Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Matematikte reel sayılar (gerçel ya da gerçek sayılar) kümesi, Fransızca réel “gerçek” den gelmektedir. Oranlı sayılar (rasyonel sayılar) kümesinin evrim sürecinden elde edilen bir varsayım kombinasyonudur. Reel sayılar kümesi sembolüyle gösterilir.
Her oranlı sayı (rasyonel sayı) bir gerçek sayıdır; virgülden sonra bloklar halinde tekrar eden ondalık açılımı vardır (0 dahil). Örneğin,
eşitliğinde olduğu gibi. Burada dikkat edilmesi gereken, ondalık basamaklardaki rakamların bir süre sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme özelliğidir. Bu şöyle ispatlanabilir: m, n iki tam sayı (n negatif) olsun. m/n oranlı sayısı ondalık ifade edilmek istendiğinde, m 'yi n 'ye bölerken ( varsayımı uygularken) ilk adımda kalan 0 ile n arasında olacaktır. Kalanın yanına sıfırlar ekleyip bölmeye devam edilecek ve bir sonraki adımda kalan yine 0 ile n arasında olacaktır. Sonsuz adımda sonlu sayıda değer alabilen kalanlar, bir süre sonra aynı değeri alacak ve kendini tekrar edecektir.
Oranlı sayılardan gerçek sayıları elde etme işlemiyse oranlı sayılara ondalık açılımındaki rakamların devirsel tekrar etmediği sayıların eklenmesi olarak düşünülebilir. Bu tür sonradan elde ettiğimiz gerçek sayılara oransız sayılar veya irrasyonel sayılar denir.
İrrasyonel sayıların varlığı
Düzlemde herhangi bir doğru parçası alıp buna da birim (br) uzunluk diyelim. Tam sayılarla bu doğru parçasının katları birebir eşlensin. Alınan bir doğrunun üzerinde bu tam sayı uzunlukları ve olası tüm oranları (oranlı sayılar) işaretlensin. Gösterilebilir ki, herhangi iki oranlı sayı arasında sonsuz çoklukta oranlı sayı vardır. Demek oluyor ki, alınan doğru üzerinde birbirlerine istenildiği kadar yakın ve oranlı sayıları temsil eden iki nokta (oranlı nokta) arasında, sonsuz çoklukta oranlı nokta vardır.
Bu tür noktaların, dolayısıyla uzunlukların varlığını ispatlamak için, kenar uzunluğu 1 birim (br) olan bir karenin köşegen uzunluğunu (x) sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim. x uzunluğu, oranlı bir sayı değildir, yani p ve q birer tam sayı olmak üzere p/q şeklinde gösterilemeyen bir sayıdır; bu sayı 
olarak gösterilecektir.
Kabul edelim ki x=p/q olsun. Bundan başka, bu kesrin artık kısaltılamayan bir kesir olduğunu farz edelim, yani p ve q aralarında asal olsunlar. Başka bir deyişle, bunların 1'den başka ortak bölenleri bulunmasın. Pisagor teoremi sayesinde x2=2=p2/q2 elde edilir. Dolayısıyla 2q2=p2 olur. p ve q aralarında asal olduğu için 2, p 'yi bölmek zorundadır. Böylece eşitliğin sağ tarafı 4'e bölünür. Sol tarafının da dörde bölünmesi gerekeceğinden q da 2'ye bölünmek zorunda kalır. Hem p hem de q sayıları 2'ye bölünebiliyorsa, aralarında asallık kabulüyle çelişkili bir sonuç bulunmuş olur. O halde x 'in oranlı bir sayı olduğu kabulünden vazgeçmek gerekecektir.
Bu ispat, bir Pisagorcu olan Hippasus'a atfedilmektedir (MÖ 5. yüzyıl). İrrasyonel sayıların varlığının ilk antik Yunan matematikçi Pisagor'un okulu tarafından anlaşılmış olduğu görüşü yaygındır. Fakat Pisagor bu sayıların evrenin düzenine aykırı olduğunu düşünmüş ve öğrencilerine bu sayıların varlığını açıklamayı yasaklamıştır. Rivayete göre Hippasus'u o öldürtmüştür.
Reel sayıların kurulması
İrrasyonel Sayılar ile oranlı sayılar kümesinin birleşimi Gerçel sayılar kümesini oluşturur. Bu kümeye reel sayılar veya gerçel sayılar da denir. Geometride karşılaşılan bazı büyüklüklerin anlamlandırılabilmesi için Klasik Yunan Dönemi'nde, yaygın inanca göre Pisagor ve öğrencileri tarafından sayı kavramına dâhil edilmişlerdir. Anlatılanlara göre Pisagor doğadaki tüm büyüklükleri rasyonel sayılarla ifade edilebileceğini söylemekteydi. Fakat bulduğu hipotenüs eşitliğinin bir sonucu olarak x2 = 2 gibi bir değerlerle karşılaştı. Uzun yıllar boyu bu tür sayıların uzun kesirlerle ifade edilebileceğini iddia etti ve göstermeye çalıştıysa da, öğrencilerinden birinin bu gibi sayıların kesinlikle kesirli bir biçimde gösterilemeyeceğini ispat etmesiyle ikna oldu ama hayatı boyu bunun bir sır gibi gizlenmesi için çalıştı ve doğada gerçel sayıların yeri olmadığını söylemeye devam etti. Gerçel sayılar kümesi R harfi ile ifade edilir.
Diğer bilgiler
- Tam kare olmayan hiçbir doğal sayının karekökü oranlı değildir.
- Oranlı sayılar kümesi sayılabilir olmasına karşılık gerçel sayılar kümesi sayılamazdır.
- Gerçel sayılar "cebirsel sayıların elemanı olanlar" ve "aşkın sayılar" (transcendental) olarak ikiye ayrılırlar. Gerçel sayılar, cebirsel sayıları kapsamaz, fakat aşkın sayıları kapsar. Cebirsel bir gerçel sayı, tam sayı katsayılı bir polinomun kökü olabilen bir sayıdır; örneğin: x2 - 2 polinomunu 0 yapan değerlerden biri (kök)
![image]()
'dir. x - 2 polinomunun kökü 2'dir. Dolayısıyla ![image]()
ve 2 cebirsel sayılardır. Ancak ![image]()
ve e sayıları gibi sayılar herhangi bir polinomun kökü olamazlar; bunlar aşkın sayılardır.
Ayrıca bakınız
|
Kaynakça
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Matematikte reel sayilar gercel ya da gercek sayilar kumesi Fransizca reel gercek den gelmektedir Oranli sayilar rasyonel sayilar kumesinin evrim surecinden elde edilen bir varsayim kombinasyonudur Reel sayilar kumesi R displaystyle mathbb R semboluyle gosterilir Her oranli sayi rasyonel sayi bir gercek sayidir virgulden sonra bloklar halinde tekrar eden ondalik acilimi vardir 0 dahil Ornegin 14 0 2500000 displaystyle frac 1 4 0 2500000 esitliginde oldugu gibi Burada dikkat edilmesi gereken ondalik basamaklardaki rakamlarin bir sure sonra bloklar halinde periyodik tekrar etme ozelligidir Bu soyle ispatlanabilir m n iki tam sayi n negatif olsun m n oranli sayisi ondalik ifade edilmek istendiginde m yi n ye bolerken varsayimi uygularken ilk adimda kalan 0 ile n arasinda olacaktir Kalanin yanina sifirlar ekleyip bolmeye devam edilecek ve bir sonraki adimda kalan yine 0 ile n arasinda olacaktir Sonsuz adimda sonlu sayida deger alabilen kalanlar bir sure sonra ayni degeri alacak ve kendini tekrar edecektir Oranli sayilardan gercek sayilari elde etme islemiyse oranli sayilara ondalik acilimindaki rakamlarin devirsel tekrar etmedigi sayilarin eklenmesi olarak dusunulebilir Bu tur sonradan elde ettigimiz gercek sayilara oransiz sayilar veya irrasyonel sayilar denir Irrasyonel sayilarin varligiDuzlemde herhangi bir dogru parcasi alip buna da birim br uzunluk diyelim Tam sayilarla bu dogru parcasinin katlari birebir eslensin Alinan bir dogrunun uzerinde bu tam sayi uzunluklari ve olasi tum oranlari oranli sayilar isaretlensin Gosterilebilir ki herhangi iki oranli sayi arasinda sonsuz coklukta oranli sayi vardir Demek oluyor ki alinan dogru uzerinde birbirlerine istenildigi kadar yakin ve oranli sayilari temsil eden iki nokta oranli nokta arasinda sonsuz coklukta oranli nokta vardir Bu tur noktalarin dolayisiyla uzunluklarin varligini ispatlamak icin kenar uzunlugu 1 birim br olan bir karenin kosegen uzunlugunu x sayi dogrusu uzerinde isaretleyelim x uzunlugu oranli bir sayi degildir yani p ve q birer tam sayi olmak uzere p q seklinde gosterilemeyen bir sayidir bu sayi 2 displaystyle sqrt 2 olarak gosterilecektir Kabul edelim ki x p q olsun Bundan baska bu kesrin artik kisaltilamayan bir kesir oldugunu farz edelim yani p ve q aralarinda asal olsunlar Baska bir deyisle bunlarin 1 den baska ortak bolenleri bulunmasin Pisagor teoremi sayesinde x2 2 p2 q2 elde edilir Dolayisiyla 2q2 p2 olur p ve q aralarinda asal oldugu icin 2 p yi bolmek zorundadir Boylece esitligin sag tarafi 4 e bolunur Sol tarafinin da dorde bolunmesi gerekeceginden q da 2 ye bolunmek zorunda kalir Hem p hem de q sayilari 2 ye bolunebiliyorsa aralarinda asallik kabuluyle celiskili bir sonuc bulunmus olur O halde x in oranli bir sayi oldugu kabulunden vazgecmek gerekecektir Bu ispat bir Pisagorcu olan Hippasus a atfedilmektedir MO 5 yuzyil Irrasyonel sayilarin varliginin ilk antik Yunan matematikci Pisagor un okulu tarafindan anlasilmis oldugu gorusu yaygindir Fakat Pisagor bu sayilarin evrenin duzenine aykiri oldugunu dusunmus ve ogrencilerine bu sayilarin varligini aciklamayi yasaklamistir Rivayete gore Hippasus u o oldurtmustur Reel sayilarin kurulmasiIrrasyonel Sayilar ile oranli sayilar kumesinin birlesimi Gercel sayilar kumesini olusturur Bu kumeye reel sayilar veya gercel sayilar da denir Geometride karsilasilan bazi buyukluklerin anlamlandirilabilmesi icin Klasik Yunan Donemi nde yaygin inanca gore Pisagor ve ogrencileri tarafindan sayi kavramina dahil edilmislerdir Anlatilanlara gore Pisagor dogadaki tum buyuklukleri rasyonel sayilarla ifade edilebilecegini soylemekteydi Fakat buldugu hipotenus esitliginin bir sonucu olarak x2 2 gibi bir degerlerle karsilasti Uzun yillar boyu bu tur sayilarin uzun kesirlerle ifade edilebilecegini iddia etti ve gostermeye calistiysa da ogrencilerinden birinin bu gibi sayilarin kesinlikle kesirli bir bicimde gosterilemeyecegini ispat etmesiyle ikna oldu ama hayati boyu bunun bir sir gibi gizlenmesi icin calisti ve dogada gercel sayilarin yeri olmadigini soylemeye devam etti Gercel sayilar kumesi R harfi ile ifade edilir Diger bilgilerTam kare olmayan hicbir dogal sayinin karekoku oranli degildir Oranli sayilar kumesi sayilabilir olmasina karsilik gercel sayilar kumesi sayilamazdir Gercel sayilar cebirsel sayilarin elemani olanlar ve askin sayilar transcendental olarak ikiye ayrilirlar Gercel sayilar cebirsel sayilari kapsamaz fakat askin sayilari kapsar Cebirsel bir gercel sayi tam sayi katsayili bir polinomun koku olabilen bir sayidir ornegin x2 2 polinomunu 0 yapan degerlerden biri kok 2 displaystyle sqrt 2 dir x 2 polinomunun koku 2 dir Dolayisiyla 2 displaystyle sqrt 2 ve 2 cebirsel sayilardir Ancak p displaystyle pi ve e sayilari gibi sayilar herhangi bir polinomun koku olamazlar bunlar askin sayilardir Ayrica bakiniz0 999 e sayisi Devirli SayiSayi sistemleri Karmasik C displaystyle mathbb C Reel R displaystyle mathbb R Rasyonel Q displaystyle mathbb Q Tam sayi Z displaystyle mathbb Z Dogal N displaystyle mathbb N Sifir 0Bir 1Asal sayilarBilesik sayilarNegatif tam sayilarKesir Devirli ondalik sayiIrrasyonel Cebirsel irrasyonelAskinSanalKaynakca real number Oxford Reference Ingilizce doi 10 1093 oi authority 20110803100406944 12 Temmuz 2023 tarihinde kaynagindan Erisim tarihi 12 Temmuz 2023 Weisstein Eric W mathworld wolfram com Ingilizce 29 Subat 2000 tarihinde kaynagindan arsivlendi Erisim tarihi 12 Temmuz 2023