Matematikte, genelleştirilmiş Batlamyus teoremi olarak da bilinen Casey teoremi, adını İrlandalı matematikçi 'den alan Öklid geometrisindeki bir teoremdir.
Teoremin formülasyonu
, yarıçapı olan bir çember olsun. (sırasıyla) içinde yer alan kesişmeyen ve 'ya teğet olan dört çember olsun. , çemberlerin dış ortak çifte teğet (bitanjant)'inin uzunluğunu göstersin. Buna göre:.
Dört çemberin hepsinin noktalara indirgendiği dejenere durumda, bunun tam olarak Batlamyus teoremi olduğuna dikkat edin.
İspat
Aşağıdaki kanıt Zacharias'a atfedilebilir. çemberinin yarıçapını ile belirtelim ve çember ile teğet noktasını da ile gösterelim. Çemberlerinin merkezleri için gösterimini kullanacağız. Pisagor teoreminden,
Bu uzunluğu, türünden ifade etmeye çalışacağız . üçgende kosinüs yasasına göre,
çemberleri birbirine teğet olduğundan:
, çemberinin üzerindeki bir nokta olsun. üçgeninde sinüs yasasına göre:
Bu nedenle,
ve bunları yukarıdaki formülde yerine koyarsak:
Ve son olarak, aradığımız uzunluk;
uygulanan orijinal Batlamyus teoreminin yardımıyla artık sol tarafı hesaplayabiliriz:
Diğer genellemeler
Görülebileceği gibi, dört çemberin büyük çemberin içinde olması gerekmiyor. Aslında, ona dışarıdan da teğet olabilirler. Bu durumda aşağıdaki değişiklik yapılmalıdır:
Eğer , ikisi de 'nun aynı tarafından teğetse (her ikisi de içeriden veya her ikisi de dışarıdan), dış ortak teğetin uzunluğudur.
Eğer , 'ya farklı yönlerden teğetse (biri içeriden ve biri dışarıdan), iç ortak teğetin uzunluğudur.
Casey teoreminin tersi de doğrudur. Yani, eşitlik geçerliyse, çemberler ortak bir çembere teğettir.
Uygulamalar
Casey teoremi ve tersi, Öklid geometrisindeki çeşitli ifadeleri kanıtlamak için kullanılabilir. Örneğin, Feuerbach teoreminin bilinen en kısa kanıtı:411 Casey teoreminin tersini kullanır.
Notlar
- ^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., "John Casey", MacTutor Matematik Tarihi arşivi
- ^ a b Casey (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy. 9: 396-423.
- ^ Zacharias (1942). "Der Caseysche Satz". . 52: 79-89.
- ^ Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987). 1944.
- ^ a b Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry). 1929.
Dış bağlantılar
- Eric W. Weisstein, Casey's theorem (MathWorld)
- Shailesh Shirali. "On a generalized Ptolemy Theorem". ss. 49-53.
- . 17 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.
(yukarıdaki makaleyi içerir)
- . Cut-the-Knot. 20 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.
- . Geogebra. 19 Ekim 2020 tarihinde kaynağından arşivlendi.
İlave okumalar
- Luis Gonzalez (2011). (PDF). 5 Haziran 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
- Kin Y. Li (2012). (PDF). 21 Ekim 2020 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi.
- Abrosimov, Nikolay & Mikaiylova, Liudmila. (2015). Casey's theorem in hyperbolic geometry. Siberian Electronic Mathematical Reports. 12. ss. 354-360. 10.17377/semi.2015.12.029.
- Abrosimov, N.V., Aseev, V.V. Generalizations of Casey’s Theorem for Higher Dimensions. Lobachevskii J Math 39, 1–12 (2018). https://doi.org/10.1134/S199508021801002X
- Y. Mikami (1919). (Japonca). 7 Ekim 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi.
Kaynakça
- Casey, J. (1866). "On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane". Proceedings of the Royal Irish Academy. 9: 396-423. JSTOR 20488927.
- Zacharias, M. (1942). "Der Caseysche Satz". . 52: 79-89.
- Bottema, O. (1944). Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde. (translation by Reinie Erné as Topics in Elementary Geometry, Springer 2008, of the second extended edition published by Epsilon-Uitgaven 1987).
- Johnson, Roger A. (1929). Modern Geometry. Houghton Mifflin, Boston (republished facsimile by Dover 1960, 2007 as Advanced Euclidean Geometry).
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Matematikte genellestirilmis Batlamyus teoremi olarak da bilinen Casey teoremi adini Irlandali matematikci den alan Oklid geometrisindeki bir teoremdir Teoremin formulasyonut12 t34 t14 t23 t13 t24 0 displaystyle t 12 cdot t 34 t 14 cdot t 23 t 13 cdot t 24 0 O textstyle O yaricapi R textstyle R olan bir cember olsun O1 O2 O3 O4 textstyle O 1 O 2 O 3 O 4 sirasiyla O textstyle O icinde yer alan kesismeyen ve O displaystyle O ya teget olan dort cember olsun tij textstyle t ij Oi Oj textstyle O i O j Oi Oj displaystyle O i O j cemberlerin dis ortak cifte teget bitanjant inin uzunlugunu gostersin Buna gore t12 t34 t14 t23 t13 t24 displaystyle t 12 cdot t 34 t 14 cdot t 23 t 13 cdot t 24 Dort cemberin hepsinin noktalara indirgendigi dejenere durumda bunun tam olarak Batlamyus teoremi olduguna dikkat edin IspatAsagidaki kanit Zacharias a atfedilebilir Oi displaystyle O i cemberinin yaricapini Ri displaystyle R i ile belirtelim ve cember ile teget noktasini daKi displaystyle K i ile gosterelim Cemberlerinin merkezleri icinO Oi displaystyle O O i gosterimini kullanacagiz Pisagor teoreminden tij2 OiOj 2 Ri Rj 2 displaystyle t ij 2 overline O i O j 2 R i R j 2 Bu uzunlugu Ki Kj displaystyle K i K j turunden ifade etmeye calisacagiz OiOOj displaystyle O i OO j ucgende kosinus yasasina gore OiOj 2 OOi 2 OOj 2 2OOi OOj cos OiOOj displaystyle overline O i O j 2 overline OO i 2 overline OO j 2 2 overline OO i cdot overline OO j cdot cos angle O i OO j O Oi displaystyle O O i cemberleri birbirine teget oldugundan OOi R Ri OiOOj KiOKj displaystyle overline OO i R R i angle O i OO j angle K i OK j C displaystyle C O textstyle O cemberinin uzerindeki bir nokta olsun KiCKj displaystyle K i CK j ucgeninde sinus yasasina gore KiKj 2R sin KiCKj 2R sin KiOKj2 displaystyle overline K i K j 2R cdot sin angle K i CK j 2R cdot sin frac angle K i OK j 2 Bu nedenle cos KiOKj 1 2sin2 KiOKj2 1 2 KiKj 2R 2 1 KiKj 22R2 displaystyle cos angle K i OK j 1 2 sin 2 frac angle K i OK j 2 1 2 cdot left frac overline K i K j 2R right 2 1 frac overline K i K j 2 2R 2 ve bunlari yukaridaki formulde yerine koyarsak OiOj 2 R Ri 2 R Rj 2 2 R Ri R Rj 1 KiKj 22R2 displaystyle overline O i O j 2 R R i 2 R R j 2 2 R R i R R j left 1 frac overline K i K j 2 2R 2 right OiOj 2 R Ri 2 R Rj 2 2 R Ri R Rj R Ri R Rj KiKj 2R2 displaystyle overline O i O j 2 R R i 2 R R j 2 2 R R i R R j R R i R R j cdot frac overline K i K j 2 R 2 OiOj 2 R Ri R Rj 2 R Ri R Rj KiKj 2R2 displaystyle overline O i O j 2 R R i R R j 2 R R i R R j cdot frac overline K i K j 2 R 2 Ve son olarak aradigimiz uzunluk tij OiOj 2 Ri Rj 2 R Ri R Rj KiKj R displaystyle t ij sqrt overline O i O j 2 R i R j 2 frac sqrt R R i cdot sqrt R R j cdot overline K i K j R K1K2K3K4 displaystyle K 1 K 2 K 3 K 4 uygulanan orijinal Batlamyus teoreminin yardimiyla artik sol tarafi hesaplayabiliriz t12t34 t14t23 1R2 R R1R R2R R3R R4 K1K2 K3K4 K1K4 K2K3 1R2 R R1R R2R R3R R4 K1K3 K2K4 t13t24 displaystyle begin aligned amp t 12 t 34 t 14 t 23 4pt amp frac 1 R 2 cdot sqrt R R 1 sqrt R R 2 sqrt R R 3 sqrt R R 4 left overline K 1 K 2 cdot overline K 3 K 4 overline K 1 K 4 cdot overline K 2 K 3 right 4pt amp frac 1 R 2 cdot sqrt R R 1 sqrt R R 2 sqrt R R 3 sqrt R R 4 left overline K 1 K 3 cdot overline K 2 K 4 right 4pt amp t 13 t 24 end aligned Diger genellemelerGorulebilecegi gibi dort cemberin buyuk cemberin icinde olmasi gerekmiyor Aslinda ona disaridan da teget olabilirler Bu durumda asagidaki degisiklik yapilmalidir Eger Oi Oj displaystyle O i O j ikisi de O displaystyle O nun ayni tarafindan tegetse her ikisi de iceriden veya her ikisi de disaridan tij displaystyle t ij dis ortak tegetin uzunlugudur Eger Oi Oj displaystyle O i O j O displaystyle O ya farkli yonlerden tegetse biri iceriden ve biri disaridan tij displaystyle t ij ic ortak tegetin uzunlugudur Casey teoreminin tersi de dogrudur Yani esitlik gecerliyse cemberler ortak bir cembere tegettir UygulamalarCasey teoremi ve tersi Oklid geometrisindeki cesitli ifadeleri kanitlamak icin kullanilabilir Ornegin Feuerbach teoreminin bilinen en kisa kaniti 411 Casey teoreminin tersini kullanir Notlar O Connor John J Robertson Edmund F John Casey MacTutor Matematik Tarihi arsivi a b Casey 1866 On the Equations and Properties 1 of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane 2 of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space 3 of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere 4 of the System of Conics Inscribed to a Conic and Touching Three Inscribed Conics in a Plane Proceedings of the Royal Irish Academy 9 396 423 Zacharias 1942 Der Caseysche Satz 52 79 89 Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde translation by Reinie Erne as Topics in Elementary Geometry Springer 2008 of the second extended edition published by Epsilon Uitgaven 1987 1944 a b Modern Geometry Houghton Mifflin Boston republished facsimile by Dover 1960 2007 as Advanced Euclidean Geometry 1929 Dis baglantilarEric W Weisstein Casey s theorem MathWorld Shailesh Shirali On a generalized Ptolemy Theorem ss 49 53 17 Ekim 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi yukaridaki makaleyi icerir Cut the Knot 20 Ekim 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi Geogebra 19 Ekim 2020 tarihinde kaynagindan arsivlendi Ilave okumalarLuis Gonzalez 2011 PDF 5 Haziran 2020 tarihinde kaynagindan PDF arsivlendi Kin Y Li 2012 PDF 21 Ekim 2020 tarihinde kaynagindan PDF arsivlendi Abrosimov Nikolay amp Mikaiylova Liudmila 2015 Casey s theorem in hyperbolic geometry Siberian Electronic Mathematical Reports 12 ss 354 360 10 17377 semi 2015 12 029 Abrosimov N V Aseev V V Generalizations of Casey s Theorem for Higher Dimensions Lobachevskii J Math 39 1 12 2018 https doi org 10 1134 S199508021801002X Y Mikami 1919 Japonca 7 Ekim 2022 tarihinde kaynagindan arsivlendi KaynakcaCasey J 1866 On the Equations and Properties 1 of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane 2 of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space 3 of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere 4 of the System of Conics Inscribed to a Conic and Touching Three Inscribed Conics in a Plane Proceedings of the Royal Irish Academy 9 396 423 JSTOR 20488927 Zacharias M 1942 Der Caseysche Satz 52 79 89 Bottema O 1944 Hoofdstukken uit de Elementaire Meetkunde translation by Reinie Erne as Topics in Elementary Geometry Springer 2008 of the second extended edition published by Epsilon Uitgaven 1987 Johnson Roger A 1929 Modern Geometry Houghton Mifflin Boston republished facsimile by Dover 1960 2007 as Advanced Euclidean Geometry