Bu maddede bulunmasına karşın yetersizliği nedeniyle bazı bilgilerin hangi kaynaktan alındığı belirsizdir.Haziran 2016) () ( |
Matematiksel çözümlemede Euler özdeşliği olarak adlandırılan ve Leonhard Euler tarafından bulunan eşitlik
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTh3THpCbEwwVjRjRWxRYVM1bmFXWXZNekF3Y0hndFJYaHdTVkJwTG1kcFpnPT0uZ2lm.gif)
dır. Burada,
- e, doğal logaritma tabanı Euler sayısını,
- i, karesi -1'e eşit olan karmaşık sayıyı,
- π, bir çemberin çevre uzunluğunun çapına oranına eşit olan pi sayısını ifade eder.
Euler özdeşliği zaman zaman Euler denklemi olarak da adlandırılmaktadır.
Özdeşliğin doğası
Euler özdeşliği birçok matematikçi tarafından göze hoş gelen bir denklem olarak tanımlanmaktadır. Denklem, aritmetik işlemlerden toplama, çarpma ve üs almayı içerir. Euler özdeşliği matematiğin beş temel sabitini de içerir:
- 0 sayısı
- 1 sayısı
- Trigonometri, Öklit geometrisi ve matematiksel çözümlemenin vazgeçilmez unsurlarından pi sayısı
- Doğal logaritma tabanı olarak da adlandırılan e sayısı (e ≈ 2.71828)
- Karmaşık sayıların temel birimi olan ve integral gibi birçok işleme izin veren i sayısı
Özdeşliğe ilişkin düşünceler
Mathematical Intelligencer okurları tarafından yanıtlanan bir anket sonucuna göre Euler özdeşliği matematiğin en hoş kuramıdır.Physics World tarafından 2004 yılında yapılan bir diğer anket sonucuna göre ise Euler eşitliği Maxwell denklemleri ile birlikte "gelmiş geçmiş en büyük denklemler" olarak belirlenmiştir.
Paul Nahin'in Dr. Euler'in Enfes Formülü (2006) adlı kitabı Euler özdeşliğine adanmıştır. Dörtyüz sayfa uzunluğundaki bu kitap Euler özdeşliğinin "matematiksel güzelliğin zirvesine ulaştığı" kanısındadır.
, Euler özdeşliğinin "matematiğin en önemli formülü" olduğunu öne sürmüştür.
Gauss'un bu formülü ilk duyduğunda anlayamayan hiçbir öğrencinin birinci sınıf bir matematikçi olamayacağını söylediğine inanılmaktadır.
19. yüzyılın ünlü matematikçilerinden bir dersinde özdeşliği kanıtladıktan sonra şunları söylemiştir: "Bu özdeşlik ilk bakışta çelişkili gibi duruyor ancak bunu kanıtladıktan sonra gerçeğin ta kendisiyle karşı karşıya olduğumuzu görüyoruz."
Stanfordlu matematik profesörü Keith Devlin, Euler özdeşliği hakkında şunları söylemiştir: "Euler özdeşliği aşkın gerçek anlamını kavrayan bir Shakespeare sonatı ya da insanın ruhuna işleyen bir resim gibi varoluşun en derinlerine iniyor."
Çıkarımı
![image](https://www.wikipedia.tr-tr.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraXBlZGlhLnRyLXRyLm5pbmEuYXovaW1hZ2UvYUhSMGNITTZMeTkxY0d4dllXUXVkMmxyYVcxbFpHbGhMbTl5Wnk5M2FXdHBjR1ZrYVdFdlkyOXRiVzl1Y3k5MGFIVnRZaTgzTHpjeEwwVjFiR1Z5SlRJM2MxOW1iM0p0ZFd4aExuTjJaeTh6TURCd2VDMUZkV3hsY2lVeU4zTmZabTl5YlhWc1lTNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Özdeşlik, karmaşık çözümlemedeki Euler formülünün özel bir durumudur. Euler formülü her x gerçel sayısı için aşağıdaki eşitliği sağlamaktadır.
eşitliği sağlanıyorsa
ifadesi elde edilir. Bunun nedeni
ve
eşitliklerinin sağlanmasıdır. Bunun ardından aşağıdaki eşitlik elde edilir.
ve bu eşitlik bizi Euler özdeşliğine götürür.
Euler Bağıntıları
double euler(double exp.'e atfen) bağıntıları
Genelleme
Euler özdeşliği aşağıda formülü verilen eşitliğin n = 2 durumunu sağlar.
Atıf sorunu
Euler, formülünün e sayısını cos ve sin terimleriyle ilişkilendirdiğini birçok yerde belirtmiştir ancak Euler'in kendi adına atfedilen özdeşliği bulduğuna dair somut bir kanıt bulunmamaktadır. Bazı kaynaklar bu özdeşliğin Euler'in doğumundan önce kullanılmakta olduğunu öne sürmektedirler. (Durum böyleyse bu, bir örnek oluşturabilir.) Bu nedenle, özdeşliğin Euler'e atfedilmesinin uygun olup olmadığı konusunda genel bir kabul yoktur.
Ayrıca bakınız
Notlar
Kaynakça
- Crease, Robert P., "Gelmiş geçmiş en büyük denklemler14 Temmuz 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde .", PhysicsWeb, Ekim 2004.
- Crease, Robert P. "Simgesel Denklemler 5 Aralık 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde .," PhysicsWeb, Mart 2007.
- Derbyshire, J. Büyük Takıntı: Bernhard Riemann ve matematiğin en gizemli sorusu (New York: Penguin, 2004).
- Kasner, E. ve Newman, J., Matematik ve Hayalgücü (Bell ve Sons, 1949).
- Maor, Eli, e: Bir Sayının Öyküsü (Princeton University Press, 1998),
- Nahin, Paul J., Dr. Euler'in Enfes Formülü (Princeton University Press, 2006),
- Reid, Constance, Sıfırdan Sonsuza (Amerikan Matematik Kurumu).
- Sandifer, Ed, "", MAA Online, Şubat 2007.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Bu maddede kaynak listesi bulunmasina karsin metin ici kaynaklarin yetersizligi nedeniyle bazi bilgilerin hangi kaynaktan alindigi belirsizdir Lutfen kaynaklari uygun bicimde metin icine yerlestirerek maddenin gelistirilmesine yardimci olun Haziran 2016 Bu sablonun nasil ve ne zaman kaldirilmasi gerektigini ogrenin Matematiksel cozumlemede Euler ozdesligi olarak adlandirilan ve Leonhard Euler tarafindan bulunan esitlikUstel fonksiyon ez N sonsuza giderken 1 z N N nin limitine esittir Boylece eip ifadesi 1 ip N N nin limitine esit olur Bu canlandirmada N 1 den 100 e kadar degisen degerler almaktadir 1 ip N N ifadesinin hesaplanmasi karmasik duzlemde gerceklestirilen N carpimin butuncul etkisiyle aciklanir N arttikca 1 ip N N ifadesinin limiti 1 e yakinsar eip 1 0 displaystyle e i pi 1 0 dir Burada e dogal logaritma tabani Euler sayisini i karesi 1 e esit olan karmasik sayiyi p bir cemberin cevre uzunlugunun capina oranina esit olan pi sayisini ifade eder Euler ozdesligi zaman zaman Euler denklemi olarak da adlandirilmaktadir Ozdesligin dogasiEuler ozdesligi bircok matematikci tarafindan goze hos gelen bir denklem olarak tanimlanmaktadir Denklem aritmetik islemlerden toplama carpma ve us almayi icerir Euler ozdesligi matematigin bes temel sabitini de icerir 0 sayisi 1 sayisi Trigonometri Oklit geometrisi ve matematiksel cozumlemenin vazgecilmez unsurlarindan pi sayisi Dogal logaritma tabani olarak da adlandirilan e sayisi e 2 71828 Karmasik sayilarin temel birimi olan ve integral gibi bircok isleme izin veren i sayisiOzdeslige iliskin dusuncelerMathematical Intelligencer okurlari tarafindan yanitlanan bir anket sonucuna gore Euler ozdesligi matematigin en hos kuramidir Physics World tarafindan 2004 yilinda yapilan bir diger anket sonucuna gore ise Euler esitligi Maxwell denklemleri ile birlikte gelmis gecmis en buyuk denklemler olarak belirlenmistir Paul Nahin in Dr Euler in Enfes Formulu 2006 adli kitabi Euler ozdesligine adanmistir Dortyuz sayfa uzunlugundaki bu kitap Euler ozdesliginin matematiksel guzelligin zirvesine ulastigi kanisindadir Euler ozdesliginin matematigin en onemli formulu oldugunu one surmustur Gauss un bu formulu ilk duydugunda anlayamayan hicbir ogrencinin birinci sinif bir matematikci olamayacagini soyledigine inanilmaktadir 19 yuzyilin unlu matematikcilerinden bir dersinde ozdesligi kanitladiktan sonra sunlari soylemistir Bu ozdeslik ilk bakista celiskili gibi duruyor ancak bunu kanitladiktan sonra gercegin ta kendisiyle karsi karsiya oldugumuzu goruyoruz Stanfordlu matematik profesoru Keith Devlin Euler ozdesligi hakkinda sunlari soylemistir Euler ozdesligi askin gercek anlamini kavrayan bir Shakespeare sonati ya da insanin ruhuna isleyen bir resim gibi varolusun en derinlerine iniyor CikarimiEuler ozdesliginin rastgele bir aciya uygulanmasi Ozdeslik karmasik cozumlemedeki Euler formulunun ozel bir durumudur Euler formulu her x gercel sayisi icin asagidaki esitligi saglamaktadir eix cos x isin x displaystyle e ix cos x i sin x x p displaystyle x pi esitligi saglaniyorsa eip cos p isin p displaystyle e i pi cos pi i sin pi ifadesi elde edilir Bunun nedeni cos p 1 displaystyle cos pi 1 ve sin p 0 displaystyle sin pi 0 esitliklerinin saglanmasidir Bunun ardindan asagidaki esitlik elde edilir eip 1 displaystyle e i pi 1 ve bu esitlik bizi Euler ozdesligine goturur eip 1 0 displaystyle e i pi 1 0 Euler Bagintilari eix cos x isin x displaystyle e ix cos x i sin x e ix cos x isin x displaystyle e ix cos x i sin x cos x eix e ix 2 displaystyle cos x e ix e ix 2 sin x eix e ix 2i displaystyle sin x e ix e ix 2 i double euler double exp e atfen bagintilari eeix ecos x isin x displaystyle e e ix e cos x i sin x eeix ecos xcos sin x isin sin x displaystyle e e ix e cos x cos sin x i sin sin x ee ix ecos xcos sin x isin sin x displaystyle e e ix e cos x cos sin x i sin sin x ecos xcos sin x eeix ee ix 2 displaystyle e cos x cos sin x e e ix e e ix 2 ecos xsin sin x eeix ee ix 2i displaystyle e cos x sin sin x e e ix e e ix 2 i GenellemeEuler ozdesligi asagida formulu verilen esitligin n 2 durumunu saglar k 0n 1e2pik n 0 displaystyle sum k 0 n 1 e 2 pi ik n 0 Atif sorunuEuler formulunun e sayisini cos ve sin terimleriyle iliskilendirdigini bircok yerde belirtmistir ancak Euler in kendi adina atfedilen ozdesligi bulduguna dair somut bir kanit bulunmamaktadir Bazi kaynaklar bu ozdesligin Euler in dogumundan once kullanilmakta oldugunu one surmektedirler Durum boyleyse bu bir ornek olusturabilir Bu nedenle ozdesligin Euler e atfedilmesinin uygun olup olmadigi konusunda genel bir kabul yoktur Ayrica bakinizUstel fonksiyon Gelfond sabiti Bessel fonksiyonlariNotlar Nahin 2006 s 2 3 anket derginin 1990 sayisinda yayimlanmistir Crease 2004 Crease 2007 Reid Derbyshire s 210 Maor s 160 ve Kasner amp Newman s 103 104 Nahin 2006 s 1 Sandifer KaynakcaCrease Robert P Gelmis gecmis en buyuk denklemler14 Temmuz 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde PhysicsWeb Ekim 2004 Crease Robert P Simgesel Denklemler 5 Aralik 2008 tarihinde Wayback Machine sitesinde PhysicsWeb Mart 2007 Derbyshire J Buyuk Takinti Bernhard Riemann ve matematigin en gizemli sorusu New York Penguin 2004 Kasner E ve Newman J Matematik ve Hayalgucu Bell ve Sons 1949 Maor Eli e Bir Sayinin Oykusu Princeton University Press 1998 ISBN 0 691 05854 7 Nahin Paul J Dr Euler in Enfes Formulu Princeton University Press 2006 ISBN 978 0 691 11822 2 Reid Constance Sifirdan Sonsuza Amerikan Matematik Kurumu Sandifer Ed MAA Online Subat 2007