Bilineer fonksiyon

Bilineer dönüşümler, matematikte iki vektör uzayından birer eleman alıp üçüncü bir vektör uzayından bir eleman veren, ve bunu yaparken her iki girdi için de doğrusallık aksiyomlarına uyan fonksiyonlardır.

Tanım

${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ve ${\displaystyle W}$ aynı ${\displaystyle \mathbb {K} }$ cismi üzerinde tanımlı üç vektör uzayı olsun. O zaman bir ${\displaystyle B:V_{1}\times V_{2}\mapsto W}$ fonksiyonunun bilineer olması için her ${\displaystyle v\in V_{2}}$ için $${\displaystyle x\mapsto B(x,v)}$$eşlemesinin, ve her ${\displaystyle v\in V_{1}}$ için de $${\displaystyle x\mapsto B(v,x)}$$eşlemesinin ayrı ayrı doğrusal olması gerekir. Diğer bir değişle, bir bilineer eşlemenin iki girdisinden birisini sabitlemek, her zaman bir lineer dönüşüm verir.

Bu tanımla şu özellikler geçerli olur:

• Her ${\displaystyle v_{1}\in V_{1},v_{2}\in V_{2}}$ ve her ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ için ${\displaystyle \lambda }$'yı ${\displaystyle B}$'nin dışına çekmek mümkündür, yani ${\displaystyle B(\lambda v_{1},v_{2})=\lambda B(v_{1},v_{2})=B(v_{1},\lambda v_{2})}$

• Her ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in V_{1},v\in V_{2}}$ için ${\displaystyle B}$ dağılma özelliğini gösterir, yani ${\displaystyle B(x_{1}+x_{2},v)=B(x_{1},v)+B(x_{2},v)}$. Aynı özellik ikinci girdi için de geçerlidir, yani her ${\displaystyle v\in V_{1},x_{1},x_{2}\in V_{2}}$ için ${\displaystyle B(v,x_{1}+x_{2})=B(v,x_{1})+B(v,x_{2})}$ geçerlidir.

Eğer ${\displaystyle V_{1}}$ ve ${\displaystyle V_{2}}$ aynı ${\displaystyle V}$ vektör uzayıysa, ve aynı zamanda her ${\displaystyle v,w\in V}$ için ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$ geçerliyse ${\displaystyle B}$'ye simetrik denir. Eğer hedef ${\displaystyle W}$ vektör uzayı ${\displaystyle \mathbb {K} }$ cismiyse de ${\displaystyle B}$'ye bir bilineer form denir. Mesela nokta çarpımı simetrik bir bilineer formdur.

Özellikler

Doğrusallığın gereği olarak eğer ${\displaystyle v_{1}}$ veya ${\displaystyle v_{2}}$ vektörlerinden birisi ${\displaystyle \mathbf {0} }$ vektörüyse ${\displaystyle B(v_{1},v_{2})=\mathbf {0} }$ olur. Tam tersi geçerli değildir; ${\displaystyle v_{1}}$ ve ${\displaystyle v_{2}}$ vektörlerinin ikisi de sıfırdan farklı olsa da ${\displaystyle B(v_{1},v_{2})=\mathbf {0} }$ olabilir. ${\displaystyle B(v_{1},v_{2})=\mathbf {0} }$ özelliğini sağlayan iki vektöre ortogonal denir.

${\displaystyle V_{1}}$ ve ${\displaystyle V_{2}}$ vektör uzaylarından ${\displaystyle W}$'ye olan tüm bilineer formlar, kendi aralarında bir vektör uzayı teşkil eder, ve bu uzay ${\displaystyle \mathrm {Bil} (V_{1},V_{2},W)}$ ile gösterilir. Bu eğer ${\displaystyle V_{1},V_{2}}$ ve ${\displaystyle W}$'un üçü de sonlu boyutluysa, ${\displaystyle \mathrm {Bil} (V_{1},V_{2},W)}$'in boyutu bu üç vektör uzayının boyutlarının çarpımına eşittir.

Örnekler

• Matris çarpımı, ${\displaystyle \mathbb {K} ^{k\times m}\times \mathbb {K} ^{m\times n}}$ ile ${\displaystyle \mathbb {K} ^{k\times n}}$ arasında bilineerdir
• Vektör iç çarpımı bilineer bir dönüşümdür. Girdileri aynı ${\displaystyle V}$ vektör uzayından olup çıktısı ${\displaystyle \mathbb {K} }$'dadır.
• ${\displaystyle V}$ ile ${\displaystyle V}$'nin ${\displaystyle V^{*}}$'dan iki eleman alıp ${\displaystyle \mathbb {K} }$'dan bir eleman veren ${\displaystyle f,v\mapsto f(v)}$ hesaplama operasyonu bilineerdir.
• Haç çarpımı, ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\mapsto \mathbb {R} ^{3}}$ arasında bilineer bir eşleme teşkil eder.

Ayrıca bakınız

• Çokludoğrusal harita

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Bilinear mapping", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN