Doğrusal cebirde kare matris satır ve sütun sayıları eşit olan bir matrisdir n ye n lik bir matris boyutu n olan b

Doğrusal cebirde, kare matris, satır ve sütun sayıları eşit olan bir matrisdir. n ye n lik bir matris, boyutu n olan bir kare matris olarak bilinir. Aynı (boyuta) sahip herhangi iki matriste, toplama ve çarpma işlemleri yapılabilir.

4 boyutlu bir kare matris. a_ii girişleri kare matrisin ilkköşegenidir. Örneğin, yukarıdaki 4'e 4'lük kare matrisin ilkköşegeninin ögeleri (elemanları) şunlardır: a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

Kare matrisler genellikle, veya gibi basit doğrusal dönüşümlerde kullanılır. Örneğin; R kare matrisi, bir rotasyonu () ifade etsin ve v, vektör uzayında bir noktanın (konumunun) sütun vektörünü açıklasın. Rv çarpımı, rotasyondan sonraki noktanın konumunun başka bir sütun vektörünü açıklar. Eğer v, bir satır vektör ise, vR^T kullanılarak aynı dönüşüm elde edilebilir. Burada R^T, R matrisinin transpozesidir.

İlkköşegen

İlkköşegen, bir kare matrisin a_ii (i = 1, ..., n) girişleridir. Bunlar, kare matrisin sol üst köşesinden sağ alt köşesine uzanan bir düz imajiner (hayali) çizgi üzerinde bulunur. Örneğin, yukarıdaki 4'e 4'lük kare matrisin ilkköşegeninin ögeleri (elemanları) şunlardır: a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

Kare matrisin, sağ alt köşesinden sol üst köşesine giden köşegen ters köşegen olarak adlandırılır.

Özel kare matrisler

Ad	n = 3'lük örnek
Köşegen matris	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Alt üçgen matris	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Üst üçgen matris	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$

Köşegen veya üçgen matris

Köşegen matris, ilkköşegenin dışında kalan girişlerin tümü sıfır olan bir matristir. Eğer ilkköşegenin üstündeki (veya altındaki) girişlerin tümü sıfır ise, bu matris üst (veya alt) üçgen matris olarak adlandırılır.

Birim matris

n boyutlu I_nbirim matris, ilkköşegenin tüm ögeleri 1, geri kalanları 0 olan, n ye n lik matristir.

I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}

Simetrik ve çarpık-simetrik matris

Transpozesi (A^T) kendisine eşit olan bir A kare matrisine simetrik matris denir. A matrisi, transpozesinin negatifine eşit ise (A = −A^T), bu durumda A çarpık-simetrik matrisdir. Karmaşık matrislerde simetrik matris yerine daha çok Hermisyen matris kavramı kullanılır ve A^∗ = A ile sembolize edilir. Burada yıldız işareti, matrisin . Örneğin, A matrisinin transpozesi gibi.

Terslenebilir matris ve tersi

AB = BA = I_n eşitliğini sağlayan A kare matrisinin, terslenebilir matrisi (bazen ters matris olarak da anılır) B dir. Bu durumda B=A⁻¹'dir.

Pozitif tanımlı matris


${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&1/4\\\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}1/4&0\\0&-1/4\end{bmatrix}}$
Q(x,y) = 1/4 x² + 1/4y²	Q(x,y) = 1/4 x² − 1/4 y²
Q(x,y) = 1 gibi noktalar (Elips).	Q(x,y) = 1 gibi noktalar (Hiperbol).

Bir n×n simetrik matrisi, :Q(x) = x^TAx x ∈ Rⁿ sıfırsız vektörlerin tümü için, yalnızca pozitif değerler (benzer şekilde yalnızca negatif değerler; hem biraz negatif hem de biraz pozitif değer) alıyorsa, bu matris, (benzer şekilde ; ) olarak adlandırılır. Eğer ikinci dereceden form, yalnızca negatif olmayan (benzer şekilde yalnızca pozitif olmayan) değer alıyorsa bu simetrik matris, pozitif yarı tanımlı (benzer şekilde negatif yarı tanımlı) olarak adlandırılır. Bu yüzden matris, ne pozitif yarı tanımlı ne de negatif yarı tanımlı değilse, bu durumda tanımsız olarak adlandırılır.

Pozitif tanımlı bir simetrik matris, kendi değerlerini tümü pozitiftir. Sağdaki tablo, 2'ye 2'lik bir matrisin iki ihtimalini gösteriyor.

A matrisinin , iki farklı vektörlerle şöyle ifade edilir:

B_A (x, y) = x^TAy.

Dikey matris

Dikey matris, tüm satır ve sütunları, reel giriş (öge) olan ve birim vektörlerden meydana gelen bir kare matristir. Benzer şekilde eğer A matrisinin transpozesi eşitse bu matris dikey matristir ve şöyle ifade edilir:

A^{\mathrm {T} }=A^{-1},\,

Bu durumda

A^{\mathrm {T} }A=AA^{\mathrm {T} }=I,\,

eşitlikleri sağlanır. Burada, I birim matrisdir.

İşlemler

İlkköşegen toplamı

Bir A kare matrisinin tr(A) ilkköşegen toplamı, köşegen girişlerinin toplamıdır. İki kare matrisin çarpımlarının ilkköşegen toplamı aynıdır. Yani matrislerin yerlerinin değiştirilmesi önemsizdir.

tr(AB) = tr(BA).

Matris çarpmanın genel ifadesi şöyle yazılabilir:

\scriptstyle \operatorname {tr} ({\mathsf {AB}})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}A_{ij}B_{ji}=\operatorname {tr} ({\mathsf {BA}}).

Ayrıca bir kare matrisin ilkköşegen toplamı, matrisin transpozesinin ilkköşegen toplamı eşittir.

tr(A) = tr(A^T).

Determinant

.

Bir A kare matrisinin determinantı det(A) veya |A|, matrisin belirli özelliklerini saklayan bir sayıdır. Bir kare matrisin determinantı ancak ve ancak sıfırdan farklı ise .

2'ye 2'lik kare matrislerin determinantı şöyle ifade edilir:

\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.

3'e 3'lük kare matrisin determinantı, 6 terimden oluşur. (Sarrus kuralı).

Kare matrislerin çarpımlarının determinantı, her bir matrisin determinantının çarpımına eşittir. Bu eşitlik şöyle ifade edilir:

det(AB) = det(A) · det(B).