Bu maddede birçok sorun bulunmaktadır. Lütfen sayfayı geliştirin veya bu sorunlar konusunda bir yorum yapın.
|
Temel grup, Henri Poincaré'in 1895'te yayınladığı "Analysis Situs" adlı makalesinde tanımlanmıştır. Kavram, Bernhard Riemann, Poincaré ve Felix Klein'ın çalışmalarıyla Riemann yüzeyleri teorisinden ortaya çıkmıştır. Karmaşık değerli fonksiyonların monodromik özelliklerini açıkladığı gibi kapalı yüzeylerin tam bir topolojik sınıflandırılmasını sağlar.
Yollar ve Homotopiler
Bu bölümde topolojik uzayları ele alacağız. Yolların tanımında kullanacağımız aralığı
kapalı aralığı olacaktır. Son olarak, başlangıç noktası
ve bitiş noktası
olan yollara
’den
’ya giden yollar diyeceğiz.
Yol
Bir uzayı alalım. Bir
sürekli fonksiyonuna
uzayında bir yol denir. Böyle bir
yolu için
noktası başlangıç noktası ve
noktası bitiş noktası olarak adlandırılır.
olsun. Başlangıç ile bitiş noktaları sırasıyla
ve
olan ve
'den
uzayına giden bütün yolların kümesi
olarak tanımlanır.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTloTDJFekwxUmxiV1ZzWjNKMWNHSnBjbWx1WTJsdmNtNWxheTV3Ym1jdk1qTXdjSGd0VkdWdFpXeG5jblZ3WW1seWFXNWphVzl5Ym1WckxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Örnekler
İlk örnek olarak, uzayında bir
fonksiyonunu
olarak tanımlayalım.
uzayındaki yollar genellikle
,
fonksiyonu ile temsil edilir. Burada
ve
sürekli fonksiyonlardır. Şimdi bir
yolunu
şeklinde tanımlayalım. Bu durumda
• noktası, başlangıç noktası ve
• bitiş noktasıdır.
Ayrıca üzerindeki oryantasyonun,
fonksiyonunun görüntüsünün yönlendirmesini içerdiğinin de altını çizelim.
Diğer bir örnek olarak da bir fonksiyonunu ele alalım ve
olsun.
fonksiyonunun grafiği
uzayı olmak üzere bu uzaydaki yollara bakalım. Bir
fonksiyonunu
olarak tanımlayalım.
olduğunu görüyoruz.
’in bileşenleri olan
ve
,
üzerinde sürekli birer fonksiyon olduğundan
'in
fonksiyonu için bir yol olduğunu söyleyebiliriz.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTh5THpJeEwxUmxiV1ZzWjNKMWNHbHJhVzVqYVc5eWJtc3VjRzVuTHpJMU1IQjRMVlJsYldWc1ozSjFjR2xyYVc1amFXOXlibXN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Şimdi
fonksiyonunu ele alalım, öyle ki
olsun.
, bir yol değildir çünkü tanım kümesi
değildir.
fonksiyonunu kullanarak
grafiğinin üzerinde başka bir yol bulacağız.
Bunun için, sürekli ve daima artan bir fonksiyon tanımlayalım. fonksiyonu
olarak tanımlansın.
Sonra bileşke fonksiyonu yazalım.
öyle ki
olsun.
ve
olmaktadır.
Bu bileşke fonksiyonunun bileşenleri ve
,
tanım aralığında sürekli fonksiyon olduklarından bu bileşke fonksiyonun sürekli olduğu sonucuna ulaşılır.
Sonuç olarak ,
uzayında bir yol olur.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgxTHpVd0wxUmxiV1ZzWjNKMWNIVmpiM0p1WldzdWFuQm5MekU0TUhCNExWUmxiV1ZzWjNKMWNIVmpiM0p1WldzdWFuQm4uanBn.jpg)
Ters Yol
’den
’ya giden bir
yolu için,
ters yolu
olarak tanımlanır. Bu durumda
yolunun başlangıç noktası
ve bitiş noktası
olur.
Örnek olarak, yolunu
olarak tanımlayalım. Bu durumda
ve
olur.
üzerindeki oryantasyonu ters çevirirsek,
olarak tanımlı
olan ters yolunu elde ederiz (Şekil 3).
ve
,
,
olduğunu not edelim.
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgwTHpReUwxUmxiV1ZzWjNKMWNHUnZjblJ2Y201bGF5NXdibWN2TWpJd2NIZ3RWR1Z0Wld4bmNuVndaRzl5ZEc5eWJtVnJMbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Birim çember üzerinde yol örneğini inceleyelim;
birim çember olmak üzere,
fonksiyonunu
olarak tanımlayalım.
Bu fonksiyon aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır:
• süreklidir, çünkü üstel fonksiyonun sürekli olduğunu biliyoruz.
•,
,
,
,
.
Bu nedenle, birim çember üzerindeki pozitif yönlü bir yoldur (Şekil 4).
Birim küre üzerinde yol örneğinde ise, üzerindeki birim küreyi ele alalım:
.
fonksiyonunu
şeklinde tanımlayalım. Bu şekilde tanımlı
fonksiyonu bariz bir şekilde süreklidir çünkü kosinüs ve sinüs fonksiyonları süreklidir.
Sonuç olarak, ve
olur. Bu yüzden,
fonksiyonu
üzerinde bir yoldur ve oryantasyonu Şekil 5’teki gibidir.
- Şekil 5
- Şekil 6
Diğer yandan, ,
biçiminde tanımlı olan fonksiyon süreklidir ve
olduğundan
fonksiyonu
üzerinde başka bir yola örnektir (Şekil 6).
Homeomorfizma
Herhangi ve
topolojik uzayları arasında bir homeomorfizma,
birebir ve örten bir fonksiyon şeklinde tanımlanır;
ve
sürekli fonksiyonlardır.
Tanım
’dan
’ya giden daima artan homeomorfizmaların kümesi şu şekilde tanımlanır:
.
Önermeler
kümesi fonksiyon bileşkesi
altında bir gruptur.
Kanıtı için, önce kümesinin
işlemi altında kapalı olduğunu göstermek yeterlidir. Herhangi
seçelim.
olduğunu göstereceğiz.
, daima artan ve sürekli bir fonksiyon olup tersi de süreklidir. Aynı şekilde
için de aynı özellikler sağlanır. İki artan fonksiyonun bileşkesi de artan olacağından
fonksiyonu da artan olur.
İki sürekli fonksiyonun bileşkesi de sürekli bir fonksiyon olduğundan fonksiyonu da sürekli olur.
Öte yandan, ve
fonksiyonlarının sürekli olduğunu biliyoruz. O halde
fonksiyonu da sürekli olur. Sonuç olarak
elde ederiz.
Şimdi () kümesinin grup aksiyomlarını (bileşim, birim eleman, terslenebilme) sağladığını gösterelim.
•Bileşim özelliği: Herhangi seçelim. Rastgele bir
elemanı alalım. O halde,
• ve •
olduğundan her
için
olur.
•Birim eleman: fonksiyonu,
olduğunda (
)’nun birim elemanıdır çünkü
(birim fonksiyon) süreklidir, birebir ve örtendir, daima artandır.
Öte yandan ters fonksiyonu da süreklidir çünkü her
için
.
Sonuç olarak her için
olmaktadır.
•Terslenebilme: Herhangi bir alalım.
’ın tanımından dolayı,
’in daima artan, birebir, örten ve sürekli olduğunu ve
’in de sürekli olduğunu biliyoruz.
olduğunu göstermek gereklidir. Bunun için,
’in daima artan olduğunu göstermek yeterlidir.
Herhangi alalım ve
olduğunu varsayalım.
olduğunu gösterelim.
daima artandır ve
olduğu için
olur.
’in birebir ve örtenlik özelliğinden dolayı
ve
olan biricik
elemanları vardır.
daima artan ve
olduğu için,
olur. Bu yüzden
ve
olur. Sonuç olarak,
işlemi altında
bir gruptur.
- Eğer
ise
ve
olur.
Kanıtını şöyle açıklayabiliriz; herhangi alalım; yani
sürekli, daima artan ve birebir-örten bir homeomorfizmadır. O halde
’ fonksiyonu da süreklidir.
olsun, ki bu
anlamına gelir.
aralığının bağlantılı (connected) olduğunu biliyoruz. O zaman
sürekli olduğundan
’in de bağlantılı olduğunu söyleyebiliriz.
birebir ve örten olduğundan,
olur. Fakat
bağlantılı değildir. Bu yüzden
varsayımıyla bir çelişki elde ederiz. Yani
olur.
Şimdi olduğunu gösterelim.
olduğunu varsayalım.
fonksiyonu daima artan ve
olduğundan,
olur; bu da
demektir.
olduğundan
değeri
’den büyük olamaz. O halde
olur. Aynı muhakeme ile
sonucu elde edilir.
Sonuç olarak, her için,
ve
olur.
Yollar üzerinde denklik bağıntısı
uzayında
yollarını düşünelim. Eğer
eşitliğini sağlayan bir
varsa, o halde
denilir.
bir denklik bağıntısıdır, önermesinin ispatını şöyle açıklayabiliriz;
bağıntısının yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığını göstereceğiz.
•yansıma: herhangi bir yol olsun. Eğer
fonksiyonunu
şeklinde tanımlı birim fonksiyon alırsak
olur. Dolayısıyla
olur.
•simetri: herhangi iki yol olsunlar.
olduğunu varsayalım ve
olduğunu gösterelim.
ise
olacak şekilde bir
vardır.
fonksiyonunun birebir ve örten olduğunu biliyoruz; bu yüzden şöyle yazabiliriz:
. Yani öyle bir fonksiyon bulmuş olduk ki
ve
oldu. Sonuç olarak
olur.
•geçişme: herhangi üç yol olsunlar.
ve
olduklarını varsayalım ve
olduğunu gösterelim.
Varsayımlara göre, ve
eşitliklerini sağlayan
elemanları vardır. Bu nedenle,
’dir.
olduğundan
olur. Yani
elemanı
eşitliğini sağlar. Dolayısıyla,
olur.
Sonuç olarak bir denklik bağıntısıdır.
Homotopi
ve
fonksiyonları
uzayında iki yol olsun. Bu yolların bir homotopisi,
,
şeklinde tanımlı ve aşağıdaki şartları sağlayan sürekli bir fonksiyondur.
(i) Her sayısı için,
,
’den
’ya giden bir yol belirtir.
(ii) ’den
’ya giden
,
yolları için
ve
’dir.
ve
yolları bu şekilde bir
homotopisi ile bağlanırlarsa
ve
homotopiktirler denilir ve
şeklinde gösterilir.
Önermeler
- Yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.
Önermenin kanıtını şöyle açıklayabiliriz: ,
,
ve
:
şeklinde tanımlı yollar olsun. . Eğer
ve
olduğunda
denkliği sağlanıyorsa bu bileşke işlemi iyi tanımlıdır.
arasında
homotopisi ve
arasında ise
homotopisi tanımlı olsun.
homotopisini aşağıdaki şekilde tanımladığımız zaman yolların bileşkesinin iyi tanımlı olduğunu göstermiş oluruz.
olduğunda
eşitliklerini elde ederiz. Bu yüzden
denkliği sağlanır. Bu yüzden yolların bileşkesi, yolların denklik sınıfları üzerinde iyi tanımlıdır.
- Bir uzayda sabit başlangıç ve bitiş noktaları olan yollar üzerindeki homotopi ilişkisi bir denklik bağıntısıdır. Uzaydaki bir
yolunun homotopi sınıfı
ile gösterilir.
İspatını yaparken, Homotopi ilişkisinin yansıma, simetri ve geçişme özelliklerini sağladığı göstermeli.
•yansıma: ,
’den
’ya giden bir yol olsun.
,
şeklinde tanımlanmış
fonksiyonu
ile
arasında bir homotopidir; çünkü her
için,
fonksiyonu
’den
’ya giden bir yoldur ve
’dir. Sonuç olarak
elde edilir.
•simetri: ,
’den
’ya giden 2 yol olsun.
olduğunu kabul edelim. O halde öyle bir
şeklinde tanımlı homotopi vardır ki; her sabit
için,
fonksiyonu
’den
’ya giden bir yol olur ve
,
’dir.
Şimdi fonksiyonunu
şeklinde tanımlayalım. O zaman her sabit
için,
fonksiyonu
’den
’ya giden bir yoldur ve
ve
olur. Sonuç olarak
elde edilir.
•geçişme: şeklinde tanımlı 3 yol olsun.
ve
olduğunu kabul edelim. Göstermemiz gereken;
dir.
ve
olduğundan öyle
ve
homotopileri vardır ki;
,
ve
,
,
ve
’dir. Şimdi bir
fonksiyonunu
şeklinde tanımlayalım. Açıkça görüyoruz ki;
fonksiyonu
noktası dışında her yerde süreklidir.
Öte yandan için
ve
olmaktadır.
Dolayısıyla fonksiyonu
noktasında da süreklidir. Ayrıca,
ve
olduğunu görüyoruz.
Sonuç olarak
elde edilir.
gruptur.
Kanıtını göstermek için, örnek olarak ve
,
'a dayalı döngülerinin homotopi sınıflarının kümesi olsun.
•Birim elemanı ,
olan
döngüsünün sınıfıdır. Herhangi bir
döngüsü için
eşitliği sağlanır ve homotopi şu şekilde tanımlanır:
.
• ,
'te bulunan herhangi bir döngü olsun.
'in tersini
olarak tanımlayalım.
'in tersini yönünü değiştirerek tanımladık. Şimdi ise
arasındaki homotopi şu şekilde tanımlanır:
.
• herhangi üç eleman olsun. Şimdi ise
olduğunu gösterelim. Bu koşulu sağlayan homotopi şu şekilde tanımlanır:
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar