Kuaterniyon

Matematikte, dördeyler (ya da kvaterniyon, kuaternion, dördübir), karmaşık sayıları bir gerçel, üç sanal boyuta genişleten sayı sistemidir. İlk defa İrlandalı matematikçi Sir William Rowan Hamilton tarafından 1843 yılında tanımlanmış ve 3 boyutlu uzaydaki matematiğe uygulanmışlardır. Kuaterniyonlar değişme özelliğine (ab = ba) sahip değildir. Her ne kadar pek çok uygulamada vektörler ve matrisler dördeylerin yerini almışsa da, kuramsal ve uygulamalı matematikte hala kullanılmaktadırlar. Başlıca kullanım alanı, 3 boyutlu uzayda dönme hareketinin hesaplanmasıdır.

William Rowan Hamilton

Dördey cebiri genellikle H (Hamilton) ile gösterilir. sınıflandırması Cℓ_0,2(R) = Cℓ⁰_3,0(R) olarak da gösterilirler. H cebirinin analizde önemli bir yeri vardır. Çünkü, 'ne göre, gerçel sayılar cismini olarak içeren sonlu-boyutlu dört bir tanesidir (diğerleri gerçel sayılar, karmaşık sayılar ve (octonions)).

Tanım

Dördeyler bir halka olarak tanımlanır. Kümesi:

${\displaystyle \mathbb {H} =\{a+bi+cj+dk|a,b,c,d\in \mathbb {R} \}}$.

olarak verilir. Burada kullanılan toplama şu şekilde tanımlıdır:

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)+(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,}$

${\displaystyle =(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i+(c_{1}+c_{2})j+(d_{1}+d_{2})k\,}$

Çarpma ise

${\displaystyle (a_{1}+b_{1}i+c_{1}j+d_{1}k)(a_{2}+b_{2}i+c_{2}j+d_{2}k)\,}$

ifadesinin dağıtma kuralı kullanılarak açılmasıyla ve aşağıdaki bağıntılar yardımıyla tanımlanır.

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1,\,}$

Her dördey tektir ve temel dördeylerin, yani 1, i, j ve k nin gerçel doğrusal birleşimidir.

Dördeyler halkası, çarpma işleminin değişmeli olmaması yüzünden bir cisim değildir. Bir .

Aynı zamanda, dördeyler, gerçel sayılar üzerinde bir bölüm cebiri oluşturur. Gerçel sayılar ve karmaşık sayılarla birlikte, gerçelleri içeren üç bölüm cebirinden biridir.

Taban ögelerinin çarpımı

denklikler

${\displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$,

burada i, j ve k H nın taban ögeleridir,i, j ve k nın tüm olası çarpanlarını belirtir .

örneğin −1 = ijk nın sağ çarpanlarının her ikisi de k ile verilir

${\displaystyle {\begin{aligned}-k&=ijkk=ij(k^{2})=ij(-1),\\k&=ij.\end{aligned}}}$

Diğer tüm olası çarpanlar benzer yöntemlerle belirlenebilir

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}ij&=k,&\qquad ji&=-k,\\jk&=i,&kj&=-i,\\ki&=j,&ik&=-j,\end{alignedat}}}$

olan satır çarpanı sol faktörü teşkil eder ve bir tablo olarak ifade edilebilir,bu yazının üstünde gösterildiği gibi kendilerinin sütunlari sağ faktörü teşkil eder.

Hamilton çarpımı

iki a₁ + b₁i + c₁j + d₁k elementler için ve a₂ + b₂i + c₂j + d₂k, burada çarpıma, Hamilton çarpımı (a₁ + b₁i + c₁j + d₁k) (a₂ + b₂i + c₂j + d₂k) denir, taban ögeler ve çarpımları ile tanımlanıyor.Dağılım kanunu onu çarpımın açılımı için olası yapar böylece bu taban ögelerin çarpımlarının bir toplamıdır. Bu aşağıdaki bağıntılarla veriliyor:

${\displaystyle a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{1}c_{2}j+a_{1}d_{2}k}$

${\displaystyle {}+b_{1}a_{2}i+b_{1}b_{2}i^{2}+b_{1}c_{2}ij+b_{1}d_{2}ik}$

${\displaystyle {}+c_{1}a_{2}j+c_{1}b_{2}ji+c_{1}c_{2}j^{2}+c_{1}d_{2}jk}$

${\displaystyle {}+d_{1}a_{2}k+d_{1}b_{2}ki+d_{1}c_{2}kj+d_{1}d_{2}k^{2}.}$

Şimdi taban elemanları kullanılarak elde etmek için yukarıda verilen kuralları çoğaltılabilir:

${\displaystyle a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2}}$

${\displaystyle {}+(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2})i}$

${\displaystyle {}+(a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2})j}$

${\displaystyle {}+(a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2})k.}$

Sıralı liste formu

Hnın 1, i, j, k tabanları kullanılıyor bir kümesi olarak H yazmak için mümkün kılar:

${\displaystyle \mathbf {H} =\{(a,b,c,d)\mid a,b,c,d\in \mathbf {R} \}.}$

ise taban ögeleri:

${\displaystyle {\begin{aligned}1&=(1,0,0,0),\\i&=(0,1,0,0),\\j&=(0,0,1,0),\\k&=(0,0,0,1),\end{aligned}}}$

ve toplam ve çarpım için formüller:

${\displaystyle (a_{1},\ b_{1},\ c_{1},\ d_{1})+(a_{2},\ b_{2},\ c_{2},\ d_{2})=(a_{1}+a_{2},\ b_{1}+b_{2},\ c_{1}+c_{2},\ d_{1}+d_{2}).}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(a_{1},\ b_{1},\ c_{1},\ d_{1})&(a_{2},\ b_{2},\ c_{2},\ d_{2})=\\&=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}-c_{1}c_{2}-d_{1}d_{2},\\&{}\qquad a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}+c_{1}d_{2}-d_{1}c_{2},\\&{}\qquad a_{1}c_{2}-b_{1}d_{2}+c_{1}a_{2}+d_{1}b_{2},\\&{}\qquad a_{1}d_{2}+b_{1}c_{2}-c_{1}b_{2}+d_{1}a_{2}).\end{aligned}}}$

Dördey değişkenlerinin bir fonksiyonu

bir karmaşık analizin fonksiyonları gibi, bir dördey değişkenin fonksiyonları kullanışlı fizik modelleri önerir.Örneğin, Maxwell tarafından tanıtılan orijinal elektrik ve manyetik alanlar bir dördey değişkenin fonksiyonları idi.

Üstel, logaritma ve kuvvet

bir dördey veriliyor,

q = a + bi + cj + dk = a + v,

üstel

${\displaystyle \exp(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n}}{n!}}=e^{a}\left(\cos \|\mathbf {v} \|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\sin \|\mathbf {v} \|\right)}$

olarak hesaplanıyor ve

${\displaystyle \ln(q)=\ln \|q\|+{\frac {\mathbf {v} }{\|\mathbf {v} \|}}\arccos {\frac {a}{\|q\|}}}$.

bir dördeyin kutupsal çözülümünü aşağıdaki gibi yazabiliriz

${\displaystyle q=\|q\|e^{{\hat {n}}\theta }=\|q\|\left(\cos(\theta )+{\hat {n}}\sin(\theta )\right),}$

burada açı θ ve birim vektör ${\displaystyle {\hat {n}}}$ ile tanımlanıyor:

${\displaystyle a=\|q\|\cos(\theta )}$

ve

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {n}}\|\mathbf {v} \|={\hat {n}}\|q\|\sin(\theta ).}$

Herhangi birim dördey ${\displaystyle e^{{\hat {n}}\theta }}$.olan kutupsal biçim içinde ifade edilebilir

bir keyfi (gerçek) üstel ${\displaystyle \alpha }$ için bir yükselen dördeyin ile veriliyor:

${\displaystyle q^{\alpha }=\|q\|^{\alpha }e^{{\hat {n}}\alpha \theta }=\|q\|^{\alpha }\left(\cos(\alpha \theta )+{\hat {n}}\sin(\alpha \theta )\right).}$

Ayrıca bakınız

• Karmaşık sayı
• Pauli matrisleri
• Teserakt

Notlar

1. ^ Hazewinkel (2004), ss. 12.
2. ^ (PDF). 26 Eylül 2013 tarihinde kaynağından (PDF) arşivlendi. Erişim tarihi: 30 Temmuz 2014. 

Dış makaleler ve kaynaklar

Vikisözlük'te dördey ile ilgili tanım bulabilirsiniz.

Kitaplar ve yayınlar

• Hamilton, William Rowan. . Philosophical Magazine. Vol. 25, n 3. p. 489–495. 1844.
• Hamilton, William Rowan (1853), "Lectures on Quaternions 11 Mayıs 2006 tarihinde Wayback Machine sitesinde .". Royal Irish Academy.
• Hamilton (1866) Elements of Quaternions 12 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Press. Edited by William Edwin Hamilton, son of the deceased author.
• Hamilton (1899) Elements of Quaternions volume I, (1901) volume II. Edited by ; published by .
• (1873), "An elementary treatise on quaternions". 2d ed., Cambridge, [Eng.]: The University Press.
• , Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004.
• Maxwell, James Clerk (1873), "". Clarendon Press, Oxford.
• (1886), "; Wayback Machine". M.A. Sec. R.S.E. Encyclopaedia Britannica, Ninth Edition, 1886, Vol. XX, pp. 160–164. (bzipped PostScript file)
• Joly, Charles Jasper (1905), "A manual of quaternions". London, Macmillan and co., limited; New York, The Macmillan company. LCCN 05036137 //r84
• (1906), "Vector analysis and quaternions", 4th ed. 1st thousand. New York, J. Wiley & Sons; [etc., etc.]. LCCN es 16000048
• : "Quaternions 7 Mayıs 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde .".
• Finkelstein, David, Josef M. Jauch, Samuel Schiminovich, and David Speiser (1962), "Foundations of quaternion quantum mechanics". J. Mathematical Phys. 3, pp. 207–220, MathSciNet.
• Du Val, Patrick (1964), "Homographies, quaternions, and rotations". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979 //r81
• Crowe, Michael J. (1967), : The Evolution of the Idea of a Vectorial System, University of Notre Dame Press. Surveys the major and minor vector systems of the 19th century (Hamilton, Möbius, Bellavitis, Clifford, Grassmann, Tait, Peirce, Maxwell, Macfarlane, MacAuley, Gibbs, Heaviside).
• Altmann, Simon L. (1986), "Rotations, quaternions, and double groups". Oxford [Oxfordshire]: Clarendon Press; New York: Oxford University Press. LCCN 85013615
• Altmann, Simon L. (1989), "Hamilton, Rodrigues, and the Quaternion Scandal". Mathematics Magazine. Vol. 62, No. 5. p. 291–308, December 1989.
• Adler, Stephen L. (1995), "Quaternionic quantum mechanics and quantum fields". New York: Oxford University Press. International series of monographs on physics (Oxford, England) 88. LCCN 94006306
• (1995), "A Linear Solution of the Four-Dimensionality Problem", Europhysics Letters, 32 (8) 621–626, DOI:10.1209/0295-5075/32/8/001
• Ward, J. P. (1997), "Quaternions and Cayley Numbers: Algebra and Applications", Kluwer Academic Publishers.
• Kantor, I. L. and Solodnikov, A. S. (1989), "Hypercomplex numbers, an elementary introduction to algebras", Springer-Verlag, New York,
• Gürlebeck, Klaus and Sprössig, Wolfgang (1997), "Quaternionic and Clifford calculus for physicists and engineers". Chichester; New York: Wiley (Mathematical methods in practice; v. 1). LCCN 98169958
• Kuipers, Jack (2002), "Quaternions and Rotation Sequences: A Primer With Applications to Orbits, Aerospace, and Virtual Reality" (reprint edition), Princeton University Press.
• Conway, John Horton, and Smith, Derek A. (2003), "On Quaternions and Octonions: Their Geometry, Arithmetic, and Symmetry", A. K. Peters, Ltd. .
• (2003), "Applied Quaternionic Analysis", Heldermann Verlag .
• Hanson, Andrew J. 27 Aralık 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (2006), "Visualizing Quaternions", Elsevier: Morgan Kaufmann; San Francisco.
• (2007), "Natural Geometry of Nonzero Quaternions", International Journal of Theoretical Physics, 46 (2) 251–257, DOI:10.1007/s10773-006-9234-9
• Ernst Binz & Sonja Pods (2008) Geometry of Heisenberg Groups American Mathematical Society, Chapter 1: "The Skew Field of Quaternions" (23 pages) .
• Vince, John A. (2008), Geometric Algebra for Computer Graphics, Springer, .
• For molecules that can be regarded as classical rigid bodies computer simulation employs quaternions. They were first introduced for this purpose by D.J. Evans, (1977), "On the Representation of Orientation Space", Mol. Phys., vol 34, p 317.
• Zhang, Fuzhen (1997), "Quaternions and Matrices of Quaternions", Linear Algebra and its Applications, Vol. 251, pp. 21–57.

Bağlantılar ve uzman yazıları

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Quaternion", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN  
• Matrix and Quaternion FAQ v1.21 16 Aralık 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Frequently Asked Questions
• "Geometric Tools documentation" (frame 28 Ekim 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde .; ) includes several papers focusing on computer graphics applications of quaternions. Covers useful techniques such as spherical linear interpolation.
• Patrick-Gilles Maillot 12 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Provides free Fortran and C source code for manipulating quaternions and rotations / position in space. Also includes mathematical background on quaternions.
• "Geometric Tools source code" (; body 11 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde .) includes free C++ source code for a complete quaternion class suitable for computer graphics work, under a very liberal license.
• Doug Sweetser, Doing Physics with Quaternions 4 Aralık 2003 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• The Physical Heritage of Sir W. R. Hamilton (PDF)
• D. R. Wilkins, Hamilton’s Research on Quaternions 24 Aralık 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde .
• Quaternion Julia Fractals 15 Aralık 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde . 3D Raytraced Quaternion by David J. Grossman
• Quaternion Math and Conversions 27 Eylül 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde . Great page explaining basic math with links to straight forward rotation conversion formulae.
• John H. Mathews, .
• Andrew Hanson, .
• Diebel, James. . Stanford University. 5 Temmuz 2008 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 22 Aralık 2007.  - Technical report and Matlab toolbox summarizing all common attitude representations, with detailed equations and discussion on features of various methods.
• Charles F. F. Karney, Quaternions in molecular modeling, J. Mol. Graph. Mod. 25(5), 595–604 (January 2007); DOI:10.1016/j.jmgm.2006.04.002; E-print arxiv:0506177 4 Eylül 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde ..
• Johan E. Mebius, A matrix-based proof of the quaternion representation theorem for four-dimensional rotations. 4 Eylül 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., arXiv General Mathematics 2005.
• Johan E. Mebius, Derivation of the Euler–Rodrigues formula for three-dimensional rotations from the general formula for four-dimensional rotations. 4 Eylül 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde ., arXiv General Mathematics 2007.
• Department of Mathematics, Hamilton Walk 22 Kasım 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde ..
• David Erickson, (DRDC), Complete derivation of rotation matrix from unitary quaternion representation in DRDC TR 2005-228 paper.
• Alberto Martinez, University of Texas Department of History, "Negative Math, How Mathematical Rules Can Be Positively Bent",
• D. Stahlke, Quaternions in Classical Mechanics Stahlke.org 15 Eylül 2012 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (PDF)
• Morier-Genoud, Sophie, and Valentin Ovsienko. "Well, Papa, can you multiply triplets?", arxiv.org 4 Eylül 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde . describes how the quaternions can be made into a skew-commutative algebra graded by Z/2 × Z/2 × Z/2.
• Curious Quaternions 9 Temmuz 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde . by Helen Joyce hosted by .
• Luis Ibanez "Tutorial on Quaternions" (PDF)
• R. Ghiloni, V. Moretti, A. Perotti (2013) "Continuous slice functional calculus in quaternionic Hilbert spaces, 4 Eylül 2015 tarihinde Wayback Machine sitesinde ." Rev.Math.Phys. 25 1350006. An expository paper about continuous functional calculus in quanternionic Hilbert spaces useful in rigorous quaternionic quantum mechanics.
• Visualizing Quaternions 27 Aralık 2007 tarihinde Wayback Machine sitesinde . by Andrew J. Hanson at Indiana University in Bloomington.