Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
Kategori teorisi ya da Ulam kuramı, matematiksel yapılar ve bunlar arasındaki ilişkilerle soyut olarak ilgilenen bir matematik kuramıdır. Kategori kuramı, öğelere (nesnelere) yoğunlaşan küme kuramının aksine, nesneler arası ilişkilere (morfizmlere) odaklanır.
Tarihi
Bir kategori birbirileriyle ilişkili matematiksel nesneler sınıfının (örneğin grupların) özünü yakalamaya çalışır. Geleneksel olarak yapıldığı gibi tekil nesneler (gruplar) üzerine yoğunlaşmak yerine, bu nesneler arasındaki yapı muhafaza edici gönderimler (yani morfizmler) üzerine yoğunlaşır. Gruplar örneğinde bu gönderimler . Bu şekilde farklı kategorileri aracılığıyla ilişkilendirmek mümkündür. Funktorlar, bir kategorinin her nesnesini diğer kategorinin bir nesnesiyle ve bir kategorideki morfizmi diğerindeki bir morfizme ilişkilendiren fonksiyonların bir genelleştirmesidir. Sıkça topolojik uzayın temel grubu gibi "doğal yapılar" funktorlar şeklinde ifade edilebilir. Bunun ötesinde, bu tip yapılar "doğal bir bağıntıya" sahiptir ve bir funktoru diğerine ilişkilendirme yolu olan konseptine olanak tanır.
Kategoriler, funktorlar ve doğal transformasyonlar ve tarafından 1945 yılında ortaya atılmıştır. Başlangıçta bu nosyonlar, topolojide, özellikle cebirsel topolojide, geometrik ve sezgisel bir kavram olan aksiyomatik bir yaklaşım olan geçişte önemli bir bölümdür. Başkalarının yanı sıra Ulam tarafından (ya da kendisine atfen), benzer düşüncelerin 1930'ların sonunda Polonya okulunda ortaya çıktığı iddia edilmiştir.
Eilenberg/MacLane, kendi ifadelerine göre, bu kuramı geliştirirken doğal transformasyonları anlama çabasındaydılar. Bunu yapabilmek için funktorlar tanımlamak, funktorları tanımlamak için ise kategoriler tanımlamak gerekiyordu.
Günümüzde bu kuram, matematiğin tüm alanlarında uygulanmaktadır.
Kategoriler, nesneler ve morfizmler
Kategoriler
Bir kategori C aşağıdaki üç matematiksel durumu oluşturur:
- Bir ob(C), böyle ögelere nesneler denir;
- Bir sınıf hom(C), böyle ögelere veya veya oklar denir. Her biçim f bir kaynak nesne a ve hedef nesne b var.
f : a → b ifadesi, sözlü olarak ifadesi "f a'dan b'ye bir biçimdir".
hom(a, b) ifadesi — alternatif ifade olarak homC(a, b), mor(a, b) veya C(a, b) — a dan bye tüm biçimlerin hom-sınıf ifadesidir. - Bir ikili işlem ∘, biçimlerin kompozisyonu denir, böylece a, b ve c herhangi üç nesne için, elimizde hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c) var.f : a → b nin kompozisyonu ve g : b → c g ∘ f veya gf olarak yazılır,aksiyom ile yönetilir:
- : Eğer f : a → b, g : b → c ve h : c → d ise h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f ve
- : x nesnesi için, burada bir morfizm 1x : x → x var. x için denir, böylece her f : a → b morfizm için, elimizde 1b ∘ f = f = f ∘ 1a var.
- aksiyomlardan,buna burada her nesne için tam bir sağlanabilir. Bazı yazarlar sadece kendi özdeş morfizmalarını tanımlayarak verilen tanımından sapabilir.
Morfizmler
morfizmler boyunca ilişkiler (fg = h gibi) , ile "noktalar" (köşeler) gösterimsel nesneler ve "oklar" gösterimsel biçimler sık sık kullanılarak gösterilmiştir.
Morfizmler için aşağıdaki özelliklerin herhangisi olabilir. Bir morfizm f : a → b bir:
- (veya monik) eğer f ∘ g1 = f ∘ g2 vurgusu g1 = g2 tüm g1, g2 : x → a morfizmler için.
- (veya epik) eğer g1 ∘ f = g2 ∘ f vurgusu g1 = g2 tüm g1, g2 : b → x morfizmler için.
- bimorfizm eğer f hem epik ve hem de moniktir.
- eğer burada bir morfizm g : b → a var böylece f ∘ g = 1b ve g ∘ f = 1a.
- eğer a = b. ise end(a) anın endomorfizminin sınıfını ifade eder.
- eğer f hem bir endomorfizm ve hem de bir izomorfizmdir. aut(a) anın otomorfizmlerinin sınıfını ifade eder.
- eğer fnin bir sağ tersi var, yani eğer burada bir morfizm g : b → a ile f ∘ g = 1b varsa.
- eğer f in bir sol tersi var, yani eğer burada bir morfizm g : b → a ile g ∘ f = 1a varsa .
Her çekilme bir epimorfizmdir ve her kesit bir monomorfizmdir.Dahası, aşağıdaki üç durumun eşdeğeridir:
- f bir monomorfizm ve bir çekilmedir;
- f bir epimorfizm ve bir kesittir;
- f bir izomorfizmdir.
Kaynakça
- William Lawvere and Steve Schanuel: Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories, Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
- : Categories for the Working Mathematician, 2nd edition. Graduate Texts in Mathematics 5, Springer 1998
- Francis Borceux: Handbook of Categorical Algebra, volumes 50-52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications. Cambridge University Press, 1994.
Dış bağlantılar
- Alexandre Stefanov'un serbest çevrimiçi matematik kaynakları listesinin bölümü.
Kaynakça
- ^ Some authors compose in the opposite order, writing fg yazılır veya g ∘ f için f ∘ g.Kategori teorisi kullanılarak bilgisayar bilimcileri çok sık yazmak f ; g g ∘ f için
- ^ Note that a morphism that is both epic and monic is not necessarily an isomorphism! An elementary counterexample: in the category consisting of two objects A ve B, özdeş biçimler ve from A dan Bye bir tek morfizm f, f is both epic and monic but is not bir isomorphism.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Kategori teorisi ya da Ulam kurami matematiksel yapilar ve bunlar arasindaki iliskilerle soyut olarak ilgilenen bir matematik kuramidir Kategori kurami ogelere nesnelere yogunlasan kume kuraminin aksine nesneler arasi iliskilere morfizmlere odaklanir TarihiBir kategori birbirileriyle iliskili matematiksel nesneler sinifinin ornegin gruplarin ozunu yakalamaya calisir Geleneksel olarak yapildigi gibi tekil nesneler gruplar uzerine yogunlasmak yerine bu nesneler arasindaki yapi muhafaza edici gonderimler yani morfizmler uzerine yogunlasir Gruplar orneginde bu gonderimler Bu sekilde farkli kategorileri araciligiyla iliskilendirmek mumkundur Funktorlar bir kategorinin her nesnesini diger kategorinin bir nesnesiyle ve bir kategorideki morfizmi digerindeki bir morfizme iliskilendiren fonksiyonlarin bir genellestirmesidir Sikca topolojik uzayin temel grubu gibi dogal yapilar funktorlar seklinde ifade edilebilir Bunun otesinde bu tip yapilar dogal bir bagintiya sahiptir ve bir funktoru digerine iliskilendirme yolu olan konseptine olanak tanir Kategoriler funktorlar ve dogal transformasyonlar ve tarafindan 1945 yilinda ortaya atilmistir Baslangicta bu nosyonlar topolojide ozellikle cebirsel topolojide geometrik ve sezgisel bir kavram olan aksiyomatik bir yaklasim olan geciste onemli bir bolumdur Baskalarinin yani sira Ulam tarafindan ya da kendisine atfen benzer dusuncelerin 1930 larin sonunda Polonya okulunda ortaya ciktigi iddia edilmistir Eilenberg MacLane kendi ifadelerine gore bu kurami gelistirirken dogal transformasyonlari anlama cabasindaydilar Bunu yapabilmek icin funktorlar tanimlamak funktorlari tanimlamak icin ise kategoriler tanimlamak gerekiyordu Gunumuzde bu kuram matematigin tum alanlarinda uygulanmaktadir Kategoriler nesneler ve morfizmlerKategoriler Bir kategori C asagidaki uc matematiksel durumu olusturur Bir ob C boyle ogelere nesneler denir Bir sinif hom C boyle ogelere veya veya oklar denir Her bicim f bir kaynak nesne a ve hedef nesne b var f a b ifadesi sozlu olarak ifadesi f a dan b ye bir bicimdir hom a b ifadesi alternatif ifade olarak homC a b mor a b veya C a b a dan bye tum bicimlerin hom sinif ifadesidir Bir ikili islem bicimlerin kompozisyonu denir boylece a b ve c herhangi uc nesne icin elimizde hom b c hom a b hom a c var f a b nin kompozisyonu ve g b c g f veya gf olarak yazilir aksiyom ile yonetilir Eger f a b g b c ve h c d ise h g f h g f ve x nesnesi icin burada bir morfizm 1x x x var x icin denir boylece her f a b morfizm icin elimizde 1b f f f 1a var aksiyomlardan buna burada her nesne icin tam bir saglanabilir Bazi yazarlar sadece kendi ozdes morfizmalarini tanimlayarak verilen tanimindan sapabilir dd Morfizmler morfizmler boyunca iliskiler fg h gibi ile noktalar koseler gosterimsel nesneler ve oklar gosterimsel bicimler sik sik kullanilarak gosterilmistir Morfizmler icin asagidaki ozelliklerin herhangisi olabilir Bir morfizm f a b bir veya monik eger f g1 f g2 vurgusu g1 g2 tum g1 g2 x a morfizmler icin veya epik eger g1 f g2 f vurgusu g1 g2 tum g1 g2 b x morfizmler icin bimorfizm eger f hem epik ve hem de moniktir eger burada bir morfizm g b a var boylece f g 1b ve g f 1a eger a b ise end a anin endomorfizminin sinifini ifade eder eger f hem bir endomorfizm ve hem de bir izomorfizmdir aut a anin otomorfizmlerinin sinifini ifade eder eger fnin bir sag tersi var yani eger burada bir morfizm g b a ile f g 1b varsa eger f in bir sol tersi var yani eger burada bir morfizm g b a ile g f 1a varsa Her cekilme bir epimorfizmdir ve her kesit bir monomorfizmdir Dahasi asagidaki uc durumun esdegeridir f bir monomorfizm ve bir cekilmedir f bir epimorfizm ve bir kesittir f bir izomorfizmdir KaynakcaWilliam Lawvere and Steve Schanuel Conceptual Mathematics A First Introduction to Categories Cambridge University Press Cambridge 1997 Categories for the Working Mathematician 2nd edition Graduate Texts in Mathematics 5 Springer 1998 Francis Borceux Handbook of Categorical Algebra volumes 50 52 of Encyclopedia of Mathematics and its Applications Cambridge University Press 1994 Dis baglantilarAlexandre Stefanov un serbest cevrimici matematik kaynaklari listesinin bolumu Kaynakca Some authors compose in the opposite order writing fg yazilir veya g f icin f g Kategori teorisi kullanilarak bilgisayar bilimcileri cok sik yazmak f g g f icin Note that a morphism that is both epic and monic is not necessarily an isomorphism An elementary counterexample in the category consisting of two objects A ve B ozdes bicimler ve from A dan Bye bir tek morfizm f f is both epic and monic but is not bir isomorphism