Bu maddedeki bilgilerin için ek kaynaklar gerekli.Şubat 2021) () ( |
Bu madde, uygun değildir.Şubat 2021) ( |
Fizikte, bir kuvvet bir cisim üzerine etki ettiğinde ve kuvvetin uygulama yönünde konum değişikliği olduğunda iş yaptığı söylenir. Örneğin, bir valizi yerden kaldırdığınızda, valiz üzerine yapılan iş kaldırıldığı yükseklik süresince ağırlığını kaldırmak için aldığı kuvvettir.
İş | |
Bir beyzbol atıcısı top üzerinde pozitif iş yaparken çekilen fotoğraflar. | |
Yaygın sembol(ler): | W |
SI nicelik boyutu: | 1 kg·m2/s2 |
SI birimi: | joule (J) |
Diğer niceliklerden türetimi: | W = F · s W = τ θ |
İş terimi ilk kez 1826 yılında Fransız matematikçi Gaspard-Gustave Coriolis tarafından sel altında kalmış madenlerden suyu çıkartmak için kullanılan eski buhar makinelerinin kullanımına dayanan “yükseklik boyu kaldırılan ağırlık olarak tanımlanmıştır. Uluslararası Birimler Sistemi (SI)’ndeki iş birimi newton-metre ya da jouledür.
F genliğinde sabit bir güç tarafından bir s yerdeğişimini hareket ettiren noktaya kuvvet doğrultusunda yapılan iş üründür.
Örneğin, 10 newtonluk bir kuvvet 2 metrelik yol giden bir noktaya uygulanırsa, W = (10 N)(2 m) = 20 N m = 20 J iş yapmış olur. Bu yaklaşık olarak 1 kg ağırlığın yerden bir insanın kafa hizasına kadar yerçekimi kuvvetine karşı kaldırılırken yapılan iştir. İşin aynı yükseklikte iki kat ağırlık ya da aynı ağırlıkta iki kat yüksekliğe kaldırılmasıyla ikiye katlandığını göz önüne alın.
Birimler
İş bir metrelik mesafe boyunca bir newtonluk kuvvet tarafında harcanmış enerji olarak tanımlanan joule (J)’dür. Eş değer ölçüde Newton-metre (N•m) bazen işin ölçüm birimi olarak kullanılır fakat bu dönme momenti ölçüm birimi olan Newton-metre birimiyle karıştırılabilir. Newton-metre olarak ifade edilen niceliğin dönme momenti ölçümü mü yoksa enerji ölçümümü olduğu konusunda karışıklığa neden olabileceği için Nm kullanımı SI yetkilileri tarafından kaldırılmıştır. SI dışındaki iş birimleri erg, ayak-libre, kilovat saat, litre-atmosfer ve beygir gücü-saattir. İşin ısıyla aynı fiziksel boyuta sahip olmasından dolayı, bazen kalori, BTU gibi genel olarak ısı veya enerji içeriğine mahsus ölçüm birimleri kullanılır.
- 1 N-m = kg m²/s²
- 1 Joule (J) = 1 N-m
- 1 Joule = 0,239 Kalori (cal) veya 1 cal = 4,184 J .
- Elektronvolt (eV)
- 1 İngiliz Isı Birimi (BTU) = 1,055 J, 1 kWh = 3412 BTU veya 1 BTU = 0,0002931 kWh
- 1 Watt-saat (W.h) = 3,600 J,
- 1 Kilowatt saat (kWh) = 1000 Wh, 1 kWh = 3.600.000 J
- 1 erg (Yunanca ergon: iş) = 10−7 J
- Foot - pound (ft lb), 1 ft lb = 1.356 N-m
- litre-atmosfer (l.atm)
İş ve Enerji
İş enerji ile yakından ilişkilidir. Enerjinin korunumu yasası bir sistemin toplam iç enerjisindeki değişimin eklenen ısıdan sistem tarafından yapılan işin çıkarılmasına eşit olduğunu öne sürer.
F sembolü ısı (Q) ve işin (W) kesin olmayan diferansiyeli olduğunu gösterir. Newton’un ikinci yasasından, serbest, katı bir cisim üzerine yapılan işin bu cismin rotasyon ve süratinin kinetik enerjisindeki değişime eşit olduğu görülebilir.[]
Potansiyel fonksiyon tarafından ortaya çıkarılan iki kuvvet potansiyel enerji olarak bilinir ve bu kuvvetler korunumludur denir. Böylece yalnızca korunumlu kuvvet alanına rotasyon ve süratta değişiklik olmadan yerleştirilmiş bir nesne üzerindeki iş nesnenin (-) potansiyel enerjisinin değişimine eşittir.[]
Bu formüller işin bir kuvvetin hareketiyle ilgili enerjisi olduğunu gösterir, yani iş sonradan enerjinin fiziksel boyutlarını ve birimlerini sahip olur.[] Burada tartışılan iş/enerji prensipleri elektrik iş/enerji prensiplerine benzerdir.
Belirleyici Kuvvetler
Belirleyici güçler nesneyi bir sınır içerisinde kısıtlı tutan bir sistemdeki bileşenlerin hareketini belirler (yerçekimi ve bir eğim durumunda, nesne eğime yapışır, gergin bir tele tutturulduğunda teli daha da germek için ileriye doğru hareket edemez). Belirleyicinin yönündeki bütün hareketleri ortadan kaldırırlar, yani belirleyici kuvvetler o nesnenin süratı bu kuvvete 0 paralel olmaya zorlandığı için bu kuvvet dolayısıyla sistem üzerinde iş yapmazlar.[]
Örneğin, düzgün dairesel hareket yanında bir top üzerindeki bir yay tarafından içeriye doğru uygulanan merkezcil kuvvet topu hareketini dairenin merkezinden uzağa doğru sınırlandıran dairesel harekete zorlar. Bu kuvvet sıfır iş yapar çünkü topun süratine diktir. Bir diğer örnek ise masa üzerinde duran kitaptır. Eğer masa üzerinde kayması için kitaba dış kuvvetler uygulanırsa, masa tarafından uygulanan kuvvet kitabın aşağıya doğru hareketini kısıtlar. Masa tarafından uygulanan kuvvet kitabı destekler ve hareketine dikeydir, bu da belirleyici kuvvetin iş yapmadığı anlamına gelir.[]
Yüklü bir parçacık üzerindeki manyetik güç F = qv × B’dir, burada q yük, v parçacığın sürati ve B manyetik alan. Çapraz çarpım sonucu daima orijinal vektörlerin her ikisine de diktir, yani F ⊥ v. İki dikey vektörün iç çarpım ürünü daima sıfırdır yani iş W = F · v = 0’dır ve manyetik güç iş yapmaz. Hareketin yönünü değiştirebilir ama hiçbir zaman sürati değiştiremez.[]
Matematiksel Hesaplama
Nesneleri hareket ettirmek için, iş/zaman niceliği mesafe/zaman ya da sürat olarak hesaplanır. Yani, herhangi bir anda, kuvvet (joules/saniye ya da watt olarak ölçülen) tarafından yapılan bir işin değeri kuvvetin ve uygulama noktasının sürat vektörünün skaler çarpımıdır. Sürat ve kuvvetin skaler çarpımı ani güç olarak sınıflandırılır. Matematik temel teoremince, süratler bütün bir mesafeyi almak için zamanla birleşebileceklerinden, bir yol boyunca toplam iş benzer şekilde uygulama noktası yörüngesi boyunca uygulanan ani gücün zaman-integralidir.
İş bir mesafe boyunca hareket eden bir nokta üzerindeki kuvvetin sonucudur. Nokta hareket ettikçe, her and X eğrisini v sürati ile takip eder. dt bir anında oluşan küçük mikardaki δW işi
F.v dt anı üzerindeki güçtür. Noktanın gidişatı üzerindeki bu küçük miktardaki işlerin şu sonucu verir;
C x(t1) x(t2))’e olan gidim izidir. Bu integral parçacığın gidişatı boyunca hesaplanmıştır ve bu yüzden bağımlı opsiyon denir.
Eğer kuvvet daime bu hat boyu yönlendirilirse ve kuvvetin genliği F ise, bu integral şöyle sadeleştirilir:
s hat boyunca olan mesafedir. Eğer F hat boyunca yönelmesinin yanı sıra sabit ise o zaman integral şu şekilde sadeleştirilir:
s nokta tarafından hat boyunca gidilen mesafedir.
Bu hesaplama hat boyu yönelmeyen, parçacık tarafından takip edilmeyen sabit bir güç olarak genellenebilir. Bu durumda θ’nın kuvvet vektörü ve hareket yönü arasındaki açıyı gösterdiği F·ds = Fcosθds iç çarpımı:
Bir cisme uygulanan kuvvetin daima sürat vektöründen 90 derece açıda olması durumunda ( bir cisim merkezcil kuvvet altında bir dairede hareket ettiğinde), 90 derecenin kosinüsü sıfır olduğunda hiç iş yapılmamış olur. Yani, dairesel yörüngeli bir gezegen (bütün yörüngeler biraz eliptik olduğu için ideal budur) üzerinde yerçekimi tarafından hiç iş yapılamaz. Ayrıca, mekanik kuvvet tarafından sınırlandırılmışken sabit bir hızda dairesel olarak hareket eden bir cisim üzerine de hiç iş yapılmaz. Örneğin sürtünmesiz ideal bir santrifüjde sabit hızla hareket etmek gibi. İşi “kuvvet çarpı düz doğru dilimi” olarak hesaplamak yukarıda da belirtildiği gibi yalnızca en basit durumlarda uygulanır. Eğer kuvvet değişiyorsa ya da cisim eğimli muhtemelen dönen ve sert olmayan bir yolda hareket ediyorsa sadece kuvvetin uygulandığı noktanın yolu ve uygulama noktasına paralel kuvvetin bileşeni sürati iş yapıyor (süratle aynı yönde pozitif, zıt yönde negatif) olur. Kuvvetin bu bileşeni skaler teğetsel bileşen denilen (F, θ kuvvet ve sürat arasındaki açı) skaler büyüklükle tanımlanabilir. Ardından işin en genel tanımı aşağıdaki gibi formüle edilebilir: Kuvvetin işi uygulama noktası yolunda skaler teğetsel bileşeninin integral hattıdır.[]
Dönme Momenti ve Dönüş
Dönme momenti katı bir cismin iki farklı noktası üzerine etki eden eşit ve zıt kuvvetlerden kaynaklanır. Bu kuvvetlerin toplamı nötrleşir fakat cisim üzerindeki etkileri T dönme momentidir. Dönme momentinin yaptığı iş:
T.ω, δt anındaki güç. Katı cismin gidişatı üzerindeki bu küçük miktardaki işlerin toplamı şu sonucu verir;
Bu integral, zamanla değişen ω açısal süratiyle katı cismin gidişatı boyunca hesaplanmıştır ve bu yüzden bağımlı opsiyon denir. Eğer açısal sürat vektörü sabit bir yön belirlerse,
φ, S sabit birim vektörü civarındaki rotasyon açısı. Bu durumda, dönme momentinin işi,
C, φ(t1) ‘den φ(t2)'’ye olan gidim izidir. Bu integral φ(t) rotasyonel gidim izine dayanır ve dolayısıyla bağımlı opsiyondur. Eğer T dönme momenti açısal sürat vektörü ile aynı hizaya konursa,
Ve hem dönme momenti hem de açısal sürat vektörü sabitse, o zaman iş şu formu alır;
Bu sonuç şekilde gösterildiği gibi dönme momentinin F sabit genliğinin kuvvetinden meydana geldiğini ve r mesafesindeki kaldıraç koluna dik olarak uygulandığı göz önüne alınarak daha kolay anlaşılabilir. Bu kuvvet s=rφ dairesel yayı boyu mesafeye etki edecektir, yani yapılan iş:
τ=Fr' dönme momentini elde etmek için
- elde etmek için yukarıdaki gibi tanıtın.
Sadece açısal sürat vektörünün yönündeki dönme momentinin bileşeninin işe katkı sağladığı görülebilir.
İş ve Potansiyel Enerji
F kuvveti ve uygulama noktasının v süratinin skaler çarpımı zamanın herhangi bir anında bir sisteme güç girişini tanımlar. Bu gücün uygulama noktası gidim izine entegrasyonu, C=x(t), güç tarafından sisteme iş girişini tanımlar.
Patika Bağımlılığı
C eğrisi boyunca hareket eden bir nesne üzerine bir F kuvveti tarafından yapılan iş çizgisel integral tarafından verilir:
'dx(t), C gidim izi ve v bu gidim izi boyunca olan sürat. Genelde bu integral süratin belirtildiği bir patika gerektirir, bu yüzden işin değerlendirmesi bağıl opsiyondur denir.
İşin integralinin zamana göre türevi ani güç sağlar,
Patika Bağımsızlığı
Eğer uygulanan kuvvet için iş yoldan bağımsız ise, kuvvet tarafından yapılan iş, gradyan teoremince, uygulama noktası gidim izinin başlangıcında ve sonunca değerlendirilen potansiyel fonksiyondur. Böyle bir kuvvet korunumlu olarak adlandırılır. Bu, x(t1) ve x(t2) noktalarında, bu iki nokta arasındaki gidişat üzerindeki işi elde etmek için hesaplanabilen bir U (x) potansiyel fonksiyonu var demektir. Potansiyelde pozitif işte bir indirgeme olması için bu fonksiyonu negatif işaretle tanımlamak alışılagelmiştir. Bu demek oluyor ki:
U(x) fonksiyonu uygulanan güçle bağdaştırılan potansiyel enerji olarak adlandırılır. Yerçekimi ve yay kuvvetleri potansiyel enerjisi olan kuvvetlere örnektir. Bu durumda, işin gradyanı şu sonucu verir;
ve F kuvveti “potansiyelden türetilebilir” denir.
Yer Çekimi Tarafından Yapılan İş
Yerçekimi her nesne üzerine devamlı aşağıya doğru bir kuvvet uygular. Yeryüzünün yüzeyine yakın yerlerde yerçekimine bağlı ivme g=9.8 m.s−2 ‘dir ve m kütleli nesnenin üzerindeki yerçekimi kuvveti Fg=mg’dır. Bu yerçekimi kuvvetini nesnenin kütle merkezine yoğunlaşmış olarak düşünmek gerekir. Eğer bir nesnenein y2 - y1 dikey uzaklığında yukarıya ya da aşağıya doğru yeri değiştirilirse, mg cinsinden ağırlığı tarafından nesneye yapılan W işi:
Fg (İngiliz ölçü birimde pound, SI birimlerinde Newton) ağırlık ve Δy, y yüksekliğindeki değişim. Yerçekimi tarafından yapılan işin yalnızca nesnenin dikey hareketine dayandığına dikkat edin. Sürtünmenin varlığı nesneye ağırlığı tarafından yapılan işi etkilemez.
Uzayda Kütleçekimi Tarafından Yapılan İş
m kütlesi üzerindeki diğer bir M kütlesi tarafına uygulanan yerçekimi kuvveti şu şekilde verilmiştir:
r vektörün M ’den m’ye olan konumu.
m kütlesini v süratinde hareket ettirin, r(t1) konumundan r(t2) konumuna hareket ederken kütle üzerindeki yerçekiminin yaptığı iş şu şekilde olur:
m kütlesinin süratinin ve konumunun şu şekilde olduğuna dikkat edin:
er ve etM’den m’ye olan vektöre ilişkin yönlendirilen radyal ve teğetsel vektörlerdir. Bunu yerçekiminin yaptığı işin formülünü sadeleştirmede kullanın,
Bu hesaplama
- kullanılır.
Bu fonksiyon
yerçekiminin potansiyel enerjisi olarak da bilinen, yerçekiminin potansiyel fonksiyonudur. Negatif işaret bir potansiyel enerji kaybından işin kazanıldığı düzeni takip eder.
Yay Tarafından Yapılan İş
Yaylardaki kuvvetler paraleldir.Bir nesnenin nasıl hareket ettiğinden bağımsız olarak x yönündeki sapmasına orantısal olan bir yatay F=(-kx, 0, 0) kuvveti uygulayan bir yay göz önüne alın. Bu yayın X(t) = (x(t), y(t), z(t)), eğrisi boyunca hareket eden bir nesne üzerindeki işi F sağlamak için v=(vx, vy, vz), sürati kullanılarak hesaplanır.[]
Kolaylık için, t=0 noktasında yayla oluşan teması dikkate alın, x mesafesindeki sonucun integrali ve sonra da xvx, is (1/2)x2
Gaz Tarafından Yapılan İş
P basınç, V hacim, a ve b ise önceki ve en son hacimler.
İş-Enerji İlkesi
İş ve kinetik enerji ilkesi (iş-enerji ilkesi olarak da bilinir) bir parçacık üzerine etki eden bütün kuvvetler tarafından yapılan işin parçacığın kinetik enerjisindeki değişime eşit olduğunu öne sürer.
Bir parçacık üzerine bileşke kuvvet tarafından yapılan W işi parçacığın kinetik enerjisindeki , F değişime eşittir:
- ,
ve parçacığın değişim öncesi ve sonrasındaki hızları ve m kütle.
Eğer bileşke dönme momenti katı bir cisim üzerine etki ederse, tanım bileşke tork tarafından yapılan iş ve katı cismin rotasyonal kinetik enerjisindeki değişimi eşitlemek için genişletilebilir.
Genel Bakış
İş-enerji ilkesinin açığa çıkışı Newton’un ikinci kuralı ile ve parçacığa uygulanan kuvvetleri de içeren bileşke kuvvet ve hareketini etkileyen sınırlayıcı kuvvetlerle başlar. Parçacığın sürati ile birlikte kuvvetlerin skaler çarpımlarının ölçümlemesi sisteme eklenen eni gücü değerlendirir. Sınırlayıcılar parçacığın hareket yönünü sınırlayıcı kuvvetin yönünde süratin bileşkesi olmamasını sağlayarak belirlerler. Bu aynı zamanda sınırlayıcı kuvvetlerin ani güce katılmadıkları anlamına gelir. Bu skaler denklemin zamana göre türevi ani güçten iş ve sürat ve ivmenin skaler çarpımından kinetik enerji kazancı sağlar. İş-enerji ilkesinin sınırlayıcı kuvvetleri ortadan kaldırdığı gerçeği Lagrange mekaniği altında yatar. Bu bölüm iş-enerji ilkesine parçacık dinamiğine uygulanması noktasında odaklanıyor. Daha genel sistemlerde iş bir mekanik aracın potansiyel enerjisini, termal sistemdeki ısı enerjisini ya da bir elektronik aygıttaki elektrik enerjisini değiştirebilir. İş enerjisi bir noktadan diğerine ya da bir formdan diğerine transfer eder.
Düz bir hatta hareket eden parçacığın için türev
F bileşke kuvvet'in genlik ve yönde sabit olması ve parçacığın süratine paralel olması durumunda parçacık düz bir hat boyunca sabit bir ivme ile hareket eder. Net kuvvet ve içme arasındaki ilişki F = ma(Newton’un ikinci kuralı) denklemiyle verilir ve s parçacık yerdeğişimi aşağıdaki denklemle ifade edilebilir:
sonucu çıkar.
Net kuvvetin yaptığı iş genliğin ve parçacık yerdeğişiminin çarpımı olarak hesaplanır. Yukarıdaki denklemlere alternatif olarak:
Doğrusual hareket durumunda genelde, F net kuvveti yönde sabit fakat genlikte sabit olmadığında ve sürate paralel olduğunda, iş parçacığın yolu boyunca birleştirilmiş olmalıdır:
Bir parçacık için iş-enerji teoreminin genel türevi
Eğrisel bir yol boyu hareket eden bir parçacık üzerine etki eden bir net kuvvet için, kuvvetinin parçacığın kinetik enerjisindeki değişime eşit olduğu yukarıdaki denkleme basit bir türev analoguyla gösterilebilir. Bazı yazarlar bu sonuca iş enerji ilkesi der fakat yaygın olarak iş enerji teoremi olarak bilinir:
özdeşliği biraz cebir gerektirir. özdeşliğinden ve tanımından şu sonuç ortaya çıkar:
- .
Yukarıdaki türevin kalan kısmı sadece önceki doğrusal durumda olduğu gibi basit matematiktir.
Sınırlanmış hareketteki bir parçacık için türev
Parçacık dinamiğinde, bir sisteme uygulanan işi kinetik enerjisindeki değişime eşitleyen bir formül Newton’un ikinci hareket yasasının ilk integrali olarak sağlanır. Newton’un yasalarında kullanılan bileşke kuvvet'in parçacığa uygulanan kuvvetler ve parçacığın hareketindeki sınırlayıcılara maruz kalan kuvvetler olarak ayrılabileceğini fark etmek gerekir. Sınırlayıcı kuvvetin işi sıfırdır, dolayısıyla yalnızca kuvvetlere uygulanan işin iş-enerji ilkesinde değerlendirilmesi gerekir.
Bunu görmek için, P parçacığının X(t) gidim izini üzerine etki eden F kuvvetiyle takip ettiğini göz önüne alın. Parçacığı Rsınırlayıcı kuvveti uygulamak için ortamından ayırın, o zaman Newton yasaları
- Formunu alır.
m parçacık kütlesi.
Vektör formülasyonu
Bir vektörün üzerindeki noktaların onun zamana göre n’inci türevini gösterdiğine dikkat edin. Sürat vektörü ile birlikte Newton’un yasalarının her iki yanının skaler çarpımı da
- sonucunu verir.
Çünkü sınırlayıcı kuvvetler parçacık süratine dikeydir. Bu denklemi X(t1) noktasından X(t2) noktasına olan gidişatı boyunca
- elde etmek için integralini alın.
Bu denklemin sol tarafı t1 zamanından t2 zamanına kadar olan gidişatı boyunca paracık üzerine etki ederken uygulanan kuvvetin yaptığı iştir. Bu aynı zamanda
- olarak da yazılabilir.
Bu integral parçacığın X(t) gidim izi boyunca hesaplanmış ve dolayısıyla bağımlı opsiyondur. Newton’un denklemlerinin ilk integralinin sağ kısmı aşağıdaki ifade kullanılarak sadeleştirilebilir:
Şimdi kinetik enerjideki değişimi elde etmek için açıkça integrali alınmış oldu,
parçacığın kinetik enerjisi skaler büyüklük olarak tanımlanmıştır.
Teğetsel ve normal bileşenler
Sürat ve ivme vektörlerini X(t) gidim izi boyunca teğetsel ve normal bileşenlerine şu şekilde ayırmak faydalı olacaktır:
Bu durumda, Newton’un ikinci yasasında ivmeyle süratin skaler çarpımı
- . formunu alır.
Parçacığın kinetik enerjisi skaler büyüklük olarak tanımlanmış.
Sonuç parçacık dinamiği için iş-enerji ilkesidir.
Bu türev rastlantısal katı cisim sistemlerine genellenebilir.
Düz bir hatta hareket (kayarak durma)
F toplamını veren bir itme kuvveti ve yerçekimi kuvveti etkisi altında bir düz yatay gidim izi boyunca hareket eden bir aracı düşünün. Araç ve yol arasındaki sınırlayıcı kuvvetler R olarak tanımlanır ve
- elde ederiz.
Kolaylık için, gidim izini X ekseni boyunca alın böyleceX=(d,0) ve sürat V=(v, 0) olur, dolayısıyla da R.V=0 ve and F.V=Fxv (Fx x ekseni boyunca F’in bileşeni) olur. Yani,
İki tarafın integrali
- sonucunu verir.
Eğer Fx gidişat boyunca sabit ise o zaman sürat integrali mesafedir, yani
Örnek olarak kayarak duran bir arabayı göz önüne alın (ksürtünme katsayısı ve W arabanın ağırlığı). Bu durumda gidim izi boyunca kuvvet Fx =-kW olur. Arabanın sürati v iş-enerji ilkesi kullanılarak kaymanın s uzunluğundan belirlenebilir.
Bu formülün aracın kütlesinin m=W/g olduğu gerçeğini kullandığına dikkat edin.
Bir dağ yolundan aşağıya inme
Bir aracın hareketsiz olarak başladığı ve bir dağ yolundan aşağıya doğru gittiğini düşünün, iş-enerji ilkesi aracın Vsüratine ulaşmak için gittiği minimum mesafeyi hesaplamaya yardım eder. Yuvarlanma direnci ve hava direnci aracı yavaşlatacaktır yani asıl mesafe kuvvetler ihmal edildiği durumdan daha az olacaktır.
Yolu takip eden aracın gidim izinin üç boyutlu uzayda bir eğim olan X(t) olarak alın. Araç üzerine etkiyen ve onu aşağıya doğru iten kuvvet sabit yerçekimi kuvvetiyken, yolun araç üzerindeki kuvveti X(t) sınırlayıcı kuvvetidir. Newton’un ikinci yasası
- sonucunu verir.
Bu denklemin V=(vx, vy,vz) vektörüyle sakler çarpımı : sonucunu verir. V V’nin genliği. Araç ve yol arasındaki sınırlayıcı kuvvetler bu denklemi geçersiz kılar çünküR.V=0 ve bu iş yapmadıkları anlamına gelir. İki tarafın da : elde etmek için integralini alalım.
W ağırlık kuvveti gidim izi boyunca sabittir ve dikey süratin integrali dikey uzaklıktır, yani,
V(t1)=0 olduğunu hatırlayın. Bu sonucun araç tarafından gidilen yolun şekline bağlı olmadığına dikkat edin. Yol boyu uzaklığı belirlemek için eğimin %6 yani dik bir yol olduğunu varsayalım. Bu –açılar için sin ve tan fonksiyonları neredeyse eşit- rakım her 100 fitte 6 fit azalıyor demektir. Dolayısıyla, %6 eğimli bir yolda V süratine ulaşmak için s mesafesi en azından
- dir.
Bu formül aracın ağırlığının W=mg olduğu gerçeğini kullanmıştır.
Katı bir cisim üzerine etkiyen kuvvetlerin yaptığı iş
Tek bir katı cisim üzerine çeşitli noktalardan etki eden kuvvetlerin yaptığı iş bileşke kuvvet ve tork'un işinden hesaplanabilir.[] Bunu görmek için F1,F2 ... Fn kuvvetlerini bir katı cisme X1, X2 ... Xn noktalarından uygulayalım. Xi, i=1,...,n gidim izleri katı cismin hareket tarafından tanımlanır. Bu hareket [A(t)] rotasyonlar seti ve cisim üzerindeki referans noktanın d(t) gidim izi tarafından verilir.xi i=1,...,n koordinatları hareket eden cismin M referans çerçevesi içindeki bu noktaları tanımlasın. Böylece F sabit çerçevesindeki izlenen gidim izleri şu şekilde verilir:
Gidişatları boyunca Xi noktalarının süratleri
ωters simetrik matriksten elde edilen açısal sürat vektörüdür. Açısal sürat matriksi olarak bilinir.[]
Küçük δri yer değişimleri üzerindeki kuvvetler tarafından yapılan az miktarda iş yaklaşık olarak δr=vδt yerdağişimi tarafından belirlenebilir.[]
Ya da
Bu formül
- elde etmek için bu şekilde tekrar yazılabilir.
F ve T katı cismin M hareket çerçevesindeki d referans noktasına uygulanan bileşke kuvvet ve dönme momentinin sonuçlarıdır.[]
Kaynakça
Dış bağlantılar
- İngilizce vikipedi24 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu maddedeki bilgilerin dogrulanabilmesi icin ek kaynaklar gerekli Lutfen guvenilir kaynaklar ekleyerek maddenin gelistirilmesine yardimci olun Kaynaksiz icerik itiraz konusu olabilir ve kaldirilabilir Kaynak ara Is fizik haber gazete kitap akademik JSTOR Subat 2021 Bu sablonun nasil ve ne zaman kaldirilmasi gerektigini ogrenin Bu madde Vikipedi bicem el kitabina uygun degildir Maddeyi Vikipedi standartlarina uygun bicimde duzenleyerek Vikipedi ye katkida bulunabilirsiniz Gerekli duzenleme yapilmadan bu sablon kaldirilmamalidir Subat 2021 Fizikte bir kuvvet bir cisim uzerine etki ettiginde ve kuvvetin uygulama yonunde konum degisikligi oldugunda is yaptigi soylenir Ornegin bir valizi yerden kaldirdiginizda valiz uzerine yapilan is kaldirildigi yukseklik suresince agirligini kaldirmak icin aldigi kuvvettir IsBir beyzbol aticisi top uzerinde pozitif is yaparken cekilen fotograflar Yaygin sembol ler WSI nicelik boyutu 1 kg m2 s2SI birimi joule J Diger niceliklerden turetimi W F s W t 8 Is terimi ilk kez 1826 yilinda Fransiz matematikci Gaspard Gustave Coriolis tarafindan sel altinda kalmis madenlerden suyu cikartmak icin kullanilan eski buhar makinelerinin kullanimina dayanan yukseklik boyu kaldirilan agirlik olarak tanimlanmistir Uluslararasi Birimler Sistemi SI ndeki is birimi newton metre ya da jouledur F genliginde sabit bir guc tarafindan bir s yerdegisimini hareket ettiren noktaya kuvvet dogrultusunda yapilan is urundur W Fs displaystyle W Fs Ornegin 10 newtonluk bir kuvvet 2 metrelik yol giden bir noktaya uygulanirsa W 10 N 2 m 20 N m 20 J is yapmis olur Bu yaklasik olarak 1 kg agirligin yerden bir insanin kafa hizasina kadar yercekimi kuvvetine karsi kaldirilirken yapilan istir Isin ayni yukseklikte iki kat agirlik ya da ayni agirlikta iki kat yukseklige kaldirilmasiyla ikiye katlandigini goz onune alin BirimlerIs bir metrelik mesafe boyunca bir newtonluk kuvvet tarafinda harcanmis enerji olarak tanimlanan joule J dur Es deger olcude Newton metre N m bazen isin olcum birimi olarak kullanilir fakat bu donme momenti olcum birimi olan Newton metre birimiyle karistirilabilir Newton metre olarak ifade edilen niceligin donme momenti olcumu mu yoksa enerji olcumumu oldugu konusunda karisikliga neden olabilecegi icin Nm kullanimi SI yetkilileri tarafindan kaldirilmistir SI disindaki is birimleri erg ayak libre kilovat saat litre atmosfer ve beygir gucu saattir Isin isiyla ayni fiziksel boyuta sahip olmasindan dolayi bazen kalori BTU gibi genel olarak isi veya enerji icerigine mahsus olcum birimleri kullanilir 1 N m kg m s 1 Joule J 1 N m 1 Joule 0 239 Kalori cal veya 1 cal 4 184 J Elektronvolt eV 1 Ingiliz Isi Birimi BTU 1 055 J 1 kWh 3412 BTU veya 1 BTU 0 0002931 kWh 1 Watt saat W h 3 600 J 1 Kilowatt saat kWh 1000 Wh 1 kWh 3 600 000 J 1 erg Yunanca ergon is 10 7 J Foot pound ft lb 1 ft lb 1 356 N m litre atmosfer l atm Is ve EnerjiIs enerji ile yakindan iliskilidir Enerjinin korunumu yasasi bir sistemin toplam ic enerjisindeki degisimin eklenen isidan sistem tarafindan yapilan isin cikarilmasina esit oldugunu one surer dE dQ dW displaystyle dE delta Q delta W F sembolu isi Q ve isin W kesin olmayan diferansiyeli oldugunu gosterir Newton un ikinci yasasindan serbest kati bir cisim uzerine yapilan isin bu cismin rotasyon ve suratinin kinetik enerjisindeki degisime esit oldugu gorulebilir kaynak belirtilmeli W DKE displaystyle W Delta KE Potansiyel fonksiyon tarafindan ortaya cikarilan iki kuvvet potansiyel enerji olarak bilinir ve bu kuvvetler korunumludur denir Boylece yalnizca korunumlu kuvvet alanina rotasyon ve suratta degisiklik olmadan yerlestirilmis bir nesne uzerindeki is nesnenin potansiyel enerjisinin degisimine esittir kaynak belirtilmeli W DPE displaystyle W Delta PE Bu formuller isin bir kuvvetin hareketiyle ilgili enerjisi oldugunu gosterir yani is sonradan enerjinin fiziksel boyutlarini ve birimlerini sahip olur kaynak belirtilmeli Burada tartisilan is enerji prensipleri elektrik is enerji prensiplerine benzerdir Belirleyici KuvvetlerBelirleyici gucler nesneyi bir sinir icerisinde kisitli tutan bir sistemdeki bilesenlerin hareketini belirler yercekimi ve bir egim durumunda nesne egime yapisir gergin bir tele tutturuldugunda teli daha da germek icin ileriye dogru hareket edemez Belirleyicinin yonundeki butun hareketleri ortadan kaldirirlar yani belirleyici kuvvetler o nesnenin surati bu kuvvete 0 paralel olmaya zorlandigi icin bu kuvvet dolayisiyla sistem uzerinde is yapmazlar kaynak belirtilmeli Ornegin duzgun dairesel hareket yaninda bir top uzerindeki bir yay tarafindan iceriye dogru uygulanan merkezcil kuvvet topu hareketini dairenin merkezinden uzaga dogru sinirlandiran dairesel harekete zorlar Bu kuvvet sifir is yapar cunku topun suratine diktir Bir diger ornek ise masa uzerinde duran kitaptir Eger masa uzerinde kaymasi icin kitaba dis kuvvetler uygulanirsa masa tarafindan uygulanan kuvvet kitabin asagiya dogru hareketini kisitlar Masa tarafindan uygulanan kuvvet kitabi destekler ve hareketine dikeydir bu da belirleyici kuvvetin is yapmadigi anlamina gelir kaynak belirtilmeli Yuklu bir parcacik uzerindeki manyetik guc F qv B dir burada q yuk v parcacigin surati ve B manyetik alan Capraz carpim sonucu daima orijinal vektorlerin her ikisine de diktir yani F v Iki dikey vektorun ic carpim urunu daima sifirdir yani is W F v 0 dir ve manyetik guc is yapmaz Hareketin yonunu degistirebilir ama hicbir zaman surati degistiremez kaynak belirtilmeli Matematiksel HesaplamaNesneleri hareket ettirmek icin is zaman niceligi mesafe zaman ya da surat olarak hesaplanir Yani herhangi bir anda kuvvet joules saniye ya da watt olarak olculen tarafindan yapilan bir isin degeri kuvvetin ve uygulama noktasinin surat vektorunun skaler carpimidir Surat ve kuvvetin skaler carpimi ani guc olarak siniflandirilir Matematik temel teoremince suratler butun bir mesafeyi almak icin zamanla birlesebileceklerinden bir yol boyunca toplam is benzer sekilde uygulama noktasi yorungesi boyunca uygulanan ani gucun zaman integralidir Is bir mesafe boyunca hareket eden bir nokta uzerindeki kuvvetin sonucudur Nokta hareket ettikce her and X egrisini v surati ile takip eder dt bir aninda olusan kucuk mikardaki dW isi dW F ds F vdt displaystyle delta W mathbf F cdot d mathbf s mathbf F cdot mathbf v dt F v dt ani uzerindeki guctur Noktanin gidisati uzerindeki bu kucuk miktardaki islerin su sonucu verir W t1t2F vdt t1t2F dsdtdt CF ds displaystyle W int t 1 t 2 mathbf F cdot mathbf v dt int t 1 t 2 mathbf F cdot tfrac d mathbf s dt dt int C mathbf F cdot d mathbf s C x t1 x t2 e olan gidim izidir Bu integral parcacigin gidisati boyunca hesaplanmistir ve bu yuzden bagimli opsiyon denir Eger kuvvet daime bu hat boyu yonlendirilirse ve kuvvetin genligi F ise bu integral soyle sadelestirilir W CFds displaystyle W int C Fds s hat boyunca olan mesafedir Eger F hat boyunca yonelmesinin yani sira sabit ise o zaman integral su sekilde sadelestirilir W CFds F Cds Fs displaystyle W int C Fds F int C ds Fs s nokta tarafindan hat boyunca gidilen mesafedir Bu hesaplama hat boyu yonelmeyen parcacik tarafindan takip edilmeyen sabit bir guc olarak genellenebilir Bu durumda 8 nin kuvvet vektoru ve hareket yonu arasindaki aciyi gosterdigi F ds Fcos8ds ic carpimi W CF ds Fscos 8 displaystyle W int C mathbf F cdot d mathbf s Fs cos theta Bir cisme uygulanan kuvvetin daima surat vektorunden 90 derece acida olmasi durumunda bir cisim merkezcil kuvvet altinda bir dairede hareket ettiginde 90 derecenin kosinusu sifir oldugunda hic is yapilmamis olur Yani dairesel yorungeli bir gezegen butun yorungeler biraz eliptik oldugu icin ideal budur uzerinde yercekimi tarafindan hic is yapilamaz Ayrica mekanik kuvvet tarafindan sinirlandirilmisken sabit bir hizda dairesel olarak hareket eden bir cisim uzerine de hic is yapilmaz Ornegin surtunmesiz ideal bir santrifujde sabit hizla hareket etmek gibi Isi kuvvet carpi duz dogru dilimi olarak hesaplamak yukarida da belirtildigi gibi yalnizca en basit durumlarda uygulanir Eger kuvvet degisiyorsa ya da cisim egimli muhtemelen donen ve sert olmayan bir yolda hareket ediyorsa sadece kuvvetin uygulandigi noktanin yolu ve uygulama noktasina paralel kuvvetin bileseni surati is yapiyor suratle ayni yonde pozitif zit yonde negatif olur Kuvvetin bu bileseni skaler tegetsel bilesen denilen F 8 kuvvet ve surat arasindaki aci skaler buyuklukle tanimlanabilir Ardindan isin en genel tanimi asagidaki gibi formule edilebilir Kuvvetin isi uygulama noktasi yolunda skaler tegetsel bileseninin integral hattidir kaynak belirtilmeli Donme Momenti ve DonusDonme momenti kati bir cismin iki farkli noktasi uzerine etki eden esit ve zit kuvvetlerden kaynaklanir Bu kuvvetlerin toplami notrlesir fakat cisim uzerindeki etkileri T donme momentidir Donme momentinin yaptigi is dW T w dt displaystyle delta W mathbf T cdot vec omega delta t T w dt anindaki guc Kati cismin gidisati uzerindeki bu kucuk miktardaki islerin toplami su sonucu verir W t1t2T w dt displaystyle W int t 1 t 2 mathbf T cdot vec omega dt Bu integral zamanla degisen w acisal suratiyle kati cismin gidisati boyunca hesaplanmistir ve bu yuzden bagimli opsiyon denir Eger acisal surat vektoru sabit bir yon belirlerse w ϕ S displaystyle vec omega dot phi mathbf S f S sabit birim vektoru civarindaki rotasyon acisi Bu durumda donme momentinin isi W t1t2T w dt t1t2T Sdϕdtdt CT Sdϕ displaystyle W int t 1 t 2 mathbf T cdot vec omega dt int t 1 t 2 mathbf T cdot mathbf S frac d phi dt dt int C mathbf T cdot mathbf S d phi C f t1 den f t2 ye olan gidim izidir Bu integral f t rotasyonel gidim izine dayanir ve dolayisiyla bagimli opsiyondur Eger T donme momenti acisal surat vektoru ile ayni hizaya konursa T tS displaystyle mathbf T tau mathbf S Ve hem donme momenti hem de acisal surat vektoru sabitse o zaman is su formu alir W t1t2tϕ dt t ϕ2 ϕ1 displaystyle W int t 1 t 2 tau dot phi dt tau phi 2 phi 1 W t1t2tϕ dt t ϕ2 ϕ1 displaystyle W int t 1 t 2 tau dot phi dt tau phi 2 phi 1 A force of constant magnitude and perpendicular to the lever arm Bu sonuc sekilde gosterildigi gibi donme momentinin F sabit genliginin kuvvetinden meydana geldigini ve r mesafesindeki kaldirac koluna dik olarak uygulandigi goz onune alinarak daha kolay anlasilabilir Bu kuvvet s rf dairesel yayi boyu mesafeye etki edecektir yani yapilan is W Fs Frϕ displaystyle W Fs Fr phi t Fr donme momentini elde etmek icin W Frϕ tϕ displaystyle W Fr phi tau phi elde etmek icin yukaridaki gibi tanitin Sadece acisal surat vektorunun yonundeki donme momentinin bileseninin ise katki sagladigi gorulebilir Is ve Potansiyel EnerjiF kuvveti ve uygulama noktasinin v suratinin skaler carpimi zamanin herhangi bir aninda bir sisteme guc girisini tanimlar Bu gucun uygulama noktasi gidim izine entegrasyonu C x t guc tarafindan sisteme is girisini tanimlar Patika BagimliligiC egrisi boyunca hareket eden bir nesne uzerine bir F kuvveti tarafindan yapilan is cizgisel integral tarafindan verilir W CF dx t1t2F vdt displaystyle W int C mathbf F cdot mathrm d mathbf x int t 1 t 2 mathbf F cdot mathbf v dt dx t C gidim izi ve v bu gidim izi boyunca olan surat Genelde bu integral suratin belirtildigi bir patika gerektirir bu yuzden isin degerlendirmesi bagil opsiyondur denir Isin integralinin zamana gore turevi ani guc saglar dWdt P t F v displaystyle frac dW dt P t mathbf F cdot mathbf v Patika BagimsizligiEger uygulanan kuvvet icin is yoldan bagimsiz ise kuvvet tarafindan yapilan is gradyan teoremince uygulama noktasi gidim izinin baslangicinda ve sonunca degerlendirilen potansiyel fonksiyondur Boyle bir kuvvet korunumlu olarak adlandirilir Bu x t1 ve x t2 noktalarinda bu iki nokta arasindaki gidisat uzerindeki isi elde etmek icin hesaplanabilen bir U x potansiyel fonksiyonu var demektir Potansiyelde pozitif iste bir indirgeme olmasi icin bu fonksiyonu negatif isaretle tanimlamak alisilagelmistir Bu demek oluyor ki W CF dx x t1 x t2 F dx U x t1 U x t2 displaystyle W int C mathbf F cdot mathrm d mathbf x int mathbf x t 1 mathbf x t 2 mathbf F cdot mathrm d mathbf x U mathbf x t 1 U mathbf x t 2 U x fonksiyonu uygulanan gucle bagdastirilan potansiyel enerji olarak adlandirilir Yercekimi ve yay kuvvetleri potansiyel enerjisi olan kuvvetlere ornektir Bu durumda isin gradyani su sonucu verir W x U x U x U y U z F displaystyle frac partial W partial mathbf x frac partial U partial mathbf x big frac partial U partial x frac partial U partial y frac partial U partial z big mathbf F ve F kuvveti potansiyelden turetilebilir denir Yer Cekimi Tarafindan Yapilan IsGravity F mg does work W mgh along any descending path Yercekimi her nesne uzerine devamli asagiya dogru bir kuvvet uygular Yeryuzunun yuzeyine yakin yerlerde yercekimine bagli ivme g 9 8 m s 2 dir ve m kutleli nesnenin uzerindeki yercekimi kuvveti Fg mg dir Bu yercekimi kuvvetini nesnenin kutle merkezine yogunlasmis olarak dusunmek gerekir Eger bir nesnenein y2 y1 dikey uzakliginda yukariya ya da asagiya dogru yeri degistirilirse mg cinsinden agirligi tarafindan nesneye yapilan W isi W Fg y2 y1 FgDy mgDy displaystyle W F g y 2 y 1 F g Delta y mg Delta y Fg Ingiliz olcu birimde pound SI birimlerinde Newton agirlik ve Dy y yuksekligindeki degisim Yercekimi tarafindan yapilan isin yalnizca nesnenin dikey hareketine dayandigina dikkat edin Surtunmenin varligi nesneye agirligi tarafindan yapilan isi etkilemez Uzayda Kutlecekimi Tarafindan Yapilan Ism kutlesi uzerindeki diger bir M kutlesi tarafina uygulanan yercekimi kuvveti su sekilde verilmistir F GMmr3r displaystyle mathbf F frac GMm r 3 mathbf r r vektorun M den m ye olan konumu m kutlesini v suratinde hareket ettirin r t1 konumundan r t2 konumuna hareket ederken kutle uzerindeki yercekiminin yaptigi is su sekilde olur W r t1 r t2 GMmr3r dr t1t2GMmr3r vdt displaystyle W int mathbf r t 1 mathbf r t 2 frac GMm r 3 mathbf r cdot d mathbf r int t 1 t 2 frac GMm r 3 mathbf r cdot mathbf v dt m kutlesinin suratinin ve konumunun su sekilde olduguna dikkat edin r rer v r er r8 et displaystyle mathbf r r mathbf e r qquad mathbf v dot r mathbf e r r dot theta mathbf e t er ve etM den m ye olan vektore iliskin yonlendirilen radyal ve tegetsel vektorlerdir Bunu yercekiminin yaptigi isin formulunu sadelestirmede kullanin W t1t2GmMr3 rer r er r8 et dt t1t2GmMr3rr dt GMmr t2 GMmr t1 displaystyle W int t 1 t 2 frac GmM r 3 r mathbf e r cdot dot r mathbf e r r dot theta mathbf e t dt int t 1 t 2 frac GmM r 3 r dot r dt frac GMm r t 2 frac GMm r t 1 Bu hesaplama ddtr 1 r 2r r r2 displaystyle frac d dt r 1 r 2 dot r frac dot r r 2 kullanilir Bu fonksiyon U GMmr displaystyle U frac GMm r yercekiminin potansiyel enerjisi olarak da bilinen yercekiminin potansiyel fonksiyonudur Negatif isaret bir potansiyel enerji kaybindan isin kazanildigi duzeni takip eder Yay Tarafindan Yapilan IsForces in springs assembled in parallel Yaylardaki kuvvetler paraleldir Bir nesnenin nasil hareket ettiginden bagimsiz olarak x yonundeki sapmasina orantisal olan bir yatay F kx 0 0 kuvveti uygulayan bir yay goz onune alin Bu yayin X t x t y t z t egrisi boyunca hareket eden bir nesne uzerindeki isi F saglamak icin v vx vy vz surati kullanilarak hesaplanir kaynak belirtilmeli Kolaylik icin t 0 noktasinda yayla olusan temasi dikkate alin x mesafesindeki sonucun integrali ve sonra da xvx is 1 2 x2Gaz Tarafindan Yapilan IsW ab PdV displaystyle W int a b P dV P basinc V hacim a ve b ise onceki ve en son hacimler Is Enerji IlkesiIs ve kinetik enerji ilkesi is enerji ilkesi olarak da bilinir bir parcacik uzerine etki eden butun kuvvetler tarafindan yapilan isin parcacigin kinetik enerjisindeki degisime esit oldugunu one surer Bir parcacik uzerine bileske kuvvet tarafindan yapilan W isi parcacigin kinetik enerjisindeki Ek displaystyle E k F degisime esittir W DEk 12mv22 12mv12 displaystyle W Delta E k tfrac 1 2 mv 2 2 tfrac 1 2 mv 1 2 v1 displaystyle v 1 ve v2 displaystyle v 2 parcacigin degisim oncesi ve sonrasindaki hizlari ve m kutle Eger bileske donme momenti kati bir cisim uzerine etki ederse tanim bileske tork tarafindan yapilan is ve kati cismin rotasyonal kinetik enerjisindeki degisimi esitlemek icin genisletilebilir Genel BakisIs enerji ilkesinin aciga cikisi Newton un ikinci kurali ile ve parcaciga uygulanan kuvvetleri de iceren bileske kuvvet ve hareketini etkileyen sinirlayici kuvvetlerle baslar Parcacigin surati ile birlikte kuvvetlerin skaler carpimlarinin olcumlemesi sisteme eklenen eni gucu degerlendirir Sinirlayicilar parcacigin hareket yonunu sinirlayici kuvvetin yonunde suratin bileskesi olmamasini saglayarak belirlerler Bu ayni zamanda sinirlayici kuvvetlerin ani guce katilmadiklari anlamina gelir Bu skaler denklemin zamana gore turevi ani gucten is ve surat ve ivmenin skaler carpimindan kinetik enerji kazanci saglar Is enerji ilkesinin sinirlayici kuvvetleri ortadan kaldirdigi gercegi Lagrange mekanigi altinda yatar Bu bolum is enerji ilkesine parcacik dinamigine uygulanmasi noktasinda odaklaniyor Daha genel sistemlerde is bir mekanik aracin potansiyel enerjisini termal sistemdeki isi enerjisini ya da bir elektronik aygittaki elektrik enerjisini degistirebilir Is enerjisi bir noktadan digerine ya da bir formdan digerine transfer eder Duz bir hatta hareket eden parcacigin icin turevF bileske kuvvet in genlik ve yonde sabit olmasi ve parcacigin suratine paralel olmasi durumunda parcacik duz bir hat boyunca sabit bir ivme ile hareket eder Net kuvvet ve icme arasindaki iliski F ma Newton un ikinci kurali denklemiyle verilir ve s parcacik yerdegisimi asagidaki denklemle ifade edilebilir s v22 v122a displaystyle s frac v 2 2 v 1 2 2a v22 v12 2as displaystyle v 2 2 v 1 2 2as sonucu cikar Net kuvvetin yaptigi is genligin ve parcacik yerdegisiminin carpimi olarak hesaplanir Yukaridaki denklemlere alternatif olarak W Fs mas ma v22 v122a mv222 mv122 DEk displaystyle W Fs mas ma left frac v 2 2 v 1 2 2a right frac mv 2 2 2 frac mv 1 2 2 Delta E k Dogrusual hareket durumunda genelde F net kuvveti yonde sabit fakat genlikte sabit olmadiginda ve surate paralel oldugunda is parcacigin yolu boyunca birlestirilmis olmalidir W t1t2F vdt t1t2Fvdt t1t2mavdt m t1t2vdvdtdt m v1v2vdv 12m v22 v12 displaystyle W int t 1 t 2 mathbf F cdot mathbf v dt int t 1 t 2 F vdt int t 1 t 2 ma vdt m int t 1 t 2 v dv over dt dt m int v 1 v 2 v dv tfrac 1 2 m v 2 2 v 1 2 Bir parcacik icin is enerji teoreminin genel tureviEgrisel bir yol boyu hareket eden bir parcacik uzerine etki eden bir net kuvvet icin kuvvetinin parcacigin kinetik enerjisindeki degisime esit oldugu yukaridaki denkleme basit bir turev analoguyla gosterilebilir Bazi yazarlar bu sonuca is enerji ilkesi der fakat yaygin olarak is enerji teoremi olarak bilinir W t1t2F vdt m t1t2a vdt m2 t1t2dv2dtdt m2 v12v22dv2 mv222 mv122 DEk displaystyle W int t 1 t 2 mathbf F cdot mathbf v dt m int t 1 t 2 mathbf a cdot mathbf v dt frac m 2 int t 1 t 2 frac dv 2 dt dt frac m 2 int v 1 2 v 2 2 dv 2 frac mv 2 2 2 frac mv 1 2 2 Delta E k a v 12dv2dt displaystyle textstyle mathbf a cdot mathbf v frac 1 2 frac dv 2 dt ozdesligi biraz cebir gerektirir v2 v v displaystyle textstyle v 2 mathbf v cdot mathbf v ozdesliginden ve a dvdt displaystyle textstyle mathbf a frac d mathbf v dt tanimindan su sonuc ortaya cikar dv2dt d v v dt dvdt v v dvdt 2dvdt v 2a v displaystyle frac dv 2 dt frac d mathbf v cdot mathbf v dt frac d mathbf v dt cdot mathbf v mathbf v cdot frac d mathbf v dt 2 frac d mathbf v dt cdot mathbf v 2 mathbf a cdot mathbf v Yukaridaki turevin kalan kismi sadece onceki dogrusal durumda oldugu gibi basit matematiktir Sinirlanmis hareketteki bir parcacik icin turevParcacik dinamiginde bir sisteme uygulanan isi kinetik enerjisindeki degisime esitleyen bir formul Newton un ikinci hareket yasasinin ilk integrali olarak saglanir Newton un yasalarinda kullanilan bileske kuvvet in parcaciga uygulanan kuvvetler ve parcacigin hareketindeki sinirlayicilara maruz kalan kuvvetler olarak ayrilabilecegini fark etmek gerekir Sinirlayici kuvvetin isi sifirdir dolayisiyla yalnizca kuvvetlere uygulanan isin is enerji ilkesinde degerlendirilmesi gerekir Bunu gormek icin P parcaciginin X t gidim izini uzerine etki eden F kuvvetiyle takip ettigini goz onune alin Parcacigi Rsinirlayici kuvveti uygulamak icin ortamindan ayirin o zaman Newton yasalari F R mX displaystyle mathbf F mathbf R m ddot mathbf X Formunu alir m parcacik kutlesi Vektor formulasyonuBir vektorun uzerindeki noktalarin onun zamana gore n inci turevini gosterdigine dikkat edin Surat vektoru ile birlikte Newton un yasalarinin her iki yaninin skaler carpimi da F X mX X displaystyle mathbf F cdot dot mathbf X m ddot mathbf X cdot dot mathbf X sonucunu verir Cunku sinirlayici kuvvetler parcacik suratine dikeydir Bu denklemi X t1 noktasindan X t2 noktasina olan gidisati boyunca t1t2F X dt m t1t2X X dt displaystyle int t 1 t 2 mathbf F cdot dot mathbf X dt m int t 1 t 2 ddot mathbf X cdot dot mathbf X dt elde etmek icin integralini alin Bu denklemin sol tarafi t1 zamanindan t2 zamanina kadar olan gidisati boyunca paracik uzerine etki ederken uygulanan kuvvetin yaptigi istir Bu ayni zamanda W t1t2F X dt X t1 X t2 F dX displaystyle W int t 1 t 2 mathbf F cdot dot mathbf X dt int mathbf X t 1 mathbf X t 2 mathbf F cdot d mathbf X olarak da yazilabilir Bu integral parcacigin X t gidim izi boyunca hesaplanmis ve dolayisiyla bagimli opsiyondur Newton un denklemlerinin ilk integralinin sag kismi asagidaki ifade kullanilarak sadelestirilebilir 12ddt X X X X displaystyle frac 1 2 frac d dt dot mathbf X cdot dot mathbf X ddot mathbf X cdot dot mathbf X Simdi kinetik enerjideki degisimi elde etmek icin acikca integrali alinmis oldu DK m t1t2X X dt m2 t1t2ddt X X dt m2X X t2 m2X X t1 12mDv2 displaystyle Delta K m int t 1 t 2 ddot mathbf X cdot dot mathbf X dt frac m 2 int t 1 t 2 frac d dt dot mathbf X cdot dot mathbf X dt frac m 2 dot mathbf X cdot dot mathbf X t 2 frac m 2 dot mathbf X cdot dot mathbf X t 1 frac 1 2 m Delta mathbf v 2 parcacigin kinetik enerjisi skaler buyukluk olarak tanimlanmistir K m2X X 12mv2 displaystyle K frac m 2 dot mathbf X cdot dot mathbf X frac 1 2 m mathbf v 2 Tegetsel ve normal bilesenlerSurat ve ivme vektorlerini X t gidim izi boyunca tegetsel ve normal bilesenlerine su sekilde ayirmak faydali olacaktir X vT andX v T v2kN displaystyle dot mathbf X v mathbf T quad mbox and quad ddot mathbf X dot v mathbf T v 2 kappa mathbf N v X X X displaystyle v dot mathbf X sqrt dot mathbf X cdot dot mathbf X Bu durumda Newton un ikinci yasasinda ivmeyle suratin skaler carpimi DK m t1t2v vdt m2 t1t2ddtv2dt m2v2 t2 m2v2 t1 displaystyle Delta K m int t 1 t 2 dot v vdt frac m 2 int t 1 t 2 frac d dt v 2 dt frac m 2 v 2 t 2 frac m 2 v 2 t 1 formunu alir Parcacigin kinetik enerjisi skaler buyukluk olarak tanimlanmis K m2v2 m2X X displaystyle K frac m 2 v 2 frac m 2 dot mathbf X cdot dot mathbf X Sonuc parcacik dinamigi icin is enerji ilkesidir W DK displaystyle W Delta K Bu turev rastlantisal kati cisim sistemlerine genellenebilir Duz bir hatta hareket kayarak durma F toplamini veren bir itme kuvveti ve yercekimi kuvveti etkisi altinda bir duz yatay gidim izi boyunca hareket eden bir araci dusunun Arac ve yol arasindaki sinirlayici kuvvetler R olarak tanimlanir ve F R mX displaystyle mathbf F mathbf R m ddot mathbf X elde ederiz Kolaylik icin gidim izini X ekseni boyunca alin boyleceX d 0 ve surat V v 0 olur dolayisiyla da R V 0 ve and F V Fxv Fx x ekseni boyunca F in bileseni olur Yani Fxv mv v displaystyle F x v m dot v v Iki tarafin integrali t1t2Fxvdt m2v2 t2 m2v2 t1 displaystyle int t 1 t 2 F x vdt frac m 2 v 2 t 2 frac m 2 v 2 t 1 sonucunu verir Eger Fx gidisat boyunca sabit ise o zaman surat integrali mesafedir yani Fx d t2 d t1 m2v2 t2 m2v2 t1 displaystyle F x d t 2 d t 1 frac m 2 v 2 t 2 frac m 2 v 2 t 1 Ornek olarak kayarak duran bir arabayi goz onune alin ksurtunme katsayisi ve W arabanin agirligi Bu durumda gidim izi boyunca kuvvet Fx kW olur Arabanin surati v is enerji ilkesi kullanilarak kaymanin s uzunlugundan belirlenebilir kWs W2gv2 orv 2ksg displaystyle kWs frac W 2g v 2 quad mbox or quad v sqrt 2ksg Bu formulun aracin kutlesinin m W g oldugu gercegini kullandigina dikkat edin Lotus type 119B gravity racer at Lotus 60th celebration Gravity racing championship in Campos Novos Santa Catarina Brazil 8 September 2010 Bir dag yolundan asagiya inmeBir aracin hareketsiz olarak basladigi ve bir dag yolundan asagiya dogru gittigini dusunun is enerji ilkesi aracin Vsuratine ulasmak icin gittigi minimum mesafeyi hesaplamaya yardim eder Yuvarlanma direnci ve hava direnci araci yavaslatacaktir yani asil mesafe kuvvetler ihmal edildigi durumdan daha az olacaktir Yolu takip eden aracin gidim izinin uc boyutlu uzayda bir egim olan X t olarak alin Arac uzerine etkiyen ve onu asagiya dogru iten kuvvet sabit yercekimi kuvvetiyken yolun arac uzerindeki kuvveti X t sinirlayici kuvvetidir Newton un ikinci yasasi F R mX displaystyle mathbf F mathbf R m ddot mathbf X sonucunu verir Bu denklemin V vx vy vz vektoruyle sakler carpimi Wvz mV V displaystyle Wv z m dot V V sonucunu verir V V nin genligi Arac ve yol arasindaki sinirlayici kuvvetler bu denklemi gecersiz kilar cunkuR V 0 ve bu is yapmadiklari anlamina gelir Iki tarafin da t1t2Wvzdt m2V2 t2 m2V2 t1 displaystyle int t 1 t 2 Wv z dt frac m 2 V 2 t 2 frac m 2 V 2 t 1 elde etmek icin integralini alalim W agirlik kuvveti gidim izi boyunca sabittir ve dikey suratin integrali dikey uzakliktir yani WDz m2V2 displaystyle W Delta z frac m 2 V 2 V t1 0 oldugunu hatirlayin Bu sonucun arac tarafindan gidilen yolun sekline bagli olmadigina dikkat edin Yol boyu uzakligi belirlemek icin egimin 6 yani dik bir yol oldugunu varsayalim Bu acilar icin sin ve tan fonksiyonlari neredeyse esit rakim her 100 fitte 6 fit azaliyor demektir Dolayisiyla 6 egimli bir yolda V suratine ulasmak icin s mesafesi en azindan s Dz0 06 8 3V2g ors 8 388232 2 2000ft displaystyle s frac Delta z 0 06 8 3 frac V 2 g quad mbox or quad s 8 3 frac 88 2 32 2 approx 2000 mbox ft dir Bu formul aracin agirliginin W mg oldugu gercegini kullanmistir Kati bir cisim uzerine etkiyen kuvvetlerin yaptigi isTek bir kati cisim uzerine cesitli noktalardan etki eden kuvvetlerin yaptigi is bileske kuvvet ve tork un isinden hesaplanabilir kaynak belirtilmeli Bunu gormek icin F1 F2 Fn kuvvetlerini bir kati cisme X1 X2 Xn noktalarindan uygulayalim Xi i 1 n gidim izleri kati cismin hareket tarafindan tanimlanir Bu hareket A t rotasyonlar seti ve cisim uzerindeki referans noktanin d t gidim izi tarafindan verilir xi i 1 n koordinatlari hareket eden cismin M referans cercevesi icindeki bu noktalari tanimlasin Boylece F sabit cercevesindeki izlenen gidim izleri su sekilde verilir Xi t A t xi d t i 1 n displaystyle mathbf X i t A t mathbf x i mathbf d t quad i 1 ldots n Gidisatlari boyunca Xi noktalarinin suratleri Vi w Xi d d displaystyle mathbf V i vec omega times mathbf X i mathbf d dot mathbf d wters simetrik matriksten elde edilen acisal surat vektorudur Acisal surat matriksi olarak bilinir kaynak belirtilmeli Kucuk dri yer degisimleri uzerindeki kuvvetler tarafindan yapilan az miktarda is yaklasik olarak dr vdt yerdagisimi tarafindan belirlenebilir kaynak belirtilmeli dW F1 V1dt F2 V2dt Fn Vndt displaystyle delta W mathbf F 1 cdot mathbf V 1 delta t mathbf F 2 cdot mathbf V 2 delta t ldots mathbf F n cdot mathbf V n delta t Ya da dW i 1nFi w Xi d d dt displaystyle delta W sum i 1 n mathbf F i cdot vec omega times mathbf X i mathbf d dot mathbf d delta t Bu formul dW i 1nFi d dt i 1n Xi d Fi w dt F d T w dt displaystyle delta W sum i 1 n mathbf F i cdot dot mathbf d delta t sum i 1 n mathbf X i mathbf d times mathbf F i cdot vec omega delta t mathbf F cdot dot mathbf d mathbf T cdot vec omega delta t elde etmek icin bu sekilde tekrar yazilabilir F ve T kati cismin M hareket cercevesindeki d referans noktasina uygulanan bileske kuvvet ve donme momentinin sonuclaridir kaynak belirtilmeli Kaynakca a b Hugh D Young and Roger A Freedman 2008 University Physics 12th Addison Wesley s 329 ISBN 978 0 321 50130 1 Dis baglantilarIngilizce vikipedi24 Ekim 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arsivlendi