Bu madde, uygun değildir.Aralık 2018) ( |
Tek anakütle ortalaması için parametrik hipotez sınaması veya tek-örneklem için sınama veya μ için sınama, bir rastgele örneklem ortalaması ile bu örneklemin çekilmiş olduğunu düşündüğümüz anakütlenin μ ile belirtilen "anakütle ortalaması" hakkında bir hipotez değeri belirtilmesinin anlamlı olup olmadığını araştırmamızı sağlayan .
Tek anakütle ortalaması testi için temel varsayımlar
- Örnekleme alınan birimler birbirlerinden bağımsız olarak rastgele seçilmiş olmaları
- Anakütle ya normal dağılıma sahip olmalı ya da örneklem hacminin iyice bilinmesi.
Tek anakütle ortalaması hipotez testinin aşamaları
Bir anakütleden kullanarak "n" örneklem büyüklüğü olan bir rastgele örneklem ele geçirilir; istenilen değerler ölçülür ve (x bar diye okunur) değerindeki örneklem ortalaması bulunur. Hipotez sınaması yönteminde araştırma hedefi bu örneklemin söz konusu anakütleden çekilmiş olup olamayacağını ya da kaynağı olan anakütleden çekilmiş olabilmesinin olasılığının ne olabileceğini ortaya koymaktır.
- İncelenen araştırma sorusu belirlenmesi;
- Sıfır hipotez ve oluşturulması;
- Örnekleme dağılımı ve kritik değer belirlenmesi;
- Ret alanının belirlenmesi
- Anlamlılık seviyesi ve şu iki alternatiften biri
- Test-istatistiği saptanması;
- p-değeri saptanması;
- Karşılaştırmalar, sonuç ve yorum
Bir pratik örnek problem
Alçı dolum makinemiz μo=20 kg ortalama ağırlıklı alçı dolumu yaparken arıza yapar. Tamirci getirip tamir ettiririz. Acaba yine μo=20kglık dolum yapabilecek mi?
Deneme yapıp görmek lazım!'
40 torba basit rastgele örnekleme yöntemine göre seçilip bu 40 alçı torbası ağırlıkları şöyle ölçülmüştür:
= 19,8 kg,
= 20,5 kg,
= 21,2 kg,
= 18,9 kg,
- .......,
= 20,8 kg
Örneklem istatistikleri şöyle hesaplanmıştır: Örneklem büyüklüğü : n = 40 torba Örneklem ortalaması : = 21,4 kg Örneklem standart sapması: s' = 3,2 kg
Bu problem için yapılan varsayımlar: -Anakütle yani alçı dolum makinesinin yaptığı dolum miktarları normal dağılıma uymaktadır. -Dolum için anakütle standart sapması bilinmemekte ama (yanlılık için ayarlama yapılan) örneklem standart sapması (s') anakütle standart sapması σ için iyi bir kestirimdir.
İncelenen araştırma sorusunun belirlenmesi
Araştırma sorunu tek bir anakütle parametresi, yani anakütle ortalaması , hakkındadır. Bu anakütle ortalama değeri tam olarak bilinmemekte ve belirlenen bir hipotez değerde (Mü sıfır diye okunur) olduğu varsayılmaktadır. Hipotez testi anakütle ortalamasına verilen değer hakkındadır.
İstenilen araştırma sorusunun tayininde en önemli ilk adım, araştırma sorusunun tayininde, istenilen veya istenmeyen alternatifler ile test edilecek parametrenin belirtilen bir değere eşitsizlik şartına bakılmasıdır. Bu eşitsizlik bir "katı eşitsizlik" midir (yani ≠ veya > veya <) yoksa bir eşitliği de ihtiva eden bir "zayıf eşitsizlik" midir (≤ veya ≥)? Araştırma sorusunun ya katı eşitsizliği ihtiva edip etmediğini mantık yürüterek bulmak gerekmektedir.
Ör./Verilen alçı doldurma makinesi örnek problemi için belirtilen anakutle ortalama değerinin μ=20 olması gerekir. Biraz mantık yürütürsek, hem doldurma ortalamasının 20 kg'den düşük doluş yapmasının hem de doluşun 20 kg'dan daha fazla olması halinin istenmeyen sonuçlar olduğunu kabul edebiliriz. Eğer anakütle ortalaması 20 kg değilse, makine isteğe uygun tamir edilmemiştir; yani araştırma sorusu "katı eşitsizlik" (yani ≠) ihtiva eder.
Sıfır hipotez ve karşıt hipotez oluşturulması
"Sıfır hipotez" (notasyona göre Ho) değerinin oluşturması için hiç problem yoktur. Her türlü parametrik sınamada ve özellikle μ için sınamada, sıfır hipoteze göre μ mutlaka belirtilen parametre değerine (μo) eşit olur:
- Ho: μ = μo
Araştırma sorusu ne olursa olsun mutlaka Ho bu prensibe uyar.
Fakat karşıt hipotez veya alternatif hipotez (notasyona göre H1) oluşturulması biraz karmaşık olabilir. Karşıt hipotez problemin istediği araştırma sorusu ile ortaya çıkar. Parametrik sınamada karsit hipotezin mutlaka uyduğu bir prensip vardır. Bu prensip
- Karşıt hipotez hiçbir zaman eşitlik olamaz.
Karşıt hipotezin ya "eşit değil (≠)" ya "daha düşük değerde (<)" ya da "daha yüksek değerde (>)" olması gerekir. Bunlardan hangisi olacağı önemlidir; çünkü istatistiksel sınamada reddetme bölgesinin nerede olacağı bu karşıt hipotez eşitsizlik şekline dayanır.
Problemin ve araştırma sorusunun tanınması icin ilk yapılacak, istenilen araştırma sorusunun parametrenin belirtilen değere eşit olması şartı ihtiva edip etmediğini tayin etmektir. Araştırma sorusu eşitsizliği ya eşitliği ihtiva eder ya ihtiva etmez ve bu gerçekten ayrı şekillerde karşıt hipotez ortaya çıkar. Bu alternatifleri bir sıraya koyalım ve her alternatifin örnek problemde nasıl ifade edileceğini gösterelim:
1. Eğer araştırma sorusu eşitlik ihtiva etmekteyse: Bu halde probleme çözüm, sıfır hipotezin kabul edilmesi ve karşıt hipotezin ret edilmesi ile verilecektir. Karşıt hipotez istenilen araştırma sorunun aksi işaretli olacaktır. Üç alternatif bulunabilir:
(1.a.) Araştırma sorusunda anakütle ortalamasının belirtilen değere eşit olduğu araştırılmakta ise:
Bu örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması 20kg midir yani μo=20kg ?" Bu halde araştırma sorusunun aksi işaretli karşıt hipotez μo≠20 kg olur yani hipotezler
- Ho=20 H1≠20
olur.
(1.b.) Araştırma sorusunda anakütle ortalamasının belirtilen değere eşit veya daha küçük olduğu araştırılmakta ise:
Bu örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması, 20kg veya daha aşağı değer de midir yani μo≤20kg ?" olur. Aksi işaretli karşıt hipotez bu halde μo>20 kg olur; yani hipotezler şunlardır:
- Ho=20 H1>20
(1.c.) Araştırma sorusunda anakütle ortalamasının belirtilen değere eşit veya daha büyük olduğu araştırılmakta ise:
Bu örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması 20kg veya daha yüksek değer de midir yani μo≥20kg ?" Bu halde araştırma sorusuna aksi işaretli karşıt hipotez μo<20 kg olur yani hipotezler
- Ho=20 H1<20
2. Eğer araştırma sorusu eşitsizlik ihtiva etmekteyse:
Bu halde probleme çözüm sıfır hipotezin ret edilmesi ve karşıt hipotezin kabul edilmesi ile verilecektir. Karşıt hipotez istenilen araştırma sorunun ayni işaretli olacaktır. Üç alternatif bulunabilir:
(2.a.) Anakütle ortalamasının belirtilen değere eşit olmadığı araştırma sorusudur:
Örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması 20kg değil midir yani μo≠20kg ?" Bu halde araştırma sorusuna ayni işaretli karşıt hipotez μo≠20 kg olur yani hipotezler
- Ho=20 H1≠20
(2.b.) Araştırma sorusu anakütle ortalamasının belirtilen değerden daha küçük olduğu araştırılmakta ise:
Bu örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması 20kgdan daha aşağı değer de midir yani μo<20kg ?" Ayni işaretli karşıt hipotez bu halde μo<20 kg olur; yani hipotezler
- Ho=20 H1<20
(2.c.) Araştırma sorusu anakütle ortalamasının belirtilen değerden daha büyük olduğu araştırılmakta ise:
Bu örnek problemde soru "Acaba dolum ortalaması 20kgdan daha yüksek değer de midir yani μo>20kg ?" Bu halde araştırma sorusuna ayni işaretli karşıt hipotez μo>20 kg olur yani hipotezler
- Ho=20 H1>20
Ör./ Verilen pratik problem için belirtilen anakütle ortalama değeri μ=20 olması yani
- Ho : μ = 20
Karşıt hipotez için hem ortalama 20 kg'den düşük hem de 20 kg'dan daha fazla dolum istenmeyen sonuçlar olduğu için karşıt hipotez anakütle ortalamasının 20 olmamasıdır; yani
- 'H1 : μ ≠ 20 .
Örnekleme dağılımı ve kritik değer belirlenmesi
Hipotez sınaması problemi için değişkenin dağılımı ve örneklem hacminin büyüklüğü, örnekleme dağılımı ve örnekleme dağılımı için kullanılması gereken olasılık dağılımını tespit etmek için kullanılır. Üç alternatif bulunur: 1. Anakütlenin normal dağılım gösterdiği bilinir veya bilindiği kabul edilir. Anakütle normal dağılım gösterirse örneklem hacmi ne olursa olsun (büyük veya küçük fark etmeden) örneklem ortalamasının örnekleme dağılımının normal dağılım olduğu; örnekleme dağılımının örnekleme ortalamasının belirtilen anakütle dağılımına yani;
- μ=μo
ve standart hatası (yani örneklem ortalamasının örnekleme dağılımının standart sapmasının ya verilen anakütle standart sapmasının veya kestirim anakütle standart sapmasının örneklem hacmi karesine bölünmesi) şu olur;
Bu halde örnekleme ortalamasının z-değeri, yani kritik değer, şöyle bulunur:
Bu nedenle bu türlü tek anakütle ortalaması sınaması z-testi olarak da adlandırılır.
2. Anakütlenin normal dağılım gösterdiği bilinmez ve bu varsayım olarak da kabul edilmez. Bu halde iki alternatif bulunmaktadır: (2.a.) Basit rastgele örneklem yöntemini göre elde edilmiş n ile ifade edilen büyüktür. Bu büyük örneklem hacmi pratikte örneklem veri sayısının 30'dan büyük olması yani
- n > 30
olarak kabul edilir. Bu halde örneklem ortalaması dağılımı için merkezsel limit teoremi uygulanabilir ve örnekleme dağılımı yaklaşık olarak
- μ=μo örnekleme ortalamalı
ve
örneklem standart hatalı bir normal dağılım ile belirlenir. Bu halde örnekleme ortalamasının z-değeri, kritik değer, şöyle bulunur:
Bu türlü tek anakütle ortalama sınaması da z-testi olarak adlandırılır.
(2.b.) Basit rastgele örneklem yöntemini göre elde edilmiş küçüktür yani
- n ≤ 30
Bu halde 1906'da Student" lakabını taşıyan William Sealy Gosset tarafından bulunan [[Student'in t dağılımı]] uygundur ve bu dağılımın t-testi adıyla küçük örneklem verileri için tek anakütle ortalaması için hipotez sınaması için kullanılması tavisye edilir. Bu halde hipotez testine t-testi adı verilir. Bu halde örnekleme ortalamasının t-değeri, kritik değer, şöyle bulunur:
Bu t-dağılımının tam tespiti için ν veya serbestlik derecesi adlı bir parametrenin bulunması da gerekir. Tek anakütle ortalaması için hipotez test için serbestlik derecesi örneklem hacmi eksi bir olur; yani
- ν = n - 1
olur.
Ör./ Verilen pratik alçı doldurma makinesi problemi için anakütlenin normal dağılım göstermesi varsayımı uygun görülebilir. Eğer anakütle için normallik varsayımı yapılmasa bile, örneklem hacmi 40 (yani n>30) olarak büyük olduğu kabul edilir. Ayrıca örneklem standart sapmasının anakütle standart sapması için en iyi kestirim olduğu varsayılır. Bu nedenle örnekleme dağılımı standart hatası şöyle hesaplanır:
ve z-değeri veya kritik değer
olur.
Ret alanının belirlenmesi
Ret alanı demek; standart normal dağılım (z-dağılım) veya Student'in t dağılımı (t-dağılımı) eğrisi altında ve ortasında seçtiğimiz (Ho'ın kabul alanı dışında kalan Ho'ın reddedilmesini sağlayan küçük alanlardır. Ret alanı karşıt hipoteze bağlıdır ve üç alternatif şekilde olur:
- Eğer karşıt hipotez eşitsizlik ise yani
- H1≠ μo
o zaman çift yönlüdür yani z-dağılımı veya t-dağılımı eğrilerinin alt-kuyruğu ve üst kuyruğunda bulunur. Eğer biraz ilerideki açıklanacak olan α kullanırsak her iki kuyruk altına kalan alan α/2 olur; iki kuyruktaki ret alanı toplamı α ve ortada bulunan ve kabul alanı 1-α olur.
- Eğer karşıt hipotez daha büyük ise yani
- H1 > μo
ise, o zaman sol-yönlüdür yani z-dağılımı veya t-dağılımı eğrilerinin üst-kuyruğunda bulunur. Bu kuyruk altına kalan alan ve ret alanı α ve ortada sağda bulunan ve kabul alanı 1-α olur.
- Eğer karşıt hipotez daha küçük ise yani
- H1 < μo
ise, o zaman sağ-yönlüdür yani z-dağılımı veya t-dağılımı eğrilerinin alt-kuyruğunda bulunur. Bu kuyruk altına kalan alan ve ret alanı α ve ortada solda bulunan ve kabul alanı 1-α olur.
Ör./Verilen pratik alçı doldurma makinesi problemi için karşıt hipotez 'H1 : μ ≠ 20 olduğu için ret alanı çift yönlüdür ve hem alt ve hem üst kuyrukta bulunur.
Anlamlılık seviyesi ve isteğe göre test istatistiği veya p-değeri saptanması
Anlamlılık seviyesinin belirlenmesi
Hatasız bir örneklem bulamayacağımız için her testte bir miktar yanılma riskimiz vardır. Bunu 0,05 ; 0,01 ; 0,005 ; 0,0001;... gibi bir seviye olarak benimseyebiliriz. Yanılma payımız küçüldükçe, testin de küçülür. O nedenle olabildiğince az yanılma ile test yapmak isterler. Yine de α =0,05 ve &alfa;=0,01 düzeyleri en çok kullanılanlardır.
Ör./ Alçı doldurma makinesi problemi için α=0,05 seçelim.
Burada tek anakutle ortalaması için hipotez sınaması, her turlu parametrik hipotez sınaması gibi, iki alternatif şekilde devem edilebilir: ya '"test istatistiği" bulunur ya da "p-değeri" bulunur.
İstenirse test istatistiği belirlenmesi
Birinci alternatif, hesapların elle yapılması ve özel standart normal veya Student-t dağılımı tabloları kullanılması için çok uygundur ve eski usulde yapılan analizdir. Bu halde "anlamlılık seviyesi"ne uygun bir z-skor veya t-skoru (yani bu seviyeye tekabül eden normal veya t-eğrileri altındaki alanlar) bulunur. Buna test istatistiği denilir. Buna hedef elde elde edilen kritik değer ile tablodan bulunan test istatistiğini karşılaştırmaktır. Yani bulunacak test istatistiği"
- İki-yönlü ret alanı için iki sınır değer ± zα÷2 veya ±tν,α÷2 ν=n-1;
- Sağ-yönlü ret alanı için alt sınır değer: +zα veya +tν,α ν=n-1;
- Sol-yönlü ret alanı için üst sınır değer: -zα veya -tν,α ν=n-1
olur. Bunlar için özel standart normal dağılım tablosu veya Student t dağılım tablosu bulunur.
Or./Verilen pratik alçı doldurma makinesi problemi için iki-yönlü ret alanı olduğunu bulmuş, z-dağılımının uygun olduğunu tespit etmiş ve anlamlılık seviyesini 0,05 olduğunu kabul etmiştir; böylece "test istatistiği"
- ± z0,05/2 = ±z0,025
olur. Bir "standart normal dağılım tablosu"na bakarsak, "test istatistiği"nin değerinin ±1.96 olduğu bulunur.
İstenirse p-değeri belirlenmesi
İkinci alternatif, hesapların kompüter kullanılarak yapılması suretiyle ortaya çıkar. Örneğin "Open Office Calc" gibi programları özel olarak NORMAL veya TDIST fonksiyonları için komutaları kullanarak veya "R" özel "istatistik paketi" programlarını kullanarak ters-Z veya ters-t yöntemi ile "p-değeri" bulunur. "P-değeri" kritik değer olan z-değer veya t-değerin, karşıt eğrilerin altında ne kadar alan kapladıklarını yani kritik değer olasılığını (p İngilizce "probabaility" kelimesinden çıkarılmış) bulmaktır. Genel olarak p-değeri hep üst-kuyruk altında kalan alan değerini verir; ama bunun kullanılan "kutuçizim" ve "istatistik paketi" programlarında kontrol edilmesi gerekir çünkü değişik kuyruk değerleri de verildiği görülür. Böylece bu p-olasılığı "anlamlılık seviyesi" olasılığı ile karşılaştırmak hedef alınır.
Karşılaştırma, sonuç ve yorum
Bir hipotez testinde sonuç
- ya "sıfır hipotezi red etmek" yani "karşıt hipotezi" kabul etmek
- ya da "sıfır hipotezi kabul etmek" yani "karşıt hipotezi" reddetmek;
olur. Bunun için önceki basamaktaki kullanılan iki alternatife göre şu karşılaştırmadan biri yapılır:
- ya "kritik değer" ile "test istatistiği" ;
- ya da "p-değeri" ile "anlamlılık seviyesi" .
Bu karşılaştırmaya göre sonuç ret alanına düşerse "sıfır hipotez" reddedilir:
- "Kritik değer" ile "test istatistiği" karşılaştırılması halinde:
- Eğer ret alanı iki-yönlü ise, "kritik değer" pozitif ve negatif iki "test istatistiği" değerleri dışına düşerse;
- Eğer ret alanı sağ-yönlü ise, "kritik değer" pozitif "test istatistiği" değerinden yüksekse;
- Eğer ret alanı sol-yönlü ise, "kritik değer" negatif "test istatistiği" değerinden düşükse;
- "p-değer" ile "anlamlılık seviyesi" karşılaştırılması halinde:
- Eğer ret alanı iki-yönlü ise, "p-değeri" - alpha/2; değeri altına ve + alpha/2 üstüne düşerse;
- Eğer ret alanı sağ-yönlü ise, "p-değeri değeri" +alpha değerinden altına düşerse;
- Eğer ret alanı sol-yönlü ise, "kritik değer" -alpha değerinden üstüne düşerse.
Or/ Örnek alçı doldurma makinesi problemi için şu karşılaştırmalar yapılıp sonuç çıkartılabilir:
- İki-yönlü ret alanı: Kritik değer=2,767. Test istatistiği=±1,96. Kritik değer pozitif +1.96 dışına düşmekte. "Sıfır hipotez" ret edilmelidir ("Karşıt hipotez" kabul edilmelidir.)
- İki yönlü ret alanı: p-değeri= ...... + alpha/2=±0,025. p-değeri üst +0.025 seviyesinden daha küçüktür. "Sıfır hipotez" ret edilmelidir ("Karşıt hipotez" kabul edilmelidir.)
Bu duruma göre: elimizdeki örneklemin ortalaması, problem için anakütlenin ortalamasından çok uzağa düşen bir büyüklüktedir ve Ho hipotezini kabul edilemez. Demek ki, bu makine hatalı dolum yapmakta, ortalaması 20 kg olan dolumlar gerçekleştirememektedir.
Hipotez sınaması ve güven aralığı
Genel olarak hipotez sınaması ve güven aralığı değişik matematik ve felsefi önerilere bağlı olarak geliştirilmişlerdir. Bu nedenle bu iki çıkarımsal istatistik yöntemini birbiri ile karıştırmamak ve ikisini ayrı olarak ayrı şekilde kullanmak tavsiye edilmektedir.
Fakat yine de bazı istatistik ders kitapları &alpha anlamlılık seviyesine göre iki-yönlü ret alanı bulunan hipotez sınaması problemi çözmekte iken, aralık kestirimi-güven aralığı kavramları kullanarak (1-&alpha) güven seviyeli bir güven aralığı ortaya çıkarmakta; bu güven aralığının alt ve üst sınırlarını sıfır hipotez olarak belirtilen anakütle ortalaması ile karşılaştırmakta ve eğer sıfır hipotez μ değeri güven aralığı alt ve üst değerleri arasında kalırsa sıfır hipotezi kabul etmekte ve dışında kalırsa sıfır hipotezi reddetmektedirler.
Bu çeşit bir "çözüm" (eğer çözüm denilirse), bir olasılık ölçüsü olan "anlamlılık seviyesi" (&alpha) kavramı ile bir olasılık ölçüsü olmayan ile (ama yine notasyonla 1-%alpha şeklinde olan) çokluluk seviyesi olan "güven seviyesi" kavramını karıştırmaya dayanmaktadır. Bu kavram karışıklığının yapılmaması çok daha uygun bir tutum ve yaklaşım olacağı gayet açıktır.
Dipnotlar
Ayrıca bakınız
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu madde Vikipedi bicem el kitabina uygun degildir Maddeyi Vikipedi standartlarina uygun bicimde duzenleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Gerekli duzenleme yapilmadan bu sablon kaldirilmamalidir Aralik 2018 Tek anakutle ortalamasi icin parametrik hipotez sinamasi veya tek orneklem icin sinama veya m icin sinama bir rastgele orneklem ortalamasi ile bu orneklemin cekilmis oldugunu dusundugumuz anakutlenin m ile belirtilen anakutle ortalamasi hakkinda bir hipotez degeri belirtilmesinin anlamli olup olmadigini arastirmamizi saglayan Tek anakutle ortalamasi testi icin temel varsayimlarOrnekleme alinan birimler birbirlerinden bagimsiz olarak rastgele secilmis olmalari Anakutle ya normal dagilima sahip olmali ya da orneklem hacminin iyice bilinmesi Tek anakutle ortalamasi hipotez testinin asamalariBir anakutleden kullanarak n orneklem buyuklugu olan bir rastgele orneklem ele gecirilir istenilen degerler olculur ve x displaystyle bar x x bar diye okunur degerindeki orneklem ortalamasi bulunur Hipotez sinamasi yonteminde arastirma hedefi bu orneklemin soz konusu anakutleden cekilmis olup olamayacagini ya da kaynagi olan anakutleden cekilmis olabilmesinin olasiliginin ne olabilecegini ortaya koymaktir Incelenen arastirma sorusu belirlenmesi Sifir hipotez ve olusturulmasi Ornekleme dagilimi ve kritik deger belirlenmesi Ret alaninin belirlenmesi Anlamlilik seviyesi ve su iki alternatiften biri Test istatistigi saptanmasi p degeri saptanmasi Karsilastirmalar sonuc ve yorumBir pratik ornek problem Alci dolum makinemiz mo 20 kg ortalama agirlikli alci dolumu yaparken ariza yapar Tamirci getirip tamir ettiririz Acaba yine mo 20kglik dolum yapabilecek mi Deneme yapip gormek lazim 40 torba basit rastgele ornekleme yontemine gore secilip bu 40 alci torbasi agirliklari soyle olculmustur X1 displaystyle X 1 19 8 kg X2 displaystyle X 2 20 5 kg X3 displaystyle X 3 21 2 kg X4 displaystyle X 4 18 9 kg X40 displaystyle X 4 0 20 8 kg Orneklem istatistikleri soyle hesaplanmistir Orneklem buyuklugu n 40 torba Orneklem ortalamasi x displaystyle bar x 21 4 kg Orneklem standart sapmasi s 3 2 kg Bu problem icin yapilan varsayimlar Anakutle yani alci dolum makinesinin yaptigi dolum miktarlari normal dagilima uymaktadir Dolum icin anakutle standart sapmasi bilinmemekte ama yanlilik icin ayarlama yapilan orneklem standart sapmasi s anakutle standart sapmasi s icin iyi bir kestirimdir Incelenen arastirma sorusunun belirlenmesi Arastirma sorunu tek bir anakutle parametresi yani anakutle ortalamasi m displaystyle mu hakkindadir Bu anakutle ortalama degeri tam olarak bilinmemekte ve belirlenen bir hipotez degerde m0 displaystyle mu 0 Mu sifir diye okunur oldugu varsayilmaktadir Hipotez testi anakutle ortalamasina verilen deger hakkindadir Istenilen arastirma sorusunun tayininde en onemli ilk adim arastirma sorusunun tayininde istenilen veya istenmeyen alternatifler ile test edilecek parametrenin belirtilen bir degere esitsizlik sartina bakilmasidir Bu esitsizlik bir kati esitsizlik midir yani veya gt veya lt yoksa bir esitligi de ihtiva eden bir zayif esitsizlik midir veya Arastirma sorusunun ya kati esitsizligi ihtiva edip etmedigini mantik yuruterek bulmak gerekmektedir Or Verilen alci doldurma makinesi ornek problemi icin belirtilen anakutle ortalama degerinin m 20 olmasi gerekir Biraz mantik yurutursek hem doldurma ortalamasinin 20 kg den dusuk dolus yapmasinin hem de dolusun 20 kg dan daha fazla olmasi halinin istenmeyen sonuclar oldugunu kabul edebiliriz Eger anakutle ortalamasi 20 kg degilse makine istege uygun tamir edilmemistir yani arastirma sorusu kati esitsizlik yani ihtiva eder Sifir hipotez ve karsit hipotez olusturulmasi Sifir hipotez notasyona gore Ho degerinin olusturmasi icin hic problem yoktur Her turlu parametrik sinamada ve ozellikle m icin sinamada sifir hipoteze gore m mutlaka belirtilen parametre degerine mo esit olur Ho m mo dd Arastirma sorusu ne olursa olsun mutlaka Ho bu prensibe uyar Fakat karsit hipotez veya alternatif hipotez notasyona gore H1 olusturulmasi biraz karmasik olabilir Karsit hipotez problemin istedigi arastirma sorusu ile ortaya cikar Parametrik sinamada karsit hipotezin mutlaka uydugu bir prensip vardir Bu prensip Karsit hipotez hicbir zaman esitlik olamaz dd Karsit hipotezin ya esit degil ya daha dusuk degerde lt ya da daha yuksek degerde gt olmasi gerekir Bunlardan hangisi olacagi onemlidir cunku istatistiksel sinamada reddetme bolgesinin nerede olacagi bu karsit hipotez esitsizlik sekline dayanir Problemin ve arastirma sorusunun taninmasi icin ilk yapilacak istenilen arastirma sorusunun parametrenin belirtilen degere esit olmasi sarti ihtiva edip etmedigini tayin etmektir Arastirma sorusu esitsizligi ya esitligi ihtiva eder ya ihtiva etmez ve bu gercekten ayri sekillerde karsit hipotez ortaya cikar Bu alternatifleri bir siraya koyalim ve her alternatifin ornek problemde nasil ifade edilecegini gosterelim 1 Eger arastirma sorusu esitlik ihtiva etmekteyse Bu halde probleme cozum sifir hipotezin kabul edilmesi ve karsit hipotezin ret edilmesi ile verilecektir Karsit hipotez istenilen arastirma sorunun aksi isaretli olacaktir Uc alternatif bulunabilir 1 a Arastirma sorusunda anakutle ortalamasinin belirtilen degere esit oldugu arastirilmakta ise Bu ornek problemde soru Acaba dolum ortalamasi 20kg midir yani mo 20kg Bu halde arastirma sorusunun aksi isaretli karsit hipotez mo 20 kg olur yani hipotezler Ho 20 H1 20 olur 1 b Arastirma sorusunda anakutle ortalamasinin belirtilen degere esit veya daha kucuk oldugu arastirilmakta ise Bu ornek problemde soru Acaba dolum ortalamasi 20kg veya daha asagi deger de midir yani mo 20kg olur Aksi isaretli karsit hipotez bu halde mo gt 20 kg olur yani hipotezler sunlardir Ho 20 H1 gt 20 1 c Arastirma sorusunda anakutle ortalamasinin belirtilen degere esit veya daha buyuk oldugu arastirilmakta ise Bu ornek problemde soru Acaba dolum ortalamasi 20kg veya daha yuksek deger de midir yani mo 20kg Bu halde arastirma sorusuna aksi isaretli karsit hipotez mo lt 20 kg olur yani hipotezler Ho 20 H1 lt 20 2 Eger arastirma sorusu esitsizlik ihtiva etmekteyse Bu halde probleme cozum sifir hipotezin ret edilmesi ve karsit hipotezin kabul edilmesi ile verilecektir Karsit hipotez istenilen arastirma sorunun ayni isaretli olacaktir Uc alternatif bulunabilir 2 a Anakutle ortalamasinin belirtilen degere esit olmadigi arastirma sorusudur Ornek problemde soru Acaba dolum ortalamasi 20kg degil midir yani mo 20kg Bu halde arastirma sorusuna ayni isaretli karsit hipotez mo 20 kg olur yani hipotezler Ho 20 H1 20 2 b Arastirma sorusu anakutle ortalamasinin belirtilen degerden daha kucuk oldugu arastirilmakta ise Bu ornek problemde soru Acaba dolum ortalamasi 20kgdan daha asagi deger de midir yani mo lt 20kg Ayni isaretli karsit hipotez bu halde mo lt 20 kg olur yani hipotezler Ho 20 H1 lt 20 2 c Arastirma sorusu anakutle ortalamasinin belirtilen degerden daha buyuk oldugu arastirilmakta ise Bu ornek problemde soru Acaba dolum ortalamasi 20kgdan daha yuksek deger de midir yani mo gt 20kg Bu halde arastirma sorusuna ayni isaretli karsit hipotez mo gt 20 kg olur yani hipotezler Ho 20 H1 gt 20 Or Verilen pratik problem icin belirtilen anakutle ortalama degeri m 20 olmasi yani Ho m 20 dd Karsit hipotez icin hem ortalama 20 kg den dusuk hem de 20 kg dan daha fazla dolum istenmeyen sonuclar oldugu icin karsit hipotez anakutle ortalamasinin 20 olmamasidir yani H1 m 20 dd Ornekleme dagilimi ve kritik deger belirlenmesi Hipotez sinamasi problemi icin degiskenin dagilimi ve orneklem hacminin buyuklugu ornekleme dagilimi ve ornekleme dagilimi icin kullanilmasi gereken olasilik dagilimini tespit etmek icin kullanilir Uc alternatif bulunur 1 Anakutlenin normal dagilim gosterdigi bilinir veya bilindigi kabul edilir Anakutle normal dagilim gosterirse orneklem hacmi ne olursa olsun buyuk veya kucuk fark etmeden orneklem ortalamasinin ornekleme dagiliminin normal dagilim oldugu ornekleme dagiliminin ornekleme ortalamasinin belirtilen anakutle dagilimina yani m mo dd ve standart hatasi yani orneklem ortalamasinin ornekleme dagiliminin standart sapmasinin ya verilen anakutle standart sapmasinin veya kestirim anakutle standart sapmasinin orneklem hacmi karesine bolunmesi su olur SH sn displaystyle mathrm SH frac sigma sqrt n dd Bu halde ornekleme ortalamasinin z degeri yani kritik deger soyle bulunur z X mSH displaystyle z frac overline X mu mathrm SH dd Bu nedenle bu turlu tek anakutle ortalamasi sinamasi z testi olarak da adlandirilir 2 Anakutlenin normal dagilim gosterdigi bilinmez ve bu varsayim olarak da kabul edilmez Bu halde iki alternatif bulunmaktadir 2 a Basit rastgele orneklem yontemini gore elde edilmis n ile ifade edilen buyuktur Bu buyuk orneklem hacmi pratikte orneklem veri sayisinin 30 dan buyuk olmasi yani n gt 30 dd olarak kabul edilir Bu halde orneklem ortalamasi dagilimi icin merkezsel limit teoremi uygulanabilir ve ornekleme dagilimi yaklasik olarak m mo ornekleme ortalamali dd ve SH sn displaystyle mathrm SH frac sigma sqrt n dd orneklem standart hatali bir normal dagilim ile belirlenir Bu halde ornekleme ortalamasinin z degeri kritik deger soyle bulunur z X mSE displaystyle z frac overline X mu mathrm SE dd Bu turlu tek anakutle ortalama sinamasi da z testi olarak adlandirilir 2 b Basit rastgele orneklem yontemini gore elde edilmis kucuktur yani n 30 dd Bu halde 1906 da Student lakabini tasiyan William Sealy Gosset tarafindan bulunan Student in t dagilimi uygundur ve bu dagilimin t testi adiyla kucuk orneklem verileri icin tek anakutle ortalamasi icin hipotez sinamasi icin kullanilmasi tavisye edilir Bu halde hipotez testine t testi adi verilir Bu halde ornekleme ortalamasinin t degeri kritik deger soyle bulunur t X mSH displaystyle t frac overline X mu mathrm SH dd Bu t dagiliminin tam tespiti icin n veya serbestlik derecesi adli bir parametrenin bulunmasi da gerekir Tek anakutle ortalamasi icin hipotez test icin serbestlik derecesi orneklem hacmi eksi bir olur yani n n 1 dd olur Or Verilen pratik alci doldurma makinesi problemi icin anakutlenin normal dagilim gostermesi varsayimi uygun gorulebilir Eger anakutle icin normallik varsayimi yapilmasa bile orneklem hacmi 40 yani n gt 30 olarak buyuk oldugu kabul edilir Ayrica orneklem standart sapmasinin anakutle standart sapmasi icin en iyi kestirim oldugu varsayilir Bu nedenle ornekleme dagilimi standart hatasi soyle hesaplanir SH sn 3 240 0 506 displaystyle mathrm SH frac sigma sqrt n frac 3 2 sqrt 40 0 506 dd ve z degeri veya kritik deger z X mSH 21 4 200 506 2 767 displaystyle z frac overline X mu mathrm SH frac 21 4 20 0 506 2 767 dd olur Ret alaninin belirlenmesi Ret alani demek standart normal dagilim z dagilim veya Student in t dagilimi t dagilimi egrisi altinda ve ortasinda sectigimiz Ho in kabul alani disinda kalan Ho in reddedilmesini saglayan kucuk alanlardir Ret alani karsit hipoteze baglidir ve uc alternatif sekilde olur Eger karsit hipotez esitsizlik ise yaniH1 mo o zaman cift yonludur yani z dagilimi veya t dagilimi egrilerinin alt kuyrugu ve ust kuyrugunda bulunur Eger biraz ilerideki aciklanacak olan a kullanirsak her iki kuyruk altina kalan alana 2olur iki kuyruktaki ret alani toplami a ve ortada bulunan ve kabul alani 1 a olur Eger karsit hipotez daha buyuk ise yaniH1 gt mo ise o zaman sol yonludur yani z dagilimi veya t dagilimi egrilerinin ust kuyrugunda bulunur Bu kuyruk altina kalan alan ve ret alani a ve ortada sagda bulunan ve kabul alani 1 a olur Eger karsit hipotez daha kucuk ise yaniH1 lt mo ise o zaman sag yonludur yani z dagilimi veya t dagilimi egrilerinin alt kuyrugunda bulunur Bu kuyruk altina kalan alan ve ret alani a ve ortada solda bulunan ve kabul alani 1 a olur Or Verilen pratik alci doldurma makinesi problemi icin karsit hipotez H1 m 20 oldugu icin ret alani cift yonludur ve hem alt ve hem ust kuyrukta bulunur Anlamlilik seviyesi ve istege gore test istatistigi veya p degeri saptanmasi Anlamlilik seviyesinin belirlenmesi Hatasiz bir orneklem bulamayacagimiz icin her testte bir miktar yanilma riskimiz vardir Bunu 0 05 0 01 0 005 0 0001 gibi bir seviye olarak benimseyebiliriz Yanilma payimiz kuculdukce testin de kuculur O nedenle olabildigince az yanilma ile test yapmak isterler Yine de a 0 05 ve amp alfa 0 01 duzeyleri en cok kullanilanlardir Or Alci doldurma makinesi problemi icin a 0 05 secelim Burada tek anakutle ortalamasi icin hipotez sinamasi her turlu parametrik hipotez sinamasi gibi iki alternatif sekilde devem edilebilir ya test istatistigi bulunur ya da p degeri bulunur Istenirse test istatistigi belirlenmesi Birinci alternatif hesaplarin elle yapilmasi ve ozel standart normal veya Student t dagilimi tablolari kullanilmasi icin cok uygundur ve eski usulde yapilan analizdir Bu halde anlamlilik seviyesi ne uygun bir z skor veya t skoru yani bu seviyeye tekabul eden normal veya t egrileri altindaki alanlar bulunur Buna test istatistigi denilir Buna hedef elde elde edilen kritik deger ile tablodan bulunan test istatistigini karsilastirmaktir Yani bulunacak test istatistigi Iki yonlu ret alani icin iki sinir deger za 2 veya tn a 2 n n 1 Sag yonlu ret alani icin alt sinir deger za veya tn a n n 1 Sol yonlu ret alani icin ust sinir deger za veya tn a n n 1 olur Bunlar icin ozel standart normal dagilim tablosu veya Student t dagilim tablosu bulunur Or Verilen pratik alci doldurma makinesi problemi icin iki yonlu ret alani oldugunu bulmus z dagiliminin uygun oldugunu tespit etmis ve anlamlilik seviyesini 0 05 oldugunu kabul etmistir boylece test istatistigi z0 05 2 z0 025 olur Bir standart normal dagilim tablosu na bakarsak test istatistigi nin degerinin 1 96 oldugu bulunur Istenirse p degeri belirlenmesi Ikinci alternatif hesaplarin komputer kullanilarak yapilmasi suretiyle ortaya cikar Ornegin Open Office Calc gibi programlari ozel olarak NORMAL veya TDIST fonksiyonlari icin komutalari kullanarak veya R ozel istatistik paketi programlarini kullanarak ters Z veya ters t yontemi ile p degeri bulunur P degeri kritik deger olan z deger veya t degerin karsit egrilerin altinda ne kadar alan kapladiklarini yani kritik deger olasiligini p Ingilizce probabaility kelimesinden cikarilmis bulmaktir Genel olarak p degeri hep ust kuyruk altinda kalan alan degerini verir ama bunun kullanilan kutucizim ve istatistik paketi programlarinda kontrol edilmesi gerekir cunku degisik kuyruk degerleri de verildigi gorulur Boylece bu p olasiligi anlamlilik seviyesi olasiligi ile karsilastirmak hedef alinir Karsilastirma sonuc ve yorum Bir hipotez testinde sonuc ya sifir hipotezi red etmek yani karsit hipotezi kabul etmek ya da sifir hipotezi kabul etmek yani karsit hipotezi reddetmek olur Bunun icin onceki basamaktaki kullanilan iki alternatife gore su karsilastirmadan biri yapilir ya kritik deger ile test istatistigi ya da p degeri ile anlamlilik seviyesi Bu karsilastirmaya gore sonuc ret alanina duserse sifir hipotez reddedilir Kritik deger ile test istatistigi karsilastirilmasi halinde Eger ret alani iki yonlu ise kritik deger pozitif ve negatif iki test istatistigi degerleri disina duserse Eger ret alani sag yonlu ise kritik deger pozitif test istatistigi degerinden yuksekse Eger ret alani sol yonlu ise kritik deger negatif test istatistigi degerinden dusukse p deger ile anlamlilik seviyesi karsilastirilmasi halinde Eger ret alani iki yonlu ise p degeri alpha 2 degeri altina ve alpha 2 ustune duserse Eger ret alani sag yonlu ise p degeri degeri alpha degerinden altina duserse Eger ret alani sol yonlu ise kritik deger alpha degerinden ustune duserse Or Ornek alci doldurma makinesi problemi icin su karsilastirmalar yapilip sonuc cikartilabilir Iki yonlu ret alani Kritik deger 2 767 Test istatistigi 1 96 Kritik deger pozitif 1 96 disina dusmekte Sifir hipotez ret edilmelidir Karsit hipotez kabul edilmelidir Iki yonlu ret alani p degeri alpha 2 0 025 p degeri ust 0 025 seviyesinden daha kucuktur Sifir hipotez ret edilmelidir Karsit hipotez kabul edilmelidir Bu duruma gore elimizdeki orneklemin ortalamasi problem icin anakutlenin ortalamasindan cok uzaga dusen bir buyukluktedir ve Ho hipotezini kabul edilemez Demek ki bu makine hatali dolum yapmakta ortalamasi 20 kg olan dolumlar gerceklestirememektedir Hipotez sinamasi ve guven araligiGenel olarak hipotez sinamasi ve guven araligi degisik matematik ve felsefi onerilere bagli olarak gelistirilmislerdir Bu nedenle bu iki cikarimsal istatistik yontemini birbiri ile karistirmamak ve ikisini ayri olarak ayri sekilde kullanmak tavsiye edilmektedir Fakat yine de bazi istatistik ders kitaplari amp alpha anlamlilik seviyesine gore iki yonlu ret alani bulunan hipotez sinamasi problemi cozmekte iken aralik kestirimi guven araligi kavramlari kullanarak 1 amp alpha guven seviyeli bir guven araligi ortaya cikarmakta bu guven araliginin alt ve ust sinirlarini sifir hipotez olarak belirtilen anakutle ortalamasi ile karsilastirmakta ve eger sifir hipotez m degeri guven araligi alt ve ust degerleri arasinda kalirsa sifir hipotezi kabul etmekte ve disinda kalirsa sifir hipotezi reddetmektedirler Bu cesit bir cozum eger cozum denilirse bir olasilik olcusu olan anlamlilik seviyesi amp alpha kavrami ile bir olasilik olcusu olmayan ile ama yine notasyonla 1 alpha seklinde olan cokluluk seviyesi olan guven seviyesi kavramini karistirmaya dayanmaktadir Bu kavram karisikliginin yapilmamasi cok daha uygun bir tutum ve yaklasim olacagi gayet aciktir DipnotlarAyrica bakinizOrtalama Anlamlilik seviyesi Guven araligi p degeri Standart normal dagilim Student in t dagilimi