Ewald toplamı, ismini ’dan alır, periyodik sistemlerin, özellikle elektrostatik enerjilerin, etkileşim enerjilerini hesaplayan bir yöntemdir. Ewald toplamı gerçek uzaydaki etkileşim enerjilerinin Fourier uzayındaki denk bir toplam ile değiştirilmiş toplam formülünün özel bir halidir. Bu yöntemin avantajı gerçek uzaydaki etkileşimler uzun mesafeli olduğunda Fourier uzayındaki toplamın hızlı yakınsıyor olmasıdır. Elektrostatik enerjiler kısa ve uzun mesafeli etkileşimlerden oluştukları için en verimli hesaplama etkileşim potansiyeli gerçek uzayda kısa mesafeli etkileşim toplamı ve Fourier uzayında uzun mesafeli etkileşim toplamı olarak iki parçaya ayrıldığında gerçekleşir.
Türetme
Ewald toplamı etkileşim potansiyelini iki terim halinde yeniden yazar
burada gerçek uzaydaki kısa mesafe terimine karşılık gelirken Fourier uzayındaki uzun mesafe terimine karşılık gelir. Uzun mesafe terimi tüm argümanlar için sonlu olmalıdır; ama yine de tutarlı herhangi bir matematiksel yapı da gösterebilir, örneğin Gauss dağılımı. Bu yöntem kısa mesafe teriminin kolayca toplanabileceğini kabul eder; bu yüzden problem doğrudan uzun mesafe teriminin hesaplanması problemine dönüşür. Fourier toplamının faydasından dolayı bu yöntem dolaylı olarak üzerinde çalışıldığı sistemin sonsuz periyodik olduğunu kabul eder. Bu varsayımsal sistemin tekrar eden birimlerine birim hücre denir. Bu hücrelerden bir tanesi referans olarak merkezi hücre olarak, diğerleri de görüntüler olarak adlandırılır.
Uzun mesafe etkileşim enerjisi merkezi hücre yükü ile kafesteki diğer tüm yüklerin arasındaki etkileşim enerjilerinin toplamına eşittir. Dolayısıyla merkezi hücreyi ve kristal ağını
burada birim hücre yük yoğunluğu alanı yüklerinin konumları üzerinden bir toplama eşittir.
toplam yük ypğunluğu alanı birim hücre yükleri ve onların periyodik görüntüleri üzerinden toplamına eşittir.
Burada , , ve ağ vektörleri ve , and tam sayı değeri alan değişkenlerdir. Toplam alan ağ fonksiyonu ile birlikte nin bir evrişimi olarak gösterilebilir.
Bu bir evrişim olduğundan, in Fourier transformu bir çarpımdır
burada ağ fonksiyonlarının Fourier dönüşümleri delta fonksiyonlarının bir başka toplamıdır
Burada karşılıklı uzay vektörleri olarak tanımlanmıştır. where merkezi birim hücrenin hacmidir. Daha kısa bir ifade olarak etkin tek parçacık potansiyeli tanımlayalım
Sadelik açısından, etkin tek-parçacık potansiyeli tanımlayalım
Yukarıdaki durum bunun için de geçerlidir
Burada Fourier dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanmıştır
Bu noktada enerji tek bir alan integrali olarak yazılabilir.
, enerjinin Fourier uzayındaki toplamı
Burada son toplamdır.
En önemli sonuç budur. hesaplandığı zaman, üzerinden toplam/integral bariz olup hızlı bir şekilde yakınsar. Olası bir ıraksaklığın en genel sebebi birim hücrenin iyi tanımlı olmamasından kaynaklanır.
Parçacık ağ Ewald yöntemi
Ewald toplamı bilgisayar kullanımının gelişmesinden çok önce teorik fizik aracı olarak geliştirildi. Öte yandan Ewald yönteminin parçacık sistmlerindeki en yaygın kullanımı 1970 yıllarına denk gelir. Uygulama alanları arasında plazma fiziği, galaksiler ve moleküller sayılabilir.
Normal Ewald toplamındaki gibi karakteristik etkilişm potansiyeli iki terime ayrılır - kısa mesafe terimi uzun mesafe terimi . Bu yöntemin temel mantığı etkileşim enerjilerini parçacıklar arasındakilerle değiştirmesidir
iki toplamla, gerçek uzaydaki potansiyellerin doğrudan toplamı
Ve Fourier uzayındaki uzun mesafe teriminin toplamı
burada ve potansiyel ve yük yoğunluğunun Fourier dönüşümlerini temsil etmektedir. İki toplamda kendi uzaylarında hızlı bir şekilde yakınsadıklarından hesaplamada vakit kazanmak adına baştaki sonlu sayıdaki terimi alınabilir. Yük yoğunluğu alanının Fourier dönüşümünü hesaplamak için kullanılabilir. Bunun yapılabilmesi iin yoğunluk alanının kesikli bir uzayda tanımlanması gerekir.
Ewald toplamındaki periyodiklik varsayımından dolayı bu yöntemin uygulanabildiği fiziksel sistemlerde bu periyodik özellikle sınırlıdır. Böylece bu yöntem uzaysal dağılımı sonsuza kadar uzandığı varsayılabilecek periyodik sistemlerde en iyi çalışır. Molekül dinamiği simülasyonlarında bu şart sonsuz kere görüntü oluşturabilecek yüksüz birim hücrelerin oluşturulmasıyla sağlanabilir. Düzeltmelerle beraber toplam etkiye denir. Bu durum en iyi şu şekilde düşünülebilir. Bir birim küp alalım. Öyle ki karşılıklı yüzeyler birbirleri ile etkili bir biçimde temas halinde olsun. Kübün boyutları öyle seçilmelidir ki küp karşılıklı yüzeylerde oluşabilecek istenmeyen bağıntıları engelleyecek kadar geniş ve hesaplamaya uygun olacak kadar küçük olsun.
Bir yoğunluk alanının ağa sınırlandırılması yoğunluğu sürekli değişen sistemler için bu yöntemi daha kullanışlı hale getirir. Bu durumu sağlamayan sistemler Greengard ve Rokhlin yöntemiyle daha etkili çözümlenebilir.
Dipol terimi
Polar kristalin elektrostatik enerji terimi tır, diğer bir deyişle toplamın derecesine bağlıdır. Örneğin eğer birim hücrenin sürekli artan bir kübün üzerindeki diğer birim hücrelerle arasındaki dipol-dipol etkileşimleri Küresel hesaba göre farklı bir değere yakınsar. Kabaca söylemek gerekirse bu şartlı yakınsaklık başlıca üç sebepten kaynaklanır: (1) yarıçaplı bir küre kabuğu içerisindeki etkileşen dipol sayısı ile artar, (2) bir dipol-dipol etkileşimi ile azalır ve (3) ıraksaktır.
Bu şarşırtıcı sonuç gerçek kristallerin sonlu enerjisi ile ilgilidir çünkü bu kristaller sonsuz değildir ve belirli bir sınırları vardır. Daha basitçe söylemek gerekirse kutupsal bir kristalin sınırları yüzeyde etkin bir yük dağılımına sahiptir. Burada yüzey normal vektörüdür ve polarizasyona karşılık gelir. Merkezi birim hücredeki dipolün yüzeysel yük yoğunluğu ile earasındaki etkileşim enerjisi etkileşim enerjisi
where and are the net dipole moment and volume of the unit cell, is an infinitesimal area on the crystal surface and is the vector from the central unit cell to the infinitesimal area. This formula results from integrating the energy where represents the infinitesimal electric field generated by an infinitesimal surface charge (Coulomb yasası) burada ve sırasıyla net dipol momentine ve birim hücrenin hacmine, cristal yüzeyindeki sonsuz küçük alana ve merkezi birim hücrenin alan vektörüne karşılık gelmektedir. Bu formül tarafından kaynaklanan enerjisinin integrasyonundan gelir.
Eksi işareti nin tanımından gelir.
Tarihçe
Ewald toplamı 1921 de tarafından iyonik kristallerin elektrostatik enerjisini hesaplamak için geliştirilmiştir.
Ölçeklendirme
Genel olarak farklı Ewald toplamı teklikleri farklı zaman karışıklıkları verir. Doğrudan hesaplama değerini verir. Burada sistemdeki atom sayısıdır. PME yöntemi verir.
Ayrıca bakınız
Kaynakça
- Ewald P. (1921) "Die Berechnung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale", Ann. Phys. 369, 253–287. DOI:10.1002/andp.19213690304
- Darden T, Perera L, Li L and Pedersen L. (1999) "New tricks for modelers from the crystallography toolkit: the particle mesh Ewald algorithm and its use in nucleic acid simulations", Structure 7, R55–R60, DOI:10.1016/S0969-2126(99)80033-1.
- Schlick T. (2002). Molecular Modeling and Simulation: An Interdisciplinary Guide Springer-Verlag Interdisciplinary Applied Mathematics, Mathematical Biology, Vol. 21. New York, NY.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Ewald toplami ismini dan alir periyodik sistemlerin ozellikle elektrostatik enerjilerin etkilesim enerjilerini hesaplayan bir yontemdir Ewald toplami gercek uzaydaki etkilesim enerjilerinin Fourier uzayindaki denk bir toplam ile degistirilmis toplam formulunun ozel bir halidir Bu yontemin avantaji gercek uzaydaki etkilesimler uzun mesafeli oldugunda Fourier uzayindaki toplamin hizli yakinsiyor olmasidir Elektrostatik enerjiler kisa ve uzun mesafeli etkilesimlerden olustuklari icin en verimli hesaplama etkilesim potansiyeli gercek uzayda kisa mesafeli etkilesim toplami ve Fourier uzayinda uzun mesafeli etkilesim toplami olarak iki parcaya ayrildiginda gerceklesir TuretmeEwald toplami etkilesim potansiyelini iki terim halinde yeniden yazar f r def fsr r fℓr r displaystyle varphi mathbf r stackrel mathrm def varphi sr mathbf r varphi ell r mathbf r burada fsr r displaystyle varphi sr mathbf r gercek uzaydaki kisa mesafe terimine karsilik gelirken fℓr r displaystyle varphi ell r mathbf r Fourier uzayindaki uzun mesafe terimine karsilik gelir Uzun mesafe terimi tum argumanlar icin sonlu olmalidir ama yine de tutarli herhangi bir matematiksel yapi da gosterebilir ornegin Gauss dagilimi Bu yontem kisa mesafe teriminin kolayca toplanabilecegini kabul eder bu yuzden problem dogrudan uzun mesafe teriminin hesaplanmasi problemine donusur Fourier toplaminin faydasindan dolayi bu yontem dolayli olarak uzerinde calisildigi sistemin sonsuz periyodik oldugunu kabul eder Bu varsayimsal sistemin tekrar eden birimlerine birim hucre denir Bu hucrelerden bir tanesi referans olarak merkezi hucre olarak digerleri de goruntuler olarak adlandirilir Uzun mesafe etkilesim enerjisi merkezi hucre yuku ile kafesteki diger tum yuklerin arasindaki etkilesim enerjilerinin toplamina esittir Dolayisiyla merkezi hucreyi ve kristal agini Eℓr drdr rTOT r ruc r fℓr r r displaystyle E ell r iint d mathbf r d mathbf r prime rho text TOT mathbf r rho uc mathbf r prime varphi ell r mathbf r mathbf r prime burada birim hucre yuk yogunlugu alani ruc r displaystyle rho uc mathbf r qk displaystyle q k yuklerinin rk displaystyle mathbf r k konumlari uzerinden bir toplama esittir ruc r def charges kqkd r rk displaystyle rho uc mathbf r stackrel mathrm def sum mathrm charges k q k delta mathbf r mathbf r k toplam yuk ypgunlugu alani rTOT r displaystyle rho text TOT mathbf r qk displaystyle q k birim hucre yukleri ve onlarin periyodik goruntuleri uzerinden toplamina esittir rTOT r def n1 n2 n3 charges kqkd r rk n1a1 n2a2 n3a3 displaystyle rho text TOT mathbf r stackrel mathrm def sum n 1 n 2 n 3 sum mathrm charges k q k delta mathbf r mathbf r k n 1 mathbf a 1 n 2 mathbf a 2 n 3 mathbf a 3 Burada d x displaystyle delta mathbf x a1 displaystyle mathbf a 1 a2 displaystyle mathbf a 2 ve a3 displaystyle mathbf a 3 ag vektorleri ve n1 displaystyle n 1 n2 displaystyle n 2 and n3 displaystyle n 3 tam sayi degeri alan degiskenlerdir Toplam alan rTOT r displaystyle rho text TOT mathbf r L r displaystyle L mathbf r ag fonksiyonu ile birlikte ruc r displaystyle rho uc mathbf r nin bir evrisimi olarak gosterilebilir L r def n1 n2 n3d r n1a1 n2a2 n3a3 displaystyle L mathbf r stackrel mathrm def sum n 1 n 2 n 3 delta mathbf r n 1 mathbf a 1 n 2 mathbf a 2 n 3 mathbf a 3 Bu bir evrisim oldugundan rTOT r displaystyle rho text TOT mathbf r in Fourier transformu bir carpimdir r TOT k L k r uc k displaystyle tilde rho text TOT mathbf k tilde L mathbf k tilde rho uc mathbf k burada ag fonksiyonlarinin Fourier donusumleri delta fonksiyonlarinin bir baska toplamidir L k 2p 3W m1 m2 m3d k m1b1 m2b2 m3b3 displaystyle tilde L mathbf k frac left 2 pi right 3 Omega sum m 1 m 2 m 3 delta mathbf k m 1 mathbf b 1 m 2 mathbf b 2 m 3 mathbf b 3 Burada karsilikli uzay vektorleri b1 def a2 a3 W displaystyle mathbf b 1 stackrel mathrm def mathbf a 2 times mathbf a 3 Omega olarak tanimlanmistir where W def a1 a2 a3 displaystyle Omega stackrel mathrm def mathbf a 1 cdot left mathbf a 2 times mathbf a 3 right merkezi birim hucrenin hacmidir Daha kisa bir ifade olarak etkin tek parcacik potansiyeli tanimlayalim Sadelik acisindan etkin tek parcacik potansiyeli tanimlayalim v r def dr ruc r fℓr r r displaystyle v mathbf r stackrel mathrm def int d mathbf r prime rho uc mathbf r prime varphi ell r mathbf r mathbf r prime Yukaridaki durum bunun icin de gecerlidir V k def r uc k F k displaystyle tilde V mathbf k stackrel mathrm def tilde rho uc mathbf k tilde Phi mathbf k Burada Fourier donusumu asagidaki gibi tanimlanmistir V k dr v r e ik r displaystyle tilde V mathbf k int d mathbf r v mathbf r e i mathbf k cdot mathbf r Bu noktada enerji tek bir alan integrali olarak yazilabilir Eℓr dr rTOT r v r displaystyle E ell r int d mathbf r rho text TOT mathbf r v mathbf r enerjinin Fourier uzayindaki toplami Eℓr dk 2p 3 r TOT k V k dk 2p 3L k r uc k 2F k 1W m1 m2 m3 r uc k 2F k displaystyle E ell r int frac d mathbf k left 2 pi right 3 tilde rho text TOT mathbf k tilde V mathbf k int frac d mathbf k left 2 pi right 3 tilde L mathbf k left tilde rho uc mathbf k right 2 tilde Phi mathbf k frac 1 Omega sum m 1 m 2 m 3 left tilde rho uc mathbf k right 2 tilde Phi mathbf k Burada k m1b1 m2b2 m3b3 displaystyle mathbf k m 1 mathbf b 1 m 2 mathbf b 2 m 3 mathbf b 3 son toplamdir En onemli sonuc budur r uc k displaystyle tilde rho uc mathbf k hesaplandigi zaman k displaystyle mathbf k uzerinden toplam integral bariz olup hizli bir sekilde yakinsar Olasi bir iraksakligin en genel sebebi birim hucrenin iyi tanimli olmamasindan kaynaklanir Parcacik ag Ewald yontemiEwald toplami bilgisayar kullaniminin gelismesinden cok once teorik fizik araci olarak gelistirildi Ote yandan Ewald yonteminin parcacik sistmlerindeki en yaygin kullanimi 1970 yillarina denk gelir Uygulama alanlari arasinda plazma fizigi galaksiler ve molekuller sayilabilir Normal Ewald toplamindaki gibi karakteristik etkilism potansiyeli iki terime ayrilir f r def fsr r fℓr r displaystyle varphi mathbf r stackrel mathrm def varphi sr mathbf r varphi ell r mathbf r kisa mesafe terimi fsr r displaystyle varphi sr mathbf r uzun mesafe terimi fℓr r displaystyle varphi ell r mathbf r Bu yontemin temel mantigi etkilesim enerjilerini parcaciklar arasindakilerle degistirmesidir ETOT i jf rj ri Esr Eℓr displaystyle E text TOT sum i j varphi mathbf r j mathbf r i E sr E ell r iki toplamla gercek uzaydaki potansiyellerin dogrudan toplami Esr displaystyle E sr Esr i jfsr rj ri displaystyle E sr sum i j varphi sr mathbf r j mathbf r i Ve Fourier uzayindaki uzun mesafe teriminin toplami Eℓr kF ℓr k r k 2 displaystyle E ell r sum mathbf k tilde Phi ell r mathbf k left tilde rho mathbf k right 2 burada F ℓr displaystyle tilde Phi ell r ve r k displaystyle tilde rho mathbf k potansiyel ve yuk yogunlugunun Fourier donusumlerini temsil etmektedir Iki toplamda kendi uzaylarinda hizli bir sekilde yakinsadiklarindan hesaplamada vakit kazanmak adina bastaki sonlu sayidaki terimi alinabilir Yuk yogunlugu alaninin Fourier donusumunu hesaplamak icin kullanilabilir Bunun yapilabilmesi iin yogunluk alaninin kesikli bir uzayda tanimlanmasi gerekir Ewald toplamindaki periyodiklik varsayimindan dolayi bu yontemin uygulanabildigi fiziksel sistemlerde bu periyodik ozellikle sinirlidir Boylece bu yontem uzaysal dagilimi sonsuza kadar uzandigi varsayilabilecek periyodik sistemlerde en iyi calisir Molekul dinamigi simulasyonlarinda bu sart sonsuz kere goruntu olusturabilecek yuksuz birim hucrelerin olusturulmasiyla saglanabilir Duzeltmelerle beraber toplam etkiye denir Bu durum en iyi su sekilde dusunulebilir Bir birim kup alalim Oyle ki karsilikli yuzeyler birbirleri ile etkili bir bicimde temas halinde olsun Kubun boyutlari oyle secilmelidir ki kup karsilikli yuzeylerde olusabilecek istenmeyen bagintilari engelleyecek kadar genis ve hesaplamaya uygun olacak kadar kucuk olsun Bir yogunluk alaninin aga sinirlandirilmasi yogunlugu surekli degisen sistemler icin bu yontemi daha kullanisli hale getirir Bu durumu saglamayan sistemler Greengard ve Rokhlin yontemiyle daha etkili cozumlenebilir Dipol terimiPolar kristalin elektrostatik enerji terimi tir diger bir deyisle toplamin derecesine baglidir Ornegin eger birim hucrenin surekli artan bir kubun uzerindeki diger birim hucrelerle arasindaki dipol dipol etkilesimleri Kuresel hesaba gore farkli bir degere yakinsar Kabaca soylemek gerekirse bu sartli yakinsaklik baslica uc sebepten kaynaklanir 1 R displaystyle R yaricapli bir kure kabugu icerisindeki etkilesen dipol sayisi R2 displaystyle R 2 ile artar 2 bir dipol dipol etkilesimi 1R3 displaystyle frac 1 R 3 ile azalir ve 3 n 1 1n displaystyle sum n 1 infty frac 1 n iraksaktir Bu sarsirtici sonuc gercek kristallerin sonlu enerjisi ile ilgilidir cunku bu kristaller sonsuz degildir ve belirli bir sinirlari vardir Daha basitce soylemek gerekirse kutupsal bir kristalin sinirlari yuzeyde etkin bir s P n displaystyle sigma mathbf P cdot mathbf n yuk dagilimina sahiptir Burada n displaystyle mathbf n yuzey normal vektorudur ve P displaystyle mathbf P polarizasyona karsilik gelir Merkezi birim hucredeki dipolun yuzeysel yuk yogunlugu ile earasindaki etkilesim enerjisi etkilesim enerjisi U displaystyle U U 12Vuc puc r puc n dSr3 displaystyle U frac 1 2V uc int frac left mathbf p uc cdot mathbf r right left mathbf p uc cdot mathbf n right dS r 3 where puc displaystyle mathbf p uc and Vuc displaystyle V uc are the net dipole moment and volume of the unit cell dS displaystyle dS is an infinitesimal area on the crystal surface and r displaystyle mathbf r is the vector from the central unit cell to the infinitesimal area This formula results from integrating the energy dU puc dE displaystyle dU mathbf p uc cdot mathbf dE where dE displaystyle d mathbf E represents the infinitesimal electric field generated by an infinitesimal surface charge dq def sdS displaystyle dq stackrel mathrm def sigma dS Coulomb yasasi burada puc displaystyle mathbf p uc ve Vuc displaystyle V uc sirasiyla net dipol momentine ve birim hucrenin hacmine dS displaystyle dS cristal yuzeyindeki sonsuz kucuk alana ve r displaystyle mathbf r merkezi birim hucrenin alan vektorune karsilik gelmektedir Bu formul dq def sdS displaystyle dq stackrel mathrm def sigma dS tarafindan kaynaklanan dU puc dE displaystyle dU mathbf p uc cdot mathbf dE enerjisinin integrasyonundan gelir dE def 14pϵ dq rr3 14pϵ sdS rr3 displaystyle d mathbf E stackrel mathrm def left frac 1 4 pi epsilon right frac dq mathbf r r 3 left frac 1 4 pi epsilon right frac sigma dS mathbf r r 3 Eksi isareti r displaystyle mathbf r nin tanimindan gelir TarihceEwald toplami 1921 de tarafindan iyonik kristallerin elektrostatik enerjisini hesaplamak icin gelistirilmistir OlceklendirmeGenel olarak farkli Ewald toplami teklikleri farkli zaman karisikliklari verir Dogrudan hesaplama O N2 displaystyle O N 2 degerini verir Burada N displaystyle N sistemdeki atom sayisidir PME yontemi O Nlog N displaystyle O N log N verir Ayrica bakinizMolekuler modellemeKaynakca J Chem Phys 98 10089 1993 DOI 10 1063 1 464397 Ewald P 1921 Die Berechnung optischer und elektrostatischer Gitterpotentiale Ann Phys 369 253 287 DOI 10 1002 andp 19213690304 Darden T Perera L Li L and Pedersen L 1999 New tricks for modelers from the crystallography toolkit the particle mesh Ewald algorithm and its use in nucleic acid simulations Structure 7 R55 R60 DOI 10 1016 S0969 2126 99 80033 1 Schlick T 2002 Molecular Modeling and Simulation An Interdisciplinary Guide Springer Verlag Interdisciplinary Applied Mathematics Mathematical Biology Vol 21 New York NY