar uzatalim D displaystyle D de ortalanmis AE displaystyle AE yayini kullanarak ve capi yeni parca p q displaystyle p q ve uc noktalari A displaystyle A ile B displaystyle B olan bir yarim cember cizelim Sonra D displaystyle D deki capa C displaystyle C deki yarim cemberi kesen dik bir dogru cizelim Thales teoremine gore C displaystyle C ve cap DC displaystyle DC dogru parcasinin yukseklik oldugu bir dik ucgen olusturur dolayisiyla DC displaystyle DC dikdortgenin alanina esit alanli olan bir karenin kenaridir Yontem ayrica kare koklerin olusturulmasina da izin verir bakin cunku 1 genisliginde bir dikdortgenden baslayarak insa edilen karenin dikdortgenin diger kenar uzunlugunun karekokune esit bir kenar uzunlugu olacaktir Teorem iki sayi durumunda geometrik bir kanitini saglamak icin kullanilabilir p displaystyle p ve q displaystyle q sayilari icin p q displaystyle p q capinda yarim cember olusturulur Simdi yukseklik iki sayinin geometrik ortalamasini ve yaricapi aritmetik ortalamasini temsil eder Yukseklik her zaman yaricapa esit veya daha kucuk oldugu icin bu esitsizligi ortaya cikarir Kiris teoreminin ozel bir durumu olarak geometrik ortalama teoremi CD DE AD DB h2 pq displaystyle CD DE AD DB Leftrightarrow h 2 pq Geometrik ortalama teoremi Thales teoreminin tersi dik ucgenin hipotenusunun cevrel cemberinin capi olmasini sagladigindan ayrica bir cember icin kesisen kirisler teoreminin ozel bir durumu olarak dusunulebilir Ifadenin tersi de dogrudur Yuksekligin kendisi tarafindan olusturulan iki dogru parcasinin geometrik ortalamasina esit oldugu herhangi bir ucgen bir dik ucgendir TarihceTeorem genellikle onu Elemanlar VI kitabinda 8 onermenin dogal sonucu olarak ifade eden Oklid e y MO 360 280 atfedilir II Kitabin 14 onermesinde Oklid bir dikdortgenin karesini almak icin burada verilen yonteme esasen uyan bir yontem verir Bununla birlikte Oklid geometrik ortalama teoremine dayanmak yerine yapinin dogrulugu icin biraz daha karmasik bir kanit saglar IspatBenzerlige dayanarak ABC ADC DBC displaystyle triangle ABC sim triangle ADC sim triangle DBC Teoremin kaniti ADC displaystyle triangle ADC ve BCD displaystyle triangle BCD ucgenleri benzerdir cunku ABC ve ACD displaystyle triangle ABC text ve triangle ACD ucgenlerini dusunun burada ACB ADC 90 displaystyle angle ACB angle ADC 90 circ ve BAC CAD displaystyle angle BAC angle CAD dir bu nedenle gore ABC ACD displaystyle triangle ABC sim triangle ACD dir Ayrica ABC ve BCD displaystyle triangle ABC text ve triangle BCD ucgenleri dusunun burada ACB BDC 90 displaystyle angle ACB angle BDC 90 circ ve ABC CBD displaystyle angle ABC angle CBD dir bu nedenle AA postulatina gore ABC BCD displaystyle triangle ABC sim triangle BCD dir Bu nedenle her iki ucgen ACD displaystyle triangle ACD ve BCD displaystyle triangle BCD ABC displaystyle triangle ABC ucgenine ve kendilerine benzerdir yani ACD ABC BCD displaystyle triangle ACD sim triangle ABC sim triangle BCD dir Benzerlik nedeniyle asagidaki esitlik oranlarini elde ederiz ve cebirsel yeniden duzenlenmesi bize teoremi verir hp qh h2 pq h pq h p q gt 0 displaystyle frac h p frac q h Leftrightarrow h 2 pq Leftrightarrow h sqrt pq qquad h p q gt 0 Tersinin kaniti Tersi icin h2 pq displaystyle h 2 pq esitligini saglanan bir ABC displaystyle triangle ABC ucgenimiz vardir ve C displaystyle C deki acinin dik aci oldugunun gosterilmesi gerekir Simdi h2 pq displaystyle h 2 pq yuzunden ayrica hp qh displaystyle tfrac h p tfrac q h ifadesine sahibiz ADC CDB displaystyle angle ADC angle CDB esitligi ile birlikte ucgenler ADC displaystyle triangle ADC ve BDC displaystyle triangle BDC esit buyuklukte bir aciya ve ayni orana sahip karsilikli kenar ciftlerine sahiptir Bu ucgenlerin benzer oldugu anlamina gelir ve sonuc asagidaki sekilde ifade edilebilir ACB ACD DCB ACD 90 DBC ACD 90 ACD 90 displaystyle angle ACB angle ACD angle DCB angle ACD 90 circ angle DBC angle ACD 90 circ angle ACD 90 circ Pisagor teoremine dayanarak Pisagor teoremi ile kanit Geometrik ortalama teoreminin kurgusunda Pisagor teoreminin uygulanabilecegi uc dik ucgen ABC displaystyle triangle ABC ADC displaystyle triangle ADC ve DBC displaystyle triangle DBC vardir h2 a2 q2 displaystyle h 2 a 2 q 2 h2 b2 p2 displaystyle h 2 b 2 p 2 ve c2 a2 b2 displaystyle c 2 a 2 b 2 Ilk 2 iki denklemi taraf tarafa toplamak ve ardindan ucuncuyu kullanmak asagidaki ifadenin elde edilmesini saglar 2h2 a2 b2 p2 q2 c2 p2 q2 p q 2 p2 q2 2pq displaystyle 2h 2 a 2 b 2 p 2 q 2 c 2 p 2 q 2 p q 2 p 2 q 2 2pq Ikiye bolerek sadelestirme sonunda geometrik ortalama teoreminin formulunu verir Parcalarina ayirma ve yeniden duzenlemeye dayanarak Dik ucgeni h displaystyle h yuksekligi boyunca parcalarina ayirmak iki farkli sekilde artirilabilen ve p h displaystyle p h ve q h displaystyle q h uzunluklarina sahip dikey kenarlari olan daha buyuk bir dik ucgen olarak duzenlenebilen iki benzer ucgen verir Bu tur bir duzenleme bu tamamlamak icin h2 displaystyle h 2 alanina sahip bir kare alan ve pq displaystyle pq alanina sahip diger bir dikdortgen gerektirir Her iki duzenleme de ayni ucgeni verdiginden kare ve dikdortgenin alanlari ayni olmalidir Kesme haritalamaya dayanarak Yuksekligin karesi p displaystyle p ve q displaystyle q kenarlari ile esit alanli bir dikdortgene uc yardimiyla donusturulebilir kesme haritalama alani korur On goruntu olarak orijinal kareden baslayarak iliskili sabit cizgileriyle noktali kesme haritalamalari her paralelkenar solundaki seklin kesme haritalamasinin goruntusunu gosterir Kaynakca a b c d e Hartmut Wellstein Peter Kirsche Elementargeometrie Springer 2009 9783834808561 pp 76 77 German Google Kitaplar da online copy Claudi Alsina Roger B Nelsen Icons of Mathematics An Exploration of Twenty Key Images MAA 2011 9780883853528 pp 31 32 Google Kitaplar da online copy Oklid Elemanlar book II prop 14 book VI prop 8 online copy 1 Temmuz 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde Thomas Friedrich Elementary Geometry AMS 2008 9780821843475 p 25 Google Kitaplar da online copy s 25 Dis baglantilarCut the Knot org da Geometrik Ortalama 24 Eylul 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde