Koşullu beklenti, koşullu beklenen değer veya koşullu ortalama, olasılık kuramı bilim dalında bir reel değerli rassal değişken için bir koşullu olasılık dağılımı na göre matematiksel beklentidir.
Koşullu beklenti kavramı Rus matematikçi Andrey Kolmogorov tarafından ortaya atılmış olasılık kuramı'nın "ölçüm teorisi" ile tanımlanıp açıklanması sürecinde çok önemli bir rol oynamaktadır. Ayrıca incelemelerinde "martingal" konusu incelemesi için elzem bir kavramdır.
Giriş
X ve Y olsunlar. Bu halde "Y=y olayı, Y sahasında ynin bir fonksiyonu olduğu verilmiş ise X değişkenin Y=y koşullu beklentisi şöyle tanımlanır:
Burada X değişkeninin istatistiksel açıklığını gösterir.
Bu sonucu Ynin bir olması haline de genişletmeye çalışırsak bir sorun ile karşılaşırız. Bu halde P(Y=y) = 0 yani tek bir Y değeri için olasılık sıfır olur. Buna "Borel-Kolmogorov paradoksu" adi verilir, Bu yaklaşımla koşullu beklenti tanımlanmasına çalışmanın belirsizliği açıkça ortaya çıkar. Fakat yukarıda verilen ifadenin şöyle değiştirilmesi mümkündür:
Her iki taraf da sıfır olup burada ynin tek değerleri önemsiz olmakla beraber, bu ifade Y sahasında bulunan her türlü ölçülebilir B altseti için geçerli olur; yani
Gerçekten bu hal hem koşullu beklenti hem de koşullu olasılık kavramlarını tanımlamak için yeterli şart olur.
Formel tanımlama
bir gerçel rassal değişken X ve bir alt- ile bir olasılık uzayı olsun. O zaman bir verilmiş için Xin koşullu beklentisi
ifadesini tatmin eden herhangi bir - olur.
Burada dikkat edilirse, koşullu beklenti fonksiyonun basit bir notasyonla ifade edilmesidir.
Tartışma
Verilen tanımlama üzerinde bazı noktaların tartışılması gerekir:
- Bu yapıcı ve pratik bir tanımlama değildir. Sadece koşullu beklentinin tatmin etmesi gereken niteliğinin verilmesidir.
- Gereken nitelik giriş kısmında verilen son ifadenin aynı şeklindedir.
- Bir koşullu beklentinin var olması "Radon-Nikodym teoremi" adı verilen bir savla gösterilir ve bu sav X için (koşulsuz) beklenti değerinin var olması için de yeterli bir şart sağlar.
- Sonucun tek olması "nerede ise kesinlik" ile gösterilebilir; yani aynı koşullu beklentinin verziyonları ancak "sıfır olasılık seti" için değişik olacaktır.
- ile tanımlanmış koşullanmanın "taneli olmasını (granularity)" kontrol eder. Daha ince taneli σ-algebra σ-cebiri daha geniş turlu olaylar için koşullanmaya izin verir.
- hal uzayli bir Y rassal değişkeni değerleri üzerinde bağımsızca koşullanma için Y ye göre Σnin "onsel-imaji (pre-image)"ni,yani
kullanarak koşullu beklenti tanımlama yeterlidir.
- Bu koşullu beklentinin σ(Y)-ölçülebilir olmasını sağlamayı yeterli olur. Koşullu beklenti altında yatan Ω olasılık uzayındaki olaylar üzerine koşullanmış olarak tanımlanmakla beraber, bunun σ(Y)-ölçülebilir olması gerekliliği (girişte gösterildiği gibi) üzerinde koşullanmaya imkân verir.
Koşullu olasılık tanımlanması
Herhangi bir istatistiksel olay için su tanımlansın:
Bu "Borel σ-cebiri"ne göre [0,1] içinde bir rassal değişkendir, Bu rassal değişkenin beklentisi Anin olasılığına eşit olur:
Bu halde, 'verilmiş için , eğer
- ifadesinin A için gösterge
fonksiyonunun koşullu beklentisi olması halinde
olur; yani
Diğer bir şekilde ifadeyle,
ifadesini tatmin eden -ölçülebilir fonksiyondur.
Eğer ifadesi her ω ∈ Ω için de bir ise, böyle bir koşullu olasılık düzgün olur. Bir düzgün koşullu olasılığa göre bir rassal değişkenin beklentisi onun koşullu beklentisine eşittir.
Faktörleme olarak koşullandırma
Bu denklem su verilen gösterimin bir olduğunu söylemek seklinde de yorumlanabilir:
E(X|Y)= goY ────────────────────────────────> R Y g=E(X|Y= ·) Ω ───────────> R ──────────────> R ω ───────────> Y(ω) ──────────────> g(Y(ω)) = E(X|Y=Y(ω)) y ──────────────> g(y) = E(X|Y= y)
Denklemin anlamına göre X için entegraller ve Unun bir altesinde ölçülebilir B için Y−1(B) seklideki setler için bileşiği birbirine özdeştirler.
Bir alt-cebire koşullandıran relatif
N σ-alt-cebirlenin M σ-alt-cebiri ile koşullandırılması için diğer bir gorus sekli bulunmaktadır. Bu sekil önceden verilmiş olan incelemenin basitçe özelleştirilmiş seklidir. U basit olarak, üzerinde N σ-cebirli ve Y ozdeslik tasarımı olan Ω uzayı olduğu kabul edilir. sonuç soyle ifade edilir:
Teorem: X Ω üzerinde entegrali bulunan gercel rassal değişken ise, o halde P'ye oranla eşdeğerliliğe uygunsa, tek bir ve tek su şarta uyan integre edilebilir g fonksiyonu bulunur; bu şarta göre altcebir N içinde bulunan herhangi bir B seti için
olur. Burada g Nye göre ölçülebilir olur (ve bu X için gerekli olan M için ölçülebilir olma şartından daha siki bir şarttır.)
Bu şekilde koşullu beklenti genellikle E(X|N) olarak yazılır. Bu sekil olasılık kuramı üzerinde spesialize olan matematikçiler tarafından tercih edilmektedir. Buna bir neden gercel rassal değişkenler uzayında (yani sonlu ikinci momenti bulunan gerçel rassal değişkenler için)
- X → E(X|N)
eşlenmesi kendine-eklenmiş olur.
Temel nitelikler
(Ω,M,P) bir olasılık uzayı olarak alınsın:
- Bir σ-altcebirine göre koşullandırılırsa, N entegre edilebilir gercel rassal değişkenler uzayında doğrusaldır.
- E(1|N) = 1
- geçerlidir: Eger f bir ise, o halde
- Bir daralan projeksiyona göre koşullandılarsa herhangi bir s ≥ 1 için
olur.
Ayrıca bakınız
Dışsal kaynaklar
- Ingilizce Wikipedi "Conditional expectation" maddesi 1 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce) (Erişme:10.7.2010))
- William Feller, (1950), An Introduction to Probability Theory and its Applications Cilt.1,, Wiley. (İngilizce)
- Meyer, Paul A., (1956) Probability and Potentials, Blaisdell Publishing Co. (İngilizce)
- Grimmett, Geoffrey ve D.R.Stirzaker (1995), Probability and Random Processes, Oxford:Oxford University Press (İngilizce)
Kaynakça
- ^ Loève, Michel (1978), Probability Theory vol. II (4th ed.). Springer. ., "Chapter 27. Concept of Conditioning" say. 7 (İngilizce)
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Kosullu beklenti kosullu beklenen deger veya kosullu ortalama olasilik kurami bilim dalinda bir reel degerli rassal degisken icin bir kosullu olasilik dagilimi na gore matematiksel beklentidir Kosullu beklenti kavrami Rus matematikci Andrey Kolmogorov tarafindan ortaya atilmis olasilik kurami nin olcum teorisi ile tanimlanip aciklanmasi surecinde cok onemli bir rol oynamaktadir Ayrica incelemelerinde martingal konusu incelemesi icin elzem bir kavramdir GirisX ve Y olsunlar Bu halde Y y olayi Y sahasinda ynin bir fonksiyonu oldugu verilmis ise X degiskenin Y y kosullu beklentisi soyle tanimlanir E X Y y x Xx P X x Y y x Xx P X x Y y P Y y displaystyle operatorname E X Y y sum x in mathcal X x operatorname P X x Y y sum x in mathcal X x frac operatorname P X x Y y operatorname P Y y Burada X displaystyle mathcal X X degiskeninin istatistiksel acikligini gosterir Bu sonucu Ynin bir olmasi haline de genisletmeye calisirsak bir sorun ile karsilasiriz Bu halde P Y y 0 yani tek bir Y degeri icin olasilik sifir olur Buna Borel Kolmogorov paradoksu adi verilir Bu yaklasimla kosullu beklenti tanimlanmasina calismanin belirsizligi acikca ortaya cikar Fakat yukarida verilen ifadenin soyle degistirilmesi mumkundur E X Y y P Y y x Xx P X x Y y displaystyle operatorname E X Y y operatorname P Y y sum x in mathcal X x operatorname P X x Y y Her iki taraf da sifir olup burada ynin tek degerleri onemsiz olmakla beraber bu ifade Y sahasinda bulunan her turlu olculebilir B altseti icin gecerli olur yani BE X Y y P Y y d y B x Xx P X x Y y d y displaystyle int B operatorname E X Y y operatorname P Y y operatorname d y int B sum x in mathcal X x operatorname P X x Y y operatorname d y Gercekten bu hal hem kosullu beklenti hem de kosullu olasilik kavramlarini tanimlamak icin yeterli sart olur Formel tanimlama W A P displaystyle scriptstyle Omega mathcal A operatorname P bir gercel rassal degisken X ve bir alt B A displaystyle scriptstyle mathcal B subseteq mathcal A ile bir olasilik uzayi olsun O zaman bir verilmis B displaystyle scriptstyle mathcal B icin Xin kosullu beklentisi BE X B w d P w BX w d P w for eachB B displaystyle int B operatorname E X mathcal B omega operatorname d operatorname P omega int B X omega operatorname d operatorname P omega qquad text for each quad B in mathcal B ifadesini tatmin eden herhangi bir B displaystyle scriptstyle mathcal B E X B W R displaystyle scriptstyle operatorname E X mathcal B Omega to mathbb R olur Burada dikkat edilirse E X B displaystyle scriptstyle operatorname E X mathcal B kosullu beklenti fonksiyonun basit bir notasyonla ifade edilmesidir Tartisma Verilen tanimlama uzerinde bazi noktalarin tartisilmasi gerekir Bu yapici ve pratik bir tanimlama degildir Sadece kosullu beklentinin tatmin etmesi gereken niteliginin verilmesidir Gereken nitelik giris kisminda verilen son ifadenin ayni seklindedir Bir kosullu beklentinin var olmasi Radon Nikodym teoremi adi verilen bir savla gosterilir ve bu sav X icin kosulsuz beklenti degerinin var olmasi icin de yeterli bir sart saglar Sonucun tek olmasi nerede ise kesinlik ile gosterilebilir yani ayni kosullu beklentinin verziyonlari ancak sifir olasilik seti icin degisik olacaktir ile tanimlanmis B displaystyle scriptstyle mathcal B kosullanmanin taneli olmasini granularity kontrol eder Daha ince taneli s algebra B displaystyle scriptstyle mathcal B s cebiri daha genis turlu olaylar icin kosullanmaya izin verir Y S displaystyle scriptstyle mathcal Y Sigma hal uzayli bir Y rassal degiskeni degerleri uzerinde bagimsizca kosullanma icin Y ye gore Snin onsel imaji pre image ni yaniB s Y Y 1 S S S displaystyle mathcal B sigma Y Y 1 S S in Sigma dd dd kullanarak kosullu beklenti tanimlama yeterlidir Bu kosullu beklentinin s Y olculebilir olmasini saglamayi yeterli olur Kosullu beklenti altinda yatan W olasilik uzayindaki olaylar uzerine kosullanmis olarak tanimlanmakla beraber bunun s Y olculebilir olmasi gerekliligi giriste gosterildigi gibi Y displaystyle mathcal Y uzerinde kosullanmaya imkan verir dd Kosullu olasilik tanimlanmasiHerhangi bir istatistiksel olay A A displaystyle A in mathcal A icin su tanimlansin 1A w 1if w A 0if w A displaystyle mathbf 1 A omega begin cases 1 amp text if omega in A 0 amp text if omega notin A end cases Bu Borel s cebiri ne gore 0 1 icinde bir rassal degiskendir Bu rassal degiskenin beklentisi Anin olasiligina esit olur E 1A P A displaystyle operatorname E mathbf 1 A operatorname P A Bu halde verilmis B displaystyle scriptstyle mathcal B icin eger P A B displaystyle scriptstyle operatorname P A mathcal B ifadesinin A icin gosterge fonksiyonunun kosullu beklentisi olmasi halinde P B A W R displaystyle scriptstyle operatorname P cdot mathcal B mathcal A times Omega to mathbb R olur yani P A B E 1A B displaystyle operatorname P A mathcal B operatorname E mathbf 1 A mathcal B Diger bir sekilde ifadeyle P A B displaystyle scriptstyle operatorname P A mathcal B BP A B w d P w P A B for allA A B B displaystyle int B operatorname P A mathcal B omega operatorname d operatorname P omega operatorname P A cap B qquad text for all quad A in mathcal A B in mathcal B ifadesini tatmin eden B displaystyle scriptstyle mathcal B olculebilir fonksiyondur Eger P B w displaystyle scriptstyle operatorname P cdot mathcal B omega ifadesi her w W icin de bir ise boyle bir kosullu olasilik duzgun olur Bir duzgun kosullu olasiliga gore bir rassal degiskenin beklentisi onun kosullu beklentisine esittir Faktorleme olarak kosullandirmaBu denklem su verilen gosterimin bir oldugunu soylemek seklinde de yorumlanabilir E X Y goY gt R Y g E X Y W gt R gt R w gt Y w gt g Y w E X Y Y w y gt g y E X Y y Denklemin anlamina gore X icin entegraller ve Unun bir altesinde olculebilir B icin Y 1 B seklideki setler icin E X Y Y displaystyle operatorname E X mid Y cdot circ Y bilesigi birbirine ozdestirler Bir alt cebire kosullandiran relatifN s alt cebirlenin M s alt cebiri ile kosullandirilmasi icin diger bir gorus sekli bulunmaktadir Bu sekil onceden verilmis olan incelemenin basitce ozellestirilmis seklidir U basit olarak uzerinde N s cebirli ve Y ozdeslik tasarimi olan W uzayi oldugu kabul edilir sonuc soyle ifade edilir Teorem X W uzerinde entegrali bulunan gercel rassal degisken ise o halde P ye oranla esdegerlilige uygunsa tek bir ve tek su sarta uyan integre edilebilir g fonksiyonu bulunur bu sarta gore altcebir N icinde bulunan herhangi bir B seti icin BX w dP w Bg w dP w displaystyle int B X omega d operatorname P omega int B g omega d operatorname P omega olur Burada g Nye gore olculebilir olur ve bu X icin gerekli olan M icin olculebilir olma sartindan daha siki bir sarttir Bu sekilde kosullu beklenti genellikle E X N olarak yazilir Bu sekil olasilik kurami uzerinde spesialize olan matematikciler tarafindan tercih edilmektedir Buna bir neden gercel rassal degiskenler uzayinda yani sonlu ikinci momenti bulunan gercel rassal degiskenler icin X E X N eslenmesi kendine eklenmis olur LP2 X M LP2 X N displaystyle L operatorname P 2 X M rightarrow L operatorname P 2 X N Temel nitelikler W M P bir olasilik uzayi olarak alinsin Bir s altcebirine gore kosullandirilirsa N entegre edilebilir gercel rassal degiskenler uzayinda dogrusaldir E 1 N 1 gecerlidir Eger f bir ise o haldef E X N E f X N displaystyle f operatorname E X mid N leq operatorname E f circ X mid N dd Bir daralan projeksiyona gore kosullandilarsa herhangi bir s 1 icinLPs X M LPs X N displaystyle L P s X M rightarrow L P s X N dd olur Ayrica bakinizToplam olasilik yasasi Toplam beklenti yasasiDissal kaynaklarIngilizce Wikipedi Conditional expectation maddesi 1 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi Ingilizce Erisme 10 7 2010 William Feller 1950 An Introduction to Probability Theory and its Applications Cilt 1 Wiley Ingilizce Meyer Paul A 1956 Probability and Potentials Blaisdell Publishing Co Ingilizce Grimmett Geoffrey ve D R Stirzaker 1995 Probability and Random Processes Oxford Oxford University Press ISBN 0 19 857222 0 Ingilizce Kaynakca Loeve Michel 1978 Probability Theory vol II 4th ed Springer ISBN 0 387 90262 7 Chapter 27 Concept of Conditioning say 7 Ingilizce