Bilineer form

Matematikte ve lineer cebirde bilineer form, bir vektör uzayından iki vektör alıp bir skaler veren bilineer fonksiyonlara denir. Başka bir değişle, bir ${\displaystyle \mathbb {K} }$ cismi üzerinde tanımlı olan (mesela ${\displaystyle \mathbb {R} }$) bir ${\displaystyle V}$ vektör uzayından iki eleman alıp ${\displaystyle \mathbb {K} }$'dan bir eleman veren bir ${\displaystyle B}$ fonksiyonunun bilineer bir form olabilmesi için, iki elemanında da doğrusallık özelliklerini göstermesi gerekir:

• Her ${\displaystyle v,w\in V}$ vektörleri ve her ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }$ skaleri için ${\displaystyle \lambda }$'yı ${\displaystyle B}$'nin dışına çekebilmek gerekir, yani ${\displaystyle B(\lambda v,w)=\lambda B(v,w)=B(v,\lambda w)}$ olması gerekir.
• Her ${\displaystyle v_{1},v_{2},w\in V}$ vektör üçlüsü için ${\displaystyle B}$'nin bir nevi dağılma özelliği göstermesi gerekir: ${\displaystyle B(v_{1}+v_{2},w)=B(v_{1},w)+B(v_{2},w)}$ ve ${\displaystyle B(w,v_{1}+v_{2})=B(w,v_{1})+B(w,v_{2})}$

${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ üzerinde tanımlı olan nokta çarpımı, bilineer formlara bir örnektir. Bunun dışında rölativitede kullanılan Minkowski çarpımı da bilineer formlara örnek verilebilir.

${\displaystyle \mathbb {K} }$'nın ${\displaystyle \mathbb {C} }$ karmaşık sayılar cismi olması hâlinde çoğu durumda bilineer formlardansa , yani argümanların birinde lineer, birinde yarı lineer (eşlenikli lineer) olan fonksiyonlar ilgimizi çekmektedir.

Tanımlar

${\displaystyle V}$ bir ${\displaystyle \mathbb {K} }$ vektör uzayı olsun. Bir ${\displaystyle B:V\times V\mapsto \mathbb {K} }$ fonksiyonuna, her ${\displaystyle v,w\in V}$ için hem$${\displaystyle v\mapsto B(v,w)}$$eşlemesi, hem de$${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$$eşlemesi bir lineer fonksiyon teşkil ediyorsa, ${\displaystyle B}$'ye bir bilineer form denir.

${\displaystyle B}$ eğer ayrıyeten başka birkaç özelliği de sağlıyorsa başına birtakım sıfatlar gelir:

• Eğer her ${\displaystyle v,w\in V}$ ikilisi için ${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$ ilişkisi geçerli oluyorsa, ${\displaystyle B}$'ye simetrik bir bilineer form denir.
• Eğer her ${\displaystyle v\in V}$ vektörü için ${\displaystyle B(v,v)=0}$ ise, ${\displaystyle B}$'ye alternatif bir bilineer form denir.
• Eğer her ${\displaystyle v,w\in V}$ ikilisi için ${\displaystyle B(v,w)=-B(w,v)}$ ilişkisi geçerli oluyorsa, ${\displaystyle B}$'ye antisimetrik bir bilineer form denir. Eğer ${\displaystyle \mathrm {char} (\mathbb {K} )\neq 2}$ ise, yani ${\displaystyle \mathbb {K} }$ cisminde ${\displaystyle 1+1=0}$ denemiyorsa (mesela ${\displaystyle \mathbb {R} }$ veya ${\displaystyle \mathbb {C} }$ üzerinde), o zaman alternatif olmakla antisimetrik olmak eşdeğerdir.
• Eğer sıfır hariç bir ${\displaystyle v\in V}$ vektörü için her ${\displaystyle x\in V}$ vektörüyle ${\displaystyle B(v,x)=0}$ veya ${\displaystyle B(x,v)=0}$ oluyorsa ${\displaystyle B}$'ye dejenere denir.

Ayrıca sözkonusu ${\displaystyle \mathbb {K} }$ cismi ${\displaystyle \mathbb {R} }$ veya ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ gibi sıralı bir cisim ise,

• Her ${\displaystyle v\in V}$ vektörü için ${\displaystyle B(v,v)\geq 0}$ ise ${\displaystyle B}$'ye pozitif yarı belirli denir.
• Eğer ${\displaystyle v\neq \mathbb {0} }$ iken ${\displaystyle B(v,v)>0}$ ise ${\displaystyle B}$'ye pozitif belirli denir.
• Her ${\displaystyle v\in V}$ vektörü için ${\displaystyle B(v,v)\leq 0}$ ise ${\displaystyle B}$'ye negatif yarı belirli denir.
• Eğer ${\displaystyle v\neq \mathbb {0} }$ iken ${\displaystyle B(v,v)<0}$ ise ${\displaystyle B}$'ye negatif belirli denir.
• Bazı ${\displaystyle v\in V}$ vektörleri için ${\displaystyle B(v,v)>0}$ oluyorken bazı ${\displaystyle w\in V}$ vektörleri için de ${\displaystyle B(w,w)<0}$ oluyorsa ${\displaystyle B}$'ye belirsiz denir.

Örnekler

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ üzerinde, ${\displaystyle B(v,w)=\sum _{k=1}^{n}v_{k}w_{k}}$ şeklinde tanımlanan nokta çarpımı, bir bilineer form teşkil eder.
• Özellikle kuantum fiziğinde çok kullanılan hilbert uzayında tanımlanan ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)dx}$ şeklinde tanımlanan çarpım da bir bilineer form örneğidir. Burada söz konusu vektör uzayı sonsuz boyutludur.

Kordinat temsili

Martis temsili

Sonlu boyutlu vektör uzaylarında nasıl bir taban seçimiyle her lineer dönüşümün bir matris gösterimini elde etmek mümkünse aynı şey bilineer formlar için de mümkündür. ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{b_{1},b_{2},...b_{n}\}}$, ${\displaystyle V}$'nin bir tabanı olsun. O zaman her ${\displaystyle v\in V}$ vektörünü $${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v_{i}b_{i}}$$ şeklinde yazmak mümkündür. Yani ${\displaystyle B(v,w)}$'u hesaplamak istiyorsak, bunu $${\displaystyle B(v,w)=B(\sum _{i=1}^{n}v_{i}b_{i},\sum _{j=1}^{n}w_{j}b_{j})=\sum _{i=1}^{n}v_{i}B(b_{i},\sum _{j=1}^{n}w_{j}b_{j})=\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}w_{j}B(b_{i},b_{j})}$$şeklinde hesaplamamız mümkündür. Eğer ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ matrisini ${\displaystyle A_{ij}=B(b_{i},b_{j})}$ şeklinde tanımlarsak, bu ifadeyi$${\displaystyle B(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}w_{j}B(b_{i},b_{j})=\sum _{i,j=1}^{n}v_{i}w_{j}A_{ij}}$$formuna getirebiliriz. Sağda kalan ifade, matris çarpımı ile ${\displaystyle v^{T}Aw}$ ifadesine eşit olduğundan, her bilineer formu bi taban seçimiyle birlikte $${\displaystyle B(v,w)=v^{T}Aw}$$şeklinde yazmak mümkündür.

Taban değişkliği

Lineer dönüşümlerde taban değişkliği formülü, ${\displaystyle SA'S^{-1}=A}$ formülüyle veriliyordu. Ancak bilineer formlarda taban değişikliği formülü biraz farklılık gösterir.

Taban değişikliği altında yeni gösterimler, ${\displaystyle v'=S^{-1}v}$ şeklinde bulunduğundan, ${\displaystyle v'^{T}A'w'=vAw}$ olmasını istiyorsak ${\displaystyle v^{T}S^{T}A'Sw=v^{T}Aw}$ olmalıdır. Yani bilineer formlarda taban değişikliği için ${\displaystyle S^{T}A'S=A}$ formülü kullanılmaktadır. Aynı lineer dönüşümü temsil eden matrislere benzer dendiği gibi aynı bilineer formu temsil eden matrislere de eş denir.

Özellikler

Refleksif (dönüşlü) bilineer formlar ve ortogonalite

Daha güçlü bir şart gözetmeden her ${\displaystyle v,w\in V}$ ikilisi için eğer ${\displaystyle B(v,w)=0}$ ilişkisi, ancak ve ancak ${\displaystyle B(w,v)=0}$ olduğunda geçerli oluyorsa ${\displaystyle B}$'ye refleksif denir. ${\displaystyle \mathrm {char} (\mathbb {K} )\neq 2}$ olan cisimlerde her refleksif bilineer form, ya simetrik ya da antisimetrik olmak zorundadır.

Refleksif bilineer formlar için bir ortogonalite (diklik) kavramı tanımlamak mümkündür. Öyle ki, ${\displaystyle B(v,w)=0}$ veren her ${\displaystyle v,w\in V}$ çiftine ortogonal veya dik denir, ve bu durum ${\displaystyle v\perp w}$ şeklinde gösterilir. Eğer ${\displaystyle B}$ nokta çarpımı ise bu kavram, öklid geometrisindeki diklik kavramıyla örtüşmektedir.

Benzer şekilde, herhangi bir ${\displaystyle U\leq V}$ ve hatta herhangi bir altküme ${\displaystyle U\subseteq V}$ için ortogonal tamlayanını ${\displaystyle U^{\perp }=\{v\in V|B(u,v)=0,\forall u\in U\}}$ olarak, ${\displaystyle U}$'daki tüm vektörlere dik olan vektörler kümesi şeklinde tanımlamak mümkündür. Herhangi bir altkümenin ortogonal tamlayanı bir altuzay teşkil eder. Vektör uzayındaki her vektöre dik olan vektörlerin uzayına da ${\displaystyle V}$'nin radikali denir, ve bu altuzay da ${\displaystyle V^{\perp }}$ ile gösterilir. Eğer ${\displaystyle B}$ dejenere değilse ${\displaystyle V^{\perp }}$ de trivial ${\displaystyle \{\mathbf {0} \}}$ uzayına eşit olur. ${\displaystyle U}$ bir altuzaysa ve ${\displaystyle B}$ dejenere değilse, ${\displaystyle U^{\perp }}$ için boyut formülü geçerli olur: $${\displaystyle \dim(U)+\dim(U^{\perp })=\dim(V)}$$Refleksif olmayan bilineer formlar için soldan ve sağdan diklik arasında ayrım yapılması gerekmektedir.

Simetrik ve antisimetrik bilineer formlar

${\displaystyle B(v,w)=B(w,v)}$ özelliğini sağlayan bilineer formlara simetrik, ${\displaystyle B(v,w)=-B(w,v)}$ özelliğini sağlayanlara da antisimetrik denir. Simetrik veya antisimetrik olmayan bilineer formlar için, eğer ${\displaystyle \mathrm {char} (\mathbb {K} )\neq 2}$ ise$${\displaystyle B_{+}(v,w):={\frac {1}{2}}(B(v,w)+B(w,v))}$$ve$${\displaystyle B_{-}(v,w):={\frac {1}{2}}(B(v,w)-B(w,v))}$$şeklinde bir simetrik ve bir de antisimetrik bilineer form tanımlamak mümkündür. Bu durumda ${\displaystyle B(v,w)=B_{+}(v,w)+B_{-}(v,w)}$ olduğundan ${\displaystyle B}$'yi biri simetrik biri antisimetrik iki parçaya ayırmış oluruz.

Seçilen her taban için simetrik bilineer formları temsil eden matrisler simetrik, ve antisimetrik bilineer formları temsil eden matrisler de antisimetrik olur.

Karesel form

Bir ${\displaystyle B}$ bilineer formu için ${\displaystyle q(v):=B(v,v)}$ şeklinde tanımlanabilen fonksiyonlara karesel form denir. ${\displaystyle \mathrm {char} (\mathbb {K} )\neq 2}$ ise, ve ${\displaystyle B}$ simetrikse ${\displaystyle B}$'yi ${\displaystyle q}$'dan polarizasyon özelliği ile çıkarabiliriz:$${\displaystyle B(v,w)={\frac {1}{2}}(q(v+w)-q(v)-q(w))}$$Simetrik olmayan bilineer formlar için bu formül, sadece simetrik kısmı verir. Antisimetrik bilineer formlar için ${\displaystyle q(v)=0}$ olur. Bu formülün başka bir sonucu ise, simetrik bir bilineer formu tanımlamak için sadece altında yatan karesel formu tanımlamanın yetmesidir.

Ayrıca bakınız

• Bilineer fonksiyon
• Nokta çarpımı