Heston modeli

Finansta ve matematiğin bir alt dalı olan finansal matematikte Heston modeli, bir dayanak varlığın volatilitesinin zamana bağlı hareketini tanımlayan stokastik bir modeldir. Bu modelde, volatilite, Black-Scholes modeli ya da gibi sabit ya da deterministik değildir ve bir rassal süreçtir. Model, bu modeli 1993 yılında yayınlayan. Amerikalı finansçı ve matematikçi 'ın adını taşımaktadır.

Varsayımlar

Heston modelinde, ${\displaystyle S_{t}}$ ile gösterilen bir varlığın fiyat süreci ve bu sürecin içinde bulunan volatilite süreci ${\displaystyle {\sqrt {\nu _{t}}}}$'nin her ikisi de stokastik bir süreci takip eder. Daha ayrıntılı yazmak gerekirse,${\displaystyle S_{t}}$ sürecinin

${\displaystyle dS_{t}=\mu S_{t}\,dt+{\sqrt {\nu _{t}}}S_{t}\,dW_{t}^{S}}$

stokastik diferansiyel denklemini sağladığı varsayılırken, ${\displaystyle {\sqrt {\nu _{t}}}}$ sürecinin aşağıdaki gibi verilen bir stokastik denklemi sağladığı; yani, bir izlediği varsayılır:

${\displaystyle d{\sqrt {\nu _{t}}}=-\theta {\sqrt {\nu _{t}}}\,dt+\delta \,dW_{t}^{\nu }.}$

Burada, ${\displaystyle W_{t}^{S},W_{t}^{\nu }}$ ile gösterilenler, aralarındaki korelasyonun ${\displaystyle \rho }$ olduğu birer ; yani, her ikisi de birer Brown hareketidir (sürekli bir rassal yürüyüştür). kullanılarak, anlık varyans ${\displaystyle \nu _{t}}$'nin aağıdaki gibi bir ya da izlediği gösterilebilir:

${\displaystyle d\nu _{t}=\kappa (\theta -\nu _{t})\,dt+\xi {\sqrt {\nu _{t}}}\,dW_{t}^{\nu }.}$

Modelin beş parametresi vardır:

• ${\displaystyle \nu _{0}}$ başlangıçtaki varyanstır.
• ${\displaystyle \theta }$, fiyat sürecinin uzun vadedeki ortalama varyansıdır; yani, t sonsuza doğru giderken, ${\displaystyle \nu _{t}}$'nin beklenen değeri de sıfıra gider.
• ${\displaystyle \rho }$ daha önce bahsedildiği gibi iki Wiener sürecinin arasındaki korelasyondur.
• ${\displaystyle \kappa }$ parametresi ${\displaystyle \nu _{t}}$ sürecinin ${\displaystyle \theta }$ ortalama değerine dönüş hızıdır.
• ${\displaystyle \xi }$ ise ${\displaystyle \nu _{t}}$'nin varyansını belirler ve volatilitenin volatilitesi olarak ifâde edilir.

Eğer parametreler, Feller şartı da denilen,

${\displaystyle 2\kappa \theta >\xi ^{2}}$

eşitsizliğini sağlıyorsa, o zaman, ${\displaystyle \nu _{t}}$ pozitif olur.

Heston kismi diferansiyel denklemi

Heston modelinde Black-Scholes modelindeki benzer bir argümanla bir kısmi diferansiyel denklem elde edilebilir. Ancak, dikkat edilmesi gereken nokta, Black-Schole modelinde rassallığın bir tane kaynağı varken, Heston modelinde rassallığın iki tane kaynağı vardır.

Black-Scholes modelindeki fikirden hareketle portföy (${\displaystyle P}$) şu şekilde elde kurulabilir:

• 1 tane opsiyon (yani opsiyon alınmıştır)
• ${\displaystyle \triangle }$ sonradan belirlenmek üzere ${\displaystyle -\triangle }$ tane opsiyonun dayanak varlığı (hisse senedi)
• ${\displaystyle \triangle _{1}}$ sonradan belirlenmek üzere ${\displaystyle -\triangle _{1}}$ tane değeri dayanak varlığın volatilitesine bağlı başka bir varlık

Opsiyonun fiyatı ${\displaystyle V=V(t,S)}$ ve yukarıda bahsedilen ve değeri dayanak varlığın volatilitesine bağlı başka bir varlığın değeri de V_1 olsun. O zaman, bu portföyün değeri

${\displaystyle P=V-\triangle S-\triangle _{2}V_{1}}$

olur. Bu portföyün değerinin kısa bir zaman aralığındaki değişimi ${\displaystyle \mathrm {d} P}$ o zaman

${\displaystyle \mathrm {d} P=\mathrm {d} V-\triangle \mathrm {d} S-\triangle _{1}\mathrm {d} V_{1}}$

olur. Blakck-Scholes denkleminde olduğu gibi, Ito formülü kullanılarak ${\displaystyle d\Pi }$ hesaplanır ve rassallıkları yok edecek ${\displaystyle \triangle }$ ve ${\displaystyle \triangle _{1}}$ seçimleri yapılır. Sonuç olarak elde kalan portföy risksiz oranla büyüyecektir. Sonuç olarak, ${\displaystyle \lambda :=\lambda (S,\nu ,t)}$ volatilite riski fiyatı olmak üzere (ki daha sonra ${\displaystyle \lambda (S,\nu ,t)=\lambda \nu }$ olarak belirlenir)

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {S^{2}\nu }{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+\rho \xi \nu S{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \nu \partial S}}+{\frac {\xi ^{2}\nu }{2}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \nu ^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV+[\kappa (\theta -\nu )-\lambda ]{\frac {\delta V}{\delta \nu }}=0}$

elde edilir.

Ayrıca bakınız

• Girsanov teoremi
• Martingal (olasılık teorisi)

Kaynakça

1. ^ ^{a b} (1993). "A closed-form solution for options with stochastic volatility with applications to bond and currency options". Review of Financial Studies. 6 (2). ss. 327-343. doi:10.1093/rfs/6.2.327. JSTOR 2962057. 
2. ^ Wilmott, P. (2006), Paul Wilmott on Quantitative Finance, 2nd, s. 861 
3. ^ Albrecher, H.; Mayer, P.; Schoutens, W.; Tistaert, J. (January 2007), "The little Heston trap", Wilmott Magazine, ss. 83-92, CiteSeerX 10.1.1.170.9335 $2 
4. ^ Gatheral, J (2006). The Volatility Surface: A Practitioner's Guide. Wiley. s. 5. ISBN .