Weierstrass-Casorati teoremi

Karmaşık analizde Weierstrass-Casorati teoremi, holomorf fonksiyonların esaslı tekillikler civarındaki olağanüstü davranışlarını açıklayan bir ifadedir. Teorem, Karl Theodor Wilhelm Weierstrass ve 'ye atfen isimlendirilmiştir.

z₀ 'ı içeren, karmaşık düzlemin açık bir altkümesi U ile ve z₀ 'da esaslı tekilliği olan, U - {z₀} üzerinde tanımlı holomorf bir f fonksiyonuyla başlayalım. Bu halde, Weierstrass-Casorati teoremi şunu ifade eder:

V, U içinde yer alan, ${\displaystyle z_{0}}$'ın bir komşuluğu ise, o zaman f(V - {z₀}) C 'de yoğundur.

Ayrıca şu şekilde de ifade edilebilir:

herhangi bir ε > 0 ve karmaşık sayı w için, U 'da öyle bir z karmaşık sayısı vardır ki |z - z₀| < ε ve |f(z) - w| < ε olur.

Teorem büyük ölçüde üstteki gösterimle f 'nin V içinde en fazla bir nokta istisnasıyla tüm karmaşık değerleri sonsuz kere aldığını ifade eden Picard'ın büyük teoremi ile güçlendirilmiştir.

Esaslı tekillik z=0 'da merkezlenmiş exp(1/z) 'nin çizimi. Renk özü karmaşık argumenti gösterirken, parlaklık mutlak değeri göstermektedir. Bu çizim esaslı tekilliğe değişik yönlerden yaklaşmanın nasıl değişik davranışlar verdiğini göstermektedir (özellikle düzgün bir şekilde beyaz renkte olacak kutuplara karşı).

Örnekler

f(z) = exp(1/z), z₀ = 0'da esaslı tekilliğe sahiptir; ancak g(z) = 1/z³ 'ün esaslı tekilliği yoktur (0'da bu fonksiyonun kutbu vardır).

${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$

fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyonun esaslı tekilliği olan ${\displaystyle z=0}$ etrafında şu Laurent serisi vardır.

${\displaystyle f(z)=\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!z^{n}}}.}$

${\displaystyle z\neq 0}$ olan tüm noktalar için ${\displaystyle f'(z)={\frac {-e^{\frac {1}{z}}}{z^{2}}}}$ var olduğundan, ${\displaystyle f(z)}$ 'nin ${\displaystyle z=0}$ 'ın komşuluğunda analitik olduğunu biliyoruz. Bu yüzden, diğer bütün esaslı tekillikler gibi korunmalı tekilliktir.

Değişken değiştirme ile ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ 'ya dönersek, fonksiyonumuz ${\displaystyle f(z)=e^{\frac {1}{z}}}$

${\displaystyle f(z)=e^{{\frac {1}{r}}e^{-i\theta }}=e^{{\frac {1}{r}}\cos(\theta )}e^{-i\sin(\theta )}}$

haline gelir. Her iki tarafın mutlak değerini alırsak

${\displaystyle \left|f(z)\right|=\left|e^{{\frac {1}{r}}cos\theta }\right|\left|e^{-i\sin(\theta )}\right|=e^{{\frac {1}{r}}\cos \theta }}$

elde ederiz. Bu yüzden, ${\displaystyle \cos \theta >0}$ olan ${\displaystyle \theta }$ değerleri için, ${\displaystyle r\rightarrow 0}$ iken ${\displaystyle f(z)\rightarrow \infty }$ olur ve ${\displaystyle \cos \theta <0}$ için, ${\displaystyle r\rightarrow 0}$ iken ${\displaystyle f(z)\rightarrow 0}$ olur.

Sanal eksene teğet olan ${\displaystyle {\frac {1}{R}}}$ çaplı çember üzerinde z değer alırsa neler olabileceğini düşünelim. Bu çember ${\displaystyle r={\frac {1}{R}}\cos \theta }$ ile verilir. O zaman,

${\displaystyle f(z)=e^{R}\left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]}$

ve

${\displaystyle \left|f(z)\right|=e^{R}}$

olur. Bu yüzden, ${\displaystyle \left|f(z)\right|}$ uygun bir R seçimi ile sıfır dışında bütün pozitif değerleri alır. Çember üzerinde ${\displaystyle z\rightarrow 0}$ oldukça, R sabit iken ${\displaystyle \theta \rightarrow {\frac {\pi }{2}}}$ olur. Denklemin

${\displaystyle \left[\cos \left(R\tan \theta \right)-i\sin \left(R\tan \theta \right)\right]}$

parçası, birim çember üzerindeki bütün değerleri sonsuz kere alır. Bu yüzden f(z), karmaşık düzlemdeki sıfır dışındaki tüm değerleri sonsuz kere alır.

Kanıt

Teoremin kısa bir kanıtı şu şekildedir: f, delikli bir V - z₀ komşuluğunda holomorf olsun ve z₀ esaslı tekillik olsun. Ayrıca, f(V - {z₀}), C 'de yoğun olmasın; yani f(V - {z₀}) 'ın kapanışında yer almayan bir b olsun. O zaman, V - {z₀} üzerinde tanımlı

${\displaystyle g(z)={\frac {1}{f(z)-b}}}$

fonksiyonu sınırlıdır ve bu yüzden V 'nin tümüne holomorf bir şekilde genişletilebilir. Böylece, V - {z₀} üzerinde

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{g(z)}}+b}$

olur.

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow z_{0}}g(z)}$

limitinin iki çeşit durumunu ele alalım. Limit 0 ise, o zaman f 'nin z₀ 'da kutbu vardır. Limit 0 değilse, o zaman z₀kaldırılabilir tekilliktir. Her iki olası sonuç da teoremin varsayımıyla çelişmektedir. Bu yüzden teorem doğrudur.