Möbius fonksiyonu

Möbius fonksiyonu ${\displaystyle \mu (n)}$, 1832 yılında Alman matematikçi August Ferdinand Möbius tarafından ortaya atılan çarpımsal bir fonksiyondur. Temel ve analitik sayılar teorisi'nde çoğunlukla kullanılan fonksiyon, genellikle 'nün bir parçası olarak görülür. 'nın 1960'lı yıllardaki çalışmaları sonucunda ${\displaystyle \mu (n)}$ ile gösterilen Möbius fonksiyonunun genellemeleri kombinatoriğe tanıtılmıştır.

Adını aldığı	August Ferdinand Möbius
Yayın yılı	1832
Yayın yazarı	August Ferdinand Möbius
Bilinen terimlerin sayısı	sonsuz
İlk terimler	1, −1, −1, 0, −1, 1, −1, 0, 0, 1
indeksi	A008683 Möbius (veya Moebius) fonksiyonu ${\displaystyle \mu (n)}$. ${\displaystyle \mu (1)=1}$; ${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k}}$ eğer n, k farklı asalın çarpımı ise; aksi halde ${\displaystyle \mu (n)=0}$.

Tanım

Herhangi bir pozitif tam sayı ${\displaystyle n}$ için ${\displaystyle \mu (n)}$, 1'in primitif olan ninci köklerinin toplamını ifade eder. ${\displaystyle \mu (n)}$, ${\displaystyle n}$'nin asal çarpanlarına ayrılışına göre ${\displaystyle \{-1,0,1\}}$ değerlerini alabilir.

Eğer ${\displaystyle n}$,

• çift sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen (herhangi bir asal sayının karesine bölünmeyen) bir sayı ise ${\displaystyle \mu (n)=+1}$,
• tek sayıda asal çarpanı olan kare içermeyen bir sayı ise ${\displaystyle \mu (n)=-1}$,
• kare içeriyorsa ${\displaystyle \mu (n)=0}$

olur.

Möbius fonksiyonu alternatif olarak şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle \mu (n)=\delta _{\omega (n)\Omega (n)}\lambda (n)}$

Burada ${\displaystyle \delta }$ Kronecker deltasını, ${\displaystyle \lambda (n)}$ (${\displaystyle (-1)^{\Omega (n)}}$ olarak ifade edilir), ${\displaystyle \omega (n)}$ ve ${\displaystyle \Omega (n)}$ ise Asal omega fonksiyonlarını ifade eder.

Değerler

${\displaystyle \mu (n)}$'nin ilk 50 pozitif tam sayı için değerleri şu şekildedir:

${\displaystyle n}$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle \mu (n)}$	1	−1	−1	0	−1	1	−1	0	0	1

${\displaystyle n}$	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
${\displaystyle \mu (n)}$	−1	0	−1	1	1	0	−1	0	−1	0

${\displaystyle n}$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
${\displaystyle \mu (n)}$	1	1	−1	0	0	1	0	0	−1	−1

${\displaystyle n}$	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
${\displaystyle \mu (n)}$	−1	0	1	1	1	0	−1	1	1	0

${\displaystyle n}$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50
${\displaystyle \mu (n)}$	−1	−1	−1	0	0	1	−1	0	0	0

Yukarıdaki değerlerin grafik üzerinde gösterimi aşağıdaki gibidir.

Möbius fonksiyonun ilk 50 değeri

Uygulamalar

Matematiksel seriler

Möbius fonksiyonunu üreten Dirichlet serisi, Riemann zeta fonksiyonunun çarpımsal tersidir. Eğer ${\displaystyle s}$ reel kısmı 1'den büyük bir karmaşık sayıysa

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}={\frac {1}{\zeta (s)}}}$

eşitliği sağlanır.

Bu eşitlik ${\displaystyle 1/\zeta (s)}$'nin da görülebilir:

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod _{p{\text{ asal}}}{\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)}=\left(1-{\frac {1}{2^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{3^{s}}}\right)\left(1-{\frac {1}{5^{s}}}\right)\cdots }$

İlgili seriler:

• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {|\mu (n)|}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)}{\zeta (2s)}}}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln n}{n}}=-1}$
• ${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)\ln ^{2}n}{n}}=-2\gamma }$ (Burada ${\displaystyle \gamma }$, Euler-Mascheroni sabiti'ni ifade etmektedir.)

Möbius fonksiyonu için :

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=q}$ (${\displaystyle |q|<1}$ için yakınsaktır.)

Asal ${\displaystyle \alpha \leq 2}$ için de şunu yazabiliriz:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (\alpha n)q^{n}}{q^{n}-1}}=\sum _{n\geq 0}q^{\alpha ^{n}},|q|<1.}$

Özellikler

Möbius fonksiyonu ${\displaystyle \mu (ab)}$, ${\displaystyle a}$ ve ${\displaystyle b}$ aralarında asal ise çarpımsaldır (${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b)}$).

${\displaystyle n}$'nin her pozitif böleni ${\displaystyle d}$ için ${\displaystyle \mu (d)}$ değerlerinin toplamı sıfırdır: (n = 1 hariç)

${\displaystyle \sum _{d\vert n}{\mu (d)}={\begin{cases}1&{\text{eğer }}n=1{\text{ ise}}\\0&{\text{eğer }}n>1{\text{ ise}}\end{cases}}}$

Bu eşitlik 'nün temelini oluşturur ve ${\displaystyle \mu }$'nun aritmetik ve çarpımsal fonksiyonlar teorisindeki öneminin asıl nedeni budur.

${\displaystyle \mu }$'nun kombinatorikteki diğer uygulamaları Pólya'nın sayma teoremi'nin kullanımıyla beraber kombinatoryal gruplar ve kombinatoryal sayma ile bağlantılıdır.

Möbius fonksiyonu tarafından sağlanan bazı özdeşlikler:

${\displaystyle \sum _{k\leq n}\left\lfloor {\frac {n}{k}}\right\rfloor \mu (k)=1}$

${\displaystyle \sum _{jk\leq n}\cos \left({\frac {\pi (jk-1)}{2}}\right)\mu (k)=1}$.

Ortalama değer

Möbius fonksiyonunun ortalama değeri sıfırdır. Bu iddia, asal sayı teoremine eşittir.

Mertens fonksiyonu

Sayılar teorisinde Möbius fonksiyonu ile yakından ilgili bir diğer fonksiyon her doğal sayı ${\displaystyle n}$ için aşağıdaki gibi tanımlanan 'dur.

${\displaystyle M(n)=\sum _{k=1}^{n}{\mu (k)}}$

Bu fonksiyon, Riemann zeta fonksiyonunun sıfırları ile yakından bağlantılıdır. Bunun hakkında daha fazla bilgi için sayfasına bakabilirsiniz.

${\displaystyle \mu (n)=\sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {ebob} (k,n)=1}}e^{2\pi i{\frac {k}{n}}}}$

eşitliğinden Mertens fonksiyonu şu şekilde yazılabilir:

${\displaystyle M(n)=-1+\sum _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}.}$

Burada ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$, 'nin ninci kümesini belirtmektedir. Bu eşitlik, 'nin kanıtında kullanılmıştır.

Ayrıca bakınız

• Asal omega fonksiyonu
• Riemann hipotezi
• Asal sayı teoremi

Kaynakça

1. ^ Möbius function
2. ^ Average order of an arithmetic function