Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Bu maddedeki üslubun, ansiklopedik bir yazıdan beklenen resmî ve ciddi üsluba uygun olmadığı düşünülmektedir. |
Bu madde, uygun değildir. (Mart 2020) |
Homotopi, temel grup cebirsel topolojiden gelen ve topolojik uzayın neye benzediğini anlamak için kullanılan bir araçtır. Yani topolojik uzayın cebirsel bir tasvirini bize verir. Sezgisel olarak şöyle: X bir topolojik uzay ve x0, X'in bir elemanı olsun. x0 noktasında başlayıp X üzerinde kalarak x0 biten yolların hepsini düşünün. Bunlar topolojik uzay üzerinde bir eğri oluştururlar. Bu şekilde başlangıç ve bitiş noktası aynı olan yollara ilmek (ya da döngü, çevrim. İngilizce: loop) denir. Bazı ilmekler birbirine homotopik olarak denk, bazıları da değildir. Birbirine denk olan ilmekler arasında hiçbir fark görmememiz gerekmektedir. Oluşturulan bu küme π1(X,x0) şeklinde yazılır. Bu küme x0 noktasındaki başlayıp biten tüm yollardan oluşur ve birbirine homotopik olan ilmekler bu kümede aynı elemandır. Bu küme üzerinde şöyle bir işlem tanımlayalım: İki tane ilmeği alalım ve uç uca ekleyelim. π1(X,x0) kümesi bu işlemle bir grup yapısı oluşturur.
Matematiksel tanımlar şöyledir:
X bir topolojik uzay olsun. X üzerinde bir yol sürekli bir γ: [0,1] → X fonksiyonudur. Eğer γ(0) = γ(1) ise γ'ya ilmek denir. Şimdi bir x0 noktası alalım. Homotopi denkliği x0 noktasından geçen tüm ilmekler kümesini denklik sınıflarına ayırır. Yukarıda π1(X,x0) şeklinde yazdığımız küme aynen bu denklik sınıflarının oluşturduğu kümedir.
Şimdi işlemimizi tanımlayalım. α ve β,α(1)=β(0) olacak şekilde iki yol olsun. α ve β'nın çarpımı (ya da uç uca eklenmesi) şöyle tanımlanır:
α⋆β(s) = {α(2s)β(2s−1)s≤12s≥12
İki yolu birleştirebilmek için birinin başlangıç noktası diğerinin bitiş noktası olmalıdır. Bu yüzden bu işlem tüm yollar kümesi üzerine bir grup oluşturamaz. Fakat yollar yerine ilmekleri alırsak ⋆ işlemi π1(X,x0) kümesi üzerinde bir grup yapısı tanımlar. Tabii bunu kanıtlamak için öncelikle homotopi denkliğinin bir denklik bağıntısı olduğunu göstermek, sonra ⋆ işleminin iyi tanımlı olduğunu yani [α]⋆[β] =[α⋆β] olduğunu, birleşme özelliğini sağladığını, bir etkisiz elemanı olduğunu ve son olarak da her elemanın bir tersinin olduğunu kanıtlamak gerekiyor.
(π1(X,x0),⋆) grubuna X topolojik uzayının temel grubu denir. Temel grup bir topolojik değişmezdir yani eğer iki topolojik uzay birbirine homeomorf ise bu topolojik uzayların temel grupları birbirine izomorftur.
Kaynakça
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu maddedeki uslubun ansiklopedik bir yazidan beklenen resmi ve ciddi usluba uygun olmadigi dusunulmektedir Maddeyi gelistirerek ya da konuyla ilgili katilarak Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Bu madde Vikipedi bicem el kitabina uygun degildir Maddeyi Vikipedi standartlarina uygun bicimde duzenleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Gerekli duzenleme yapilmadan bu sablon kaldirilmamalidir Mart 2020 Homotopi temel grup cebirsel topolojiden gelen ve topolojik uzayin neye benzedigini anlamak icin kullanilan bir aractir Yani topolojik uzayin cebirsel bir tasvirini bize verir Sezgisel olarak soyle X bir topolojik uzay ve x0 X in bir elemani olsun x0 noktasinda baslayip X uzerinde kalarak x0 biten yollarin hepsini dusunun Bunlar topolojik uzay uzerinde bir egri olustururlar Bu sekilde baslangic ve bitis noktasi ayni olan yollara ilmek ya da dongu cevrim Ingilizce loop denir Bazi ilmekler birbirine homotopik olarak denk bazilari da degildir Birbirine denk olan ilmekler arasinda hicbir fark gormememiz gerekmektedir Olusturulan bu kume p1 X x0 seklinde yazilir Bu kume x0 noktasindaki baslayip biten tum yollardan olusur ve birbirine homotopik olan ilmekler bu kumede ayni elemandir Bu kume uzerinde soyle bir islem tanimlayalim Iki tane ilmegi alalim ve uc uca ekleyelim p1 X x0 kumesi bu islemle bir grup yapisi olusturur Matematiksel tanimlar soyledir X bir topolojik uzay olsun X uzerinde bir yol surekli bir g 0 1 X fonksiyonudur Eger g 0 g 1 ise g ya ilmek denir Simdi bir x0 noktasi alalim Homotopi denkligi x0 noktasindan gecen tum ilmekler kumesini denklik siniflarina ayirir Yukarida p1 X x0 seklinde yazdigimiz kume aynen bu denklik siniflarinin olusturdugu kumedir Simdi islemimizi tanimlayalim a ve b a 1 b 0 olacak sekilde iki yol olsun a ve b nin carpimi ya da uc uca eklenmesi soyle tanimlanir a b s a 2s b 2s 1 s 12s 12 Iki yolu birlestirebilmek icin birinin baslangic noktasi digerinin bitis noktasi olmalidir Bu yuzden bu islem tum yollar kumesi uzerine bir grup olusturamaz Fakat yollar yerine ilmekleri alirsak islemi p1 X x0 kumesi uzerinde bir grup yapisi tanimlar Tabii bunu kanitlamak icin oncelikle homotopi denkliginin bir denklik bagintisi oldugunu gostermek sonra isleminin iyi tanimli oldugunu yani a b a b oldugunu birlesme ozelligini sagladigini bir etkisiz elemani oldugunu ve son olarak da her elemanin bir tersinin oldugunu kanitlamak gerekiyor p1 X x0 grubuna X topolojik uzayinin temel grubu denir Temel grup bir topolojik degismezdir yani eger iki topolojik uzay birbirine homeomorf ise bu topolojik uzaylarin temel gruplari birbirine izomorftur Kaynakca