Doğrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris çarpımı, bir matris çiftinde yapılan ve başka bir matris üreten ikili işlemdir. Reel veya karmaşık sayılar gibi sayılarda temel aritmetiğe uygun olarak çarpma yapılabilir. Başka bir ifade ile matrisler, sayı dizileridir. Bu yüzden, matris çarpımını ifade eden tek bir yöntem yoktur. "Matris çarpımı" terimi çoğunlukla, matris çarpımının farklı yöntemlerini ifade eder. Matris çarpımının anahtar özellikleri şunlardır: Asıl matrislerin satır ve sütun sayıları, (matrisin ("boyutu") olarak adlandırılır) ve matrislerin girişlerinin nasıl yeni bir matris oluşturacağıdır.
Vektörler gibi herhangi bir boyutlu matrislerde de, nokta çarpım yapılabilir. Bu işlem, matrisin her bir girişinin (ögesinin) aynı sayı (skaler) ile çarpılmasıdır. Matrislerin toplanması veya çıkarılması işlemleri de benzer şekilde yapılır.
Matris çarpımı başka yöntemlerle de yapılabilir. Fakat en kullanışlı yöntemler, (doğrusal denklemler) ve doğrusal dönüşümlerle elde edilir. Sayısal uygulamaları, uygulamalı matematik, fizik ve mühendislikte görülür.
Tanım
Skaler çarpma
Matrislerle ilgili en basit çarpma formu skaler çarpmadır.
Bir A matrisinin λ skaleri ile sol skaler çarpma işlemi sonucunda A ile aynı boyutlu fakat farklı bir matris elde edilir. Bu λA çarpma işlemi, aşağıdaki şekilde ifade edilir;
Daha açık ifade ile:
Benzer şekilde, bir A matrisinin λ skaleri ile sağ skaler çarpma işlemi şöyledir:
Daha açık ifade ile:
halkada eğer bir değişme özelliği varsa, örneğin; reel veya karmaşık sayılarda bu iki çarpım (skaler çarpım ve nokta çarpım), aynı anlama gelir ve basitçe skaler çarpım olarak adlandırılır. Fakat matrisler için, daha genel ifade ile halka (örneğin dördey) için değişme özelliği yoksa bu iki çarpım aynı anlama gelmez. Bir reel skaler ve matris şöyle olsun:
Dördeyin skalerleri ve matrisleri de şöyle olsun:
Burada i, j, k, dördeyin birimleridir. Dördeyde çarpma işleminin değişmeli olamaması, ij = +k ile ji = −k değişiminin yapılmasını engeller.
Matris çarpma (iki matris)
İki matrisin çarpılacağını varsayalım.
Matris çarpmanın genel tanımı
Eğer A, n × m boyutlu bir matris ve B, m × p boyutlu bir matris ise;
AB matris çarpma (çarpım işaretsiz veya noktasız ifade edilir), n × p matrisi olarak ifade edilir.
Burada her bir i, j girişi, Aik girişleri A matrisinin i satırı) ile Bkj girişleri (B matrisinin j sütunu) çarpımıdır. k = 1, 2, ..., m ve, k sonuçlar toplamı şöyle ifade edilir:
Girişler genellikle sayı veya ifadelerle belirtilir. Fakat matrislerin kendisi de bir giriş olabilir. ( bakınız).
Şekilsel gösterim
Sağdaki şekil, A ve B iki matrisinin çarpımını şematik olarak gösteriyor. Sonuçta elde edilen matris 4'e 3'lük X matrisi olsun.
Şekilde, çemberle işaretlenen hücrelerin değerleri şunlardır:
Yukarıdakiler, X matrisinin belirlenen girişleridir.
Matris çarpmaya örnekler
Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
Burada matris çarpma işlemi şöyle:
Benzer şekilde;
AB ile BAnın çok farklı matrisler olduğuna dikkat edin. İlk matris 1 × 1 boyutlu matris iken, ikincisi 3 × 3 boyutlu matristir.
- Kare matris ve sütun vektörü
Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
Burada matris çarpma işlemi şöyle:
Bu örnekte BA tanımlı değildir.
Bir kare matrisi, sütun matrisi ile çarpma, doğrusal denklemleri çözme ve doğrusal dönüşümleri ifade etmek için sıkça kullanılır.
- Kare matrisler
Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
Benzer şekilde;
Bu durumda hem AB hem de BA matrisi tanımlıdır. Fakat AB ile BA matrisinin girişleri çoğunlukla eşit değildir.
- Satır vektör, kare matris ve sütun vektör
Aşağıdaki gibi üç matris verilsin;
Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
Bu durumda CBA tanımlı değildir. A(BC) = (AB)C olduğuna dikkat edin. Bu çok genel özelliklerden biridir.
- Dikdörtgen matris
Aşağıdaki gibi iki matris verilsin;
Burada matris çarpma işlemi şöyledir:
Benzer şekilde;
Matris çarpmanın özellikleri
Tüm matrisler
1. Değişme özelliği yoktur:
Genellikle:
Çünkü AB ile BA, eşzamanlı olarak tanımlanamazlar. Tanımlansalar bile eşit olamazlar. Bu, sayıların çarpılmasına terstir. Matris çarpımını büyüklüğünü kelimelerle ifade etmek için; A nın B ile "ön çarpımı (veya sol çarpımı)" BA olurken, "A nın C ile son çarpımı (veya sağ çarpımı) " AC olur. Matrisin tüm girişleri bir birime sahip halkada bulunduğu ve n > 1 olduğu müddetçe, halkada bir çift n × n değiştirilemez matris olur. Buna tek istisna birim matris (veya herhangi bir skaler çarpımı)dır.
Dizi gösterimi:
2. Matrisin toplama üzerine dağılma özelliği vardır:
Sol dağılım:
Sağ dağılım:
Dizi gösteriminde sırasıyla bunlar:
3. Skaler çarpma, matris çarpımı ile uyumludur:
- and
Burada λ bir skalerdir. Eğer matrisin tüm girişleri reel veya karmaşık sayı ise, tüm dört miktarda eşit olur. Daha genel bir ifade ile, eğer λ matrisin girişlerinin halkasının merkezinde ise, tüm dördü de eşit olur. Çünkü bu durumda, tüm X matrisleri için, λX = Xλ olur. Dizin gösterimi sırasıyla şöyle olur:
4. Transpoze:
Burada T, transpozeyi ifade eder.
Dizi gösteriminde:
5. : Eğer A ve B karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;
olur. Burada *, bir matrisin ifade eder.
Dizi gösteriminde:
6. :
Eğer A ve B karmaşık girişlerden oluşuyorsa, bu durumda;
Burada †, bir matrisin karmaşık transpozesini ifade eder.
Dizi gösteriminde:
7. İlkköşegen toplamı: AB çarpımının ilkköşegen toplamı A ve B matrislerinin büyüklüğünden bağımsızdır:
Dizi gösteriminde:
Yalnızca kare matrisler
1. Birim matris:
Eğer A bir kare matris ise, bu durumda
Burada I, aynı boyuta sahip birim matristir.
2. Tersinir matris:
Eğer A bir kare matris ise, A−1 terslenebilir matrisi şöyle olur;
Bu durumda aşağıdaki eşitlik sağlanır;
3. Determinant: AB çarpımının determinantı, A matrisinin determinantı ile B matrisinin determinantının çarpımına eşittir.
det(A) ve det(B) yalnızca sayıdır. Bu yüzden, AB ≠ BA olsa bile det(AB) = det(BA) olur.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Dogrusal cebirde veya daha genel ifade ile matematikte matris carpimi bir matris ciftinde yapilan ve baska bir matris ureten ikili islemdir Reel veya karmasik sayilar gibi sayilarda temel aritmetige uygun olarak carpma yapilabilir Baska bir ifade ile matrisler sayi dizileridir Bu yuzden matris carpimini ifade eden tek bir yontem yoktur Matris carpimi terimi cogunlukla matris carpiminin farkli yontemlerini ifade eder Matris carpiminin anahtar ozellikleri sunlardir Asil matrislerin satir ve sutun sayilari matrisin boyutu olarak adlandirilir ve matrislerin girislerinin nasil yeni bir matris olusturacagidir Vektorler gibi herhangi bir boyutlu matrislerde de nokta carpim yapilabilir Bu islem matrisin her bir girisinin ogesinin ayni sayi skaler ile carpilmasidir Matrislerin toplanmasi veya cikarilmasi islemleri de benzer sekilde yapilir Matris carpimi baska yontemlerle de yapilabilir Fakat en kullanisli yontemler dogrusal denklemler ve dogrusal donusumlerle elde edilir Sayisal uygulamalari uygulamali matematik fizik ve muhendislikte gorulur TanimSkaler carpma Matrislerle ilgili en basit carpma formu skaler carpmadir Bir A matrisinin l skaleri ile sol skaler carpma islemi sonucunda A ile ayni boyutlu fakat farkli bir matris elde edilir Bu lA carpma islemi asagidaki sekilde ifade edilir lA ij l A ij displaystyle lambda mathbf A ij lambda left mathbf A right ij Daha acik ifade ile lA l A11A12 A1mA21A22 A2m An1An2 Anm lA11lA12 lA1mlA21lA22 lA2m lAn1lAn2 lAnm displaystyle lambda mathbf A lambda begin pmatrix A 11 amp A 12 amp cdots amp A 1m A 21 amp A 22 amp cdots amp A 2m vdots amp vdots amp ddots amp vdots A n1 amp A n2 amp cdots amp A nm end pmatrix begin pmatrix lambda A 11 amp lambda A 12 amp cdots amp lambda A 1m lambda A 21 amp lambda A 22 amp cdots amp lambda A 2m vdots amp vdots amp ddots amp vdots lambda A n1 amp lambda A n2 amp cdots amp lambda A nm end pmatrix Benzer sekilde bir A matrisinin l skaleri ile sag skaler carpma islemi soyledir Al ij A ijl displaystyle mathbf A lambda ij left mathbf A right ij lambda Daha acik ifade ile Al A11A12 A1mA21A22 A2m An1An2 Anm l A11lA12l A1mlA21lA22l A2ml An1lAn2l Anml displaystyle mathbf A lambda begin pmatrix A 11 amp A 12 amp cdots amp A 1m A 21 amp A 22 amp cdots amp A 2m vdots amp vdots amp ddots amp vdots A n1 amp A n2 amp cdots amp A nm end pmatrix lambda begin pmatrix A 11 lambda amp A 12 lambda amp cdots amp A 1m lambda A 21 lambda amp A 22 lambda amp cdots amp A 2m lambda vdots amp vdots amp ddots amp vdots A n1 lambda amp A n2 lambda amp cdots amp A nm lambda end pmatrix halkada eger bir degisme ozelligi varsa ornegin reel veya karmasik sayilarda bu iki carpim skaler carpim ve nokta carpim ayni anlama gelir ve basitce skaler carpim olarak adlandirilir Fakat matrisler icin daha genel ifade ile halka ornegin dordey icin degisme ozelligi yoksa bu iki carpim ayni anlama gelmez Bir reel skaler ve matris soyle olsun l 2 A abcd displaystyle lambda 2 quad mathbf A begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix 2A 2 abcd 2 a2 b2 c2 d a 2b 2c 2d 2 abcd 2 A2 displaystyle 2 mathbf A 2 begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix begin pmatrix 2 cdot a amp 2 cdot b 2 cdot c amp 2 cdot d end pmatrix begin pmatrix a cdot 2 amp b cdot 2 c cdot 2 amp d cdot 2 end pmatrix begin pmatrix a amp b c amp d end pmatrix 2 mathbf A 2 Dordeyin skalerleri ve matrisleri de soyle olsun l i A i00j displaystyle lambda i quad mathbf A begin pmatrix i amp 0 0 amp j end pmatrix i i00j i200ij 100k 100 k i200ji i00j i displaystyle i begin pmatrix i amp 0 0 amp j end pmatrix begin pmatrix i 2 amp 0 0 amp ij end pmatrix begin pmatrix 1 amp 0 0 amp k end pmatrix neq begin pmatrix 1 amp 0 0 amp k end pmatrix begin pmatrix i 2 amp 0 0 amp ji end pmatrix begin pmatrix i amp 0 0 amp j end pmatrix i Burada i j k dordeyin birimleridir Dordeyde carpma isleminin degismeli olamamasi ij k ile ji k degisiminin yapilmasini engeller Matris carpma iki matris Iki matrisin carpilacagini varsayalim Matris carpmanin genel tanimi A matrisinin i satirindaki ve B matrisinin j sutunundaki sayilarin carpimi duz cizgiler ile terimlerin kesikli cizgiler toplanmasi aritmetik islemi son matrisdeki ij girislerini verir Eger A n m boyutlu bir matris ve B m p boyutlu bir matris ise A A11A12 A1mA21A22 A2m An1An2 Anm B B11B12 B1pB21B22 B2p Bm1Bm2 Bmp displaystyle mathbf A begin pmatrix A 11 amp A 12 amp cdots amp A 1m A 21 amp A 22 amp cdots amp A 2m vdots amp vdots amp ddots amp vdots A n1 amp A n2 amp cdots amp A nm end pmatrix quad mathbf B begin pmatrix B 11 amp B 12 amp cdots amp B 1p B 21 amp B 22 amp cdots amp B 2p vdots amp vdots amp ddots amp vdots B m1 amp B m2 amp cdots amp B mp end pmatrix AB matris carpma carpim isaretsiz veya noktasiz ifade edilir n p matrisi olarak ifade edilir AB AB 11 AB 12 AB 1p AB 21 AB 22 AB 2p AB n1 AB n2 AB np displaystyle mathbf A mathbf B begin pmatrix left mathbf AB right 11 amp left mathbf AB right 12 amp cdots amp left mathbf AB right 1p left mathbf AB right 21 amp left mathbf AB right 22 amp cdots amp left mathbf AB right 2p vdots amp vdots amp ddots amp vdots left mathbf AB right n1 amp left mathbf AB right n2 amp cdots amp left mathbf AB right np end pmatrix Burada her bir i j girisi Aik girisleri A matrisinin i satiri ile Bkj girisleri B matrisinin j sutunu carpimidir k 1 2 m ve k sonuclar toplami soyle ifade edilir AB ij k 1mAikBkj displaystyle mathbf A mathbf B ij sum k 1 m A ik B kj Girisler genellikle sayi veya ifadelerle belirtilir Fakat matrislerin kendisi de bir giris olabilir bakiniz Sekilsel gosterim Sagdaki sekil A ve B iki matrisinin carpimini sematik olarak gosteriyor Sonucta elde edilen matris 4 e 3 luk X matrisi olsun a11a12 a31a32 4 2 matris b12b13 b22b23 2 3 matris x12x13 x32x33 4 3 matris displaystyle overset 4 times 2 text matris begin bmatrix color Brown a 11 amp color Brown a 12 cdot amp cdot color Orange a 31 amp color Orange a 32 cdot amp cdot end bmatrix overset 2 times 3 text matris begin bmatrix cdot amp color Plum b 12 amp color Violet b 13 cdot amp color Plum b 22 amp color Violet b 23 end bmatrix overset 4 times 3 text matris begin bmatrix cdot amp x 12 amp x 13 cdot amp cdot amp cdot cdot amp x 32 amp x 33 cdot amp cdot amp cdot end bmatrix Sekilde cemberle isaretlenen hucrelerin degerleri sunlardir x12 a11b12 a12b22x13 a11b13 a12b23x32 a31b12 a32b22x33 a31b13 a32b23 displaystyle begin aligned x 12 amp color Brown a 11 color Plum b 12 color Brown a 12 color Plum b 22 x 13 amp color Brown a 11 color Violet b 13 color Brown a 12 color Violet b 23 x 32 amp color Orange a 31 color Plum b 12 color Orange a 32 color Plum b 22 x 33 amp color Orange a 31 color Violet b 13 color Orange a 32 color Violet b 23 end aligned Yukaridakiler X matrisinin belirlenen girisleridir Matris carpmaya ornekler Satir vektor ve sutun vektor Asagidaki gibi iki matris verilsin A abc B xyz displaystyle mathbf A begin pmatrix a amp b amp c end pmatrix quad mathbf B begin pmatrix x y z end pmatrix Burada matris carpma islemi soyle AB abc xyz ax by cz displaystyle mathbf AB begin pmatrix a amp b amp c end pmatrix begin pmatrix x y z end pmatrix ax by cz Benzer sekilde BA xyz abc xaxbxcyaybyczazbzc displaystyle mathbf BA begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix a amp b amp c end pmatrix begin pmatrix xa amp xb amp xc ya amp yb amp yc za amp zb amp zc end pmatrix AB ile BA nin cok farkli matrisler olduguna dikkat edin Ilk matris 1 1 boyutlu matris iken ikincisi 3 3 boyutlu matristir Kare matris ve sutun vektoru Asagidaki gibi iki matris verilsin A abcpqruvw B xyz displaystyle mathbf A begin pmatrix a amp b amp c p amp q amp r u amp v amp w end pmatrix quad mathbf B begin pmatrix x y z end pmatrix Burada matris carpma islemi soyle AB abcpqruvw xyz ax by czpx qy rzux vy wz displaystyle mathbf AB begin pmatrix a amp b amp c p amp q amp r u amp v amp w end pmatrix begin pmatrix x y z end pmatrix begin pmatrix ax by cz px qy rz ux vy wz end pmatrix Bu ornekte BA tanimli degildir Bir kare matrisi sutun matrisi ile carpma dogrusal denklemleri cozme ve dogrusal donusumleri ifade etmek icin sikca kullanilir Kare matrisler Asagidaki gibi iki matris verilsin A abcpqruvw B abglmnrst displaystyle mathbf A begin pmatrix a amp b amp c p amp q amp r u amp v amp w end pmatrix quad mathbf B begin pmatrix alpha amp beta amp gamma lambda amp mu amp nu rho amp sigma amp tau end pmatrix Burada matris carpma islemi soyledir AB abcpqruvw abglmnrst aa bl crab bm csag bn ctpa ql rrpb qm rspg qn rtua vl wrub vm wsug vn wt displaystyle mathbf AB begin pmatrix a amp b amp c p amp q amp r u amp v amp w end pmatrix begin pmatrix alpha amp beta amp gamma lambda amp mu amp nu rho amp sigma amp tau end pmatrix begin pmatrix a alpha b lambda c rho amp a beta b mu c sigma amp a gamma b nu c tau p alpha q lambda r rho amp p beta q mu r sigma amp p gamma q nu r tau u alpha v lambda w rho amp u beta v mu w sigma amp u gamma v nu w tau end pmatrix Benzer sekilde BA abglmnrst abcpqruvw aa bp guab bq gvac br gwla mp nulb mq nvlc mr nwra sp turb sq tvrc sr tw displaystyle mathbf BA begin pmatrix alpha amp beta amp gamma lambda amp mu amp nu rho amp sigma amp tau end pmatrix begin pmatrix a amp b amp c p amp q amp r u amp v amp w end pmatrix begin pmatrix alpha a beta p gamma u amp alpha b beta q gamma v amp alpha c beta r gamma w lambda a mu p nu u amp lambda b mu q nu v amp lambda c mu r nu w rho a sigma p tau u amp rho b sigma q tau v amp rho c sigma r tau w end pmatrix Bu durumda hem AB hem de BA matrisi tanimlidir Fakat AB ile BA matrisinin girisleri cogunlukla esit degildir Satir vektor kare matris ve sutun vektor Asagidaki gibi uc matris verilsin A abc B abglmnrst C xyz displaystyle mathbf A begin pmatrix a amp b amp c end pmatrix quad mathbf B begin pmatrix alpha amp beta amp gamma lambda amp mu amp nu rho amp sigma amp tau end pmatrix quad mathbf C begin pmatrix x y z end pmatrix Burada matris carpma islemi soyledir ABC abc abglmnrst xyz abc abglmnrst xyz abc ax by gzlx my nzrx sy tz aa bl crab bm csag bn ct xyz aax blx crx aby bmy csy agz bnz ctz displaystyle begin aligned mathbf ABC amp begin pmatrix a amp b amp c end pmatrix left begin pmatrix alpha amp beta amp gamma lambda amp mu amp nu rho amp sigma amp tau end pmatrix begin pmatrix x y z end pmatrix right left begin pmatrix a amp b amp c end pmatrix begin pmatrix alpha amp beta amp gamma lambda amp mu amp nu rho amp sigma amp tau end pmatrix right begin pmatrix x y z end pmatrix amp begin pmatrix a amp b amp c end pmatrix begin pmatrix alpha x beta y gamma z lambda x mu y nu z rho x sigma y tau z end pmatrix begin pmatrix a alpha b lambda c rho amp a beta b mu c sigma amp a gamma b nu c tau end pmatrix begin pmatrix x y z end pmatrix amp a alpha x b lambda x c rho x a beta y b mu y c sigma y a gamma z b nu z c tau z end aligned Bu durumda CBA tanimli degildir A BC AB C olduguna dikkat edin Bu cok genel ozelliklerden biridir Dikdortgen matris Asagidaki gibi iki matris verilsin A abcxyz B arbsgt displaystyle mathbf A begin pmatrix a amp b amp c x amp y amp z end pmatrix quad mathbf B begin pmatrix alpha amp rho beta amp sigma gamma amp tau end pmatrix Burada matris carpma islemi soyledir AB abcxyz arbsgt aa bb cgar bs ctxa yb zgxr ys zt displaystyle mathbf A mathbf B begin pmatrix a amp b amp c x amp y amp z end pmatrix begin pmatrix alpha amp rho beta amp sigma gamma amp tau end pmatrix begin pmatrix a alpha b beta c gamma amp a rho b sigma c tau x alpha y beta z gamma amp x rho y sigma z tau end pmatrix Benzer sekilde BA arbsgt abcxyz aa rxab ryac rzba sxbb sybc szga txgb tygc tz displaystyle mathbf B mathbf A begin pmatrix alpha amp rho beta amp sigma gamma amp tau end pmatrix begin pmatrix a amp b amp c x amp y amp z end pmatrix begin pmatrix alpha a rho x amp alpha b rho y amp alpha c rho z beta a sigma x amp beta b sigma y amp beta c sigma z gamma a tau x amp gamma b tau y amp gamma c tau z end pmatrix Matris carpmanin ozellikleri Tum matrisler 1 Degisme ozelligi yoktur Genellikle AB BA displaystyle mathbf A mathbf B neq mathbf B mathbf A Cunku AB ile BA eszamanli olarak tanimlanamazlar Tanimlansalar bile esit olamazlar Bu sayilarin carpilmasina terstir Matris carpimini buyuklugunu kelimelerle ifade etmek icin A nin B ile on carpimi veya sol carpimi BA olurken A nin C ile son carpimi veya sag carpimi AC olur Matrisin tum girisleri bir birime sahip halkada bulundugu ve n gt 1 oldugu muddetce halkada bir cift n n degistirilemez matris olur Buna tek istisna birim matris veya herhangi bir skaler carpimi dir Dizi gosterimi kAikBkj kBikAkj displaystyle sum k A ik B kj neq sum k B ik A kj 2 Matrisin toplama uzerine dagilma ozelligi vardir Sol dagilim A B C AB AC displaystyle mathbf A mathbf B mathbf C mathbf AB mathbf AC Sag dagilim A B C AC BC displaystyle mathbf A mathbf B mathbf C mathbf AC mathbf BC Dizi gosteriminde sirasiyla bunlar kAik Bkj Ckj kAikBkj kAikCkj displaystyle sum k A ik B kj C kj sum k A ik B kj sum k A ik C kj k Aik Bik Ckj kAikCkj kBikCkj displaystyle sum k A ik B ik C kj sum k A ik C kj sum k B ik C kj 3 Skaler carpma matris carpimi ile uyumludur l AB lA B displaystyle lambda mathbf AB lambda mathbf A mathbf B and AB l A Bl displaystyle mathbf A mathbf B lambda mathbf A mathbf B lambda Burada l bir skalerdir Eger matrisin tum girisleri reel veya karmasik sayi ise tum dort miktarda esit olur Daha genel bir ifade ile eger l matrisin girislerinin halkasinin merkezinde ise tum dordu de esit olur Cunku bu durumda tum X matrisleri icin lX Xl olur Dizin gosterimi sirasiyla soyle olur l k AikBkj k lAik Bkj kAik lBkj displaystyle lambda sum k A ik B kj sum k lambda A ik B kj sum k A ik lambda B kj k AikBkj l k Aikl Bkj kAik Bkjl displaystyle sum k A ik B kj lambda sum k A ik lambda B kj sum k A ik B kj lambda 4 Transpoze AB T BTAT displaystyle mathbf AB mathrm T mathbf B mathrm T mathbf A mathrm T Burada T transpozeyi ifade eder Dizi gosteriminde AB T ij AB ji k A jk B ki k AT kj BT ik k BT ik AT kj BT AT ij displaystyle begin aligned left mathbf AB mathrm T right ij amp left mathbf AB right ji amp sum k left mathbf A right jk left mathbf B right ki amp sum k left mathbf A mathrm T right kj left mathbf B mathrm T right ik amp sum k left mathbf B mathrm T right ik left mathbf A mathrm T right kj amp left left mathbf B mathrm T right left mathbf A mathrm T right right ij end aligned 5 Eger A ve B karmasik girislerden olusuyorsa bu durumda AB A B displaystyle mathbf AB star mathbf A star mathbf B star olur Burada bir matrisin ifade eder Dizi gosteriminde AB ij k A ik B kj k A ik B kj k A ik B kj A B ij displaystyle begin aligned left mathbf AB star right ij amp left sum k left mathbf A right ik left mathbf B right kj right star amp sum k left mathbf A right ik star left mathbf B right kj star amp sum k left mathbf A star right ik left mathbf B star right kj amp left mathbf A star mathbf B star right ij end aligned 6 Eger A ve B karmasik girislerden olusuyorsa bu durumda AB B A displaystyle mathbf AB dagger mathbf B dagger mathbf A dagger Burada bir matrisin karmasik transpozesini ifade eder Dizi gosteriminde AB ij AB ji k A jk B ki k A kj B ik k B ik A kj A B ij displaystyle begin aligned left mathbf AB dagger right ij amp left left mathbf AB right star right ji amp sum k left mathbf A star right jk left mathbf B star right ki amp sum k left mathbf A dagger right kj left mathbf B dagger right ik amp sum k left mathbf B dagger right ik left mathbf A dagger right kj amp left left mathbf A dagger right left mathbf B dagger right right ij end aligned 7 Ilkkosegen toplami AB carpiminin ilkkosegen toplami A ve B matrislerinin buyuklugunden bagimsizdir tr AB tr BA displaystyle mathrm tr mathbf AB mathrm tr mathbf BA Dizi gosteriminde tr AB i kAikBki k iBkiAik tr BA displaystyle begin aligned mathrm tr mathbf AB amp sum i sum k A ik B ki amp sum k sum i B ki A ik amp mathrm tr mathbf BA end aligned Yalnizca kare matrisler 1 Birim matris Eger A bir kare matris ise bu durumda AI IA A displaystyle mathbf AI mathbf IA mathbf A Burada I ayni boyuta sahip birim matristir 2 Tersinir matris Eger A bir kare matris ise A 1 terslenebilir matrisi soyle olur AA 1 A 1A I displaystyle mathbf A mathbf A 1 mathbf A 1 mathbf A mathbf I Bu durumda asagidaki esitlik saglanir AB 1 B 1A 1 displaystyle mathbf AB mathrm 1 mathbf B mathrm 1 mathbf A mathrm 1 3 Determinant AB carpiminin determinanti A matrisinin determinanti ile B matrisinin determinantinin carpimina esittir det AB det A det B displaystyle det mathbf AB det mathbf A det mathbf B det A ve det B yalnizca sayidir Bu yuzden AB BA olsa bile det AB det BA olur