Öklid geometrisinde, Brahmagupta formülü, kenarların uzunlukları göz önüne alındığında herhangi bir kirişler dörtgeninin (daire içine çizilebilen dörtgen) alanını bulmak için kullanılır.
Formül
Brahmagupta formülü, kenarlarının uzunluğu a, b, c, d olan bir kirişler dörtgeninin K alanını aşağıdaki şekilde verir:
burada s, yarı çevre olarak aşağıdaki şekilde tanımlanır;
Bu formül, bir üçgenin alanını hesaplamak için verilen için Heron formülünü genelleştirir. Bir üçgen, bir kenarı sıfır olan bir dörtgen olarak kabul edilebilir. Bu perspektiften, d sıfıra yaklaştıkça, bir kirişler dörtgeni, çember içine çizilen bir üçgene yakınsar (tüm üçgenler çember içine çizilebilir) ve Brahmagupta formülü, Heron formülüne sadeleştirilir.
Yarı çevre kullanılmazsa, Brahmagupta formülü aşağıdaki şekilde yazılır:
Başka bir eşdeğer versiyon da aşağıdaki gibidir:
İspat
Trigonometrik ispat
Burada sağdaki şekildeki gösterimler kullanılmıştır. Kirişler dörtgeninin K alanı, △ADB ve △BDC alanlarının toplamına eşittir:
Ancak ABCD bir kirişler dörtgeni olduğundan, ∠DAB = 180° − ∠DCB. Dolayısıyla, sin A = sin C 'dir. Bu nedenle,
Ortak kenar DB için çözülürse, △ADB ve △BDC üçgenlerinde Kosinüs yasası aşağıdaki özdeşliği verir:
cos C = −cos A (A ve C açıları bütünler açı olduğu için) yerine konur ve eşitlik yeniden düzenlenirse aşağıdaki ifade elde edilir;
Bunu alan denkleminde yerine yazarsak,
Sağ taraf a2 − b2 = (a − b)(a + b) biçimindedir ve bu nedenle şu şekilde yazılabilir:
köşeli parantez içindeki terimleri yeniden düzenledikten sonra,
Yarı çevre S = p + q + r + s2 olarak dikkate alınırsa,
Her iki tarafın karekökünü alırsak,
elde edilir.
Trigonometrik olmayan ispat
Trigonometrik olmayan alternatif bir kanıt, Heron'un üçgen alan formülünün benzer üçgenler üzerindeki iki uygulamasını kullanır.
Kirişler dörtgenine kirişini çizelim. ve doğru parçasını uzatalım, böylece noktasında kesişsinler.
ve açıları, çemberin iki yayından aynı kirişini görür. Bu nedenle bütünler açılardır. , 'nin bütünleyicisidir. Yani 'dir. ve benzerdir. Benzerlik oranı ise 'dir.
dörtgeninin alanına A ve üçgeninin alanına da T diyelim.
ve olarak alınarak Heron formülü uygulanırsa, aşağıdaki şekilde bulunur:
Bu nedenle,
(Not: Bu noktada ÜÇGEN'in yarı çevresi için s kullandık. Aşağıda, s, e ve f için a, b, c ve d cinsinden terimleri yerine koyacağız. Sonunda dörtgenin yarı çevresini temsil eden s kullanıma geri döneceğiz.)
- İlk olarak, e’yi a, b, c ve d cinsinden ifade etmek istiyoruz.
- veya
- Sonra, f’yi a, b, c ve d cinsinden ifade etmek istiyoruz.
- Şimdi, üçgen formüllerinde yukarıda elde ettiğimiz ve ifadelerini yerine koyarak devam edeceğiz.
- Şimdi, 'yı hesaplayalım.
- Benzer şekilde, şimdi 'yi a, b, c ve d cinsinden hesaplayalım.
- Şimdi 'yi hesaplayalım.
- Şimdi dörtgenin alanını a, b, c, d cinsinden hesaplamaya hazırız.
Bu nedenle,
burada s, kirişler dörtgenin yarı çevresi yani
- 'dir.
Kirişler dörtgeni olmayan dörtgenlere genişletme
Kirişler dörtgeni olmayan dörtgenler söz konusu olduğunda, Brahmagupta formülü, dörtgenin iki zıt açısının ölçüleri dikkate alınarak genişletilebilir:
burada θ herhangi iki zıt açının toplamının yarısıdır. (Hangi zıt açı çiftinin seçimi önemsizdir: diğer iki açı alınırsa, toplamlarının yarısı 180° − θ'dir. cos(180° − θ) = −cos θ olduğundan, cos2(180° − θ) = cos2θ ederiz. Bu daha genel formül Bretschneider formülü olarak bilinir.
Bir dörtgenin zıt açılarının toplamının 180°'ye eşit olması, kirişler dörtgeninin (ve nihayetinde çevre açıların) bir özelliğidir. Sonuç olarak, bir çevrel dörtgen durumunda, θ açısı 90°'dir, bu nedenle
olup Brahmagupta formülünün temel biçimini verir. İkinci denklemden, bir kirişler dörtgenin alanının, verilen kenar uzunluklarına sahip herhangi bir dörtgen için mümkün olan maksimum alan olduğu sonucu çıkar.
tarafından kanıtlanan ilgili bir formül de genel bir dışbükey dörtgen alanını verir.
burada p ve q, dörtgenin köşegenlerinin uzunluklarıdır. Batlamyus teoremine göre bir kirişler dörtgeninde pq = ac + bd 'dir ve , Brahmagupta formülüne indirgenir.
İlgili teoremler
- Bir üçgenin alanını hesaplamak için Heron formülü, d = 0 alınarak elde edilen özel durumdur.
- Brahmagupta formülünün genel ve genişletilmiş biçimi arasındaki ilişki, Kosinüs yasasının Pisagor teoremini nasıl genişlettiğine benzer.
- Maley ve diğerleri tarafından açıklandığı gibi, çemberler üzerindeki genel çokgenlerin alanı için giderek karmaşıklaşan kapalı biçimli formüller mevcuttur.
Kaynakça
- ^ Hess, Albrecht, "A highway from Heron to Brahmagupta", Forum Geometricorum 12 (2012), 191–192.
- ^ J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", American Mathematical Monthly, 46 (1939) ss. 345-347.
- ^ Maley (2005). "On the areas of cyclic and semicyclic polygons". Advances in Applied Mathematics. 34 (4): 669-689. doi:10.1016/j.aam.2004.09.008.
Dış bağlantılar
- Brahmagupta's formula 28 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde . at ProofWiki
- Eric W. Weisstein, Brahmagupta's Formula (MathWorld)
Bu makale, Creative Commons Attribution/Share-Alike Lisansı altında lisanslanan PlanetMath üzerinde Brahmagupta formülünün kanıtından materyal içermektedir.
wikipedia, wiki, viki, vikipedia, oku, kitap, kütüphane, kütübhane, ara, ara bul, bul, herşey, ne arasanız burada,hikayeler, makale, kitaplar, öğren, wiki, bilgi, tarih, yukle, izle, telefon için, turk, türk, türkçe, turkce, nasıl yapılır, ne demek, nasıl, yapmak, yapılır, indir, ücretsiz, ücretsiz indir, bedava, bedava indir, mp3, video, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, resim, müzik, şarkı, film, film, oyun, oyunlar, mobil, cep telefonu, telefon, android, ios, apple, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, pc, web, computer, bilgisayar
Oklid geometrisinde Brahmagupta formulu kenarlarin uzunluklari goz onune alindiginda herhangi bir kirisler dortgeninin daire icine cizilebilen dortgen alanini bulmak icin kullanilir FormulBrahmagupta formulu kenarlarinin uzunlugu a b c d olan bir kirisler dortgeninin K alanini asagidaki sekilde verir K s a s b s c s d displaystyle K sqrt s a s b s c s d burada s yari cevre olarak asagidaki sekilde tanimlanir s a b c d2 displaystyle s frac a b c d 2 Bu formul bir ucgenin alanini hesaplamak icin verilen icin Heron formulunu genellestirir Bir ucgen bir kenari sifir olan bir dortgen olarak kabul edilebilir Bu perspektiften d sifira yaklastikca bir kirisler dortgeni cember icine cizilen bir ucgene yakinsar tum ucgenler cember icine cizilebilir ve Brahmagupta formulu Heron formulune sadelestirilir Yari cevre kullanilmazsa Brahmagupta formulu asagidaki sekilde yazilir K 14 a b c d a b c d a b c d a b c d displaystyle K frac 1 4 sqrt a b c d a b c d a b c d a b c d Baska bir esdeger versiyon da asagidaki gibidir K a2 b2 c2 d2 2 8abcd 2 a4 b4 c4 d4 4 displaystyle K frac sqrt a 2 b 2 c 2 d 2 2 8abcd 2 a 4 b 4 c 4 d 4 4 cdot IspatIspat icin referans cizimTrigonometrik ispat Burada sagdaki sekildeki gosterimler kullanilmistir Kirisler dortgeninin K alani ADB ve BDC alanlarinin toplamina esittir 12pqsin A 12rssin C displaystyle frac 1 2 pq sin A frac 1 2 rs sin C Ancak ABCD bir kirisler dortgeni oldugundan DAB 180 DCB Dolayisiyla sin A sin C dir Bu nedenle K 12pqsin A 12rssin A displaystyle K frac 1 2 pq sin A frac 1 2 rs sin A K2 14 pq rs 2sin2 A displaystyle K 2 frac 1 4 pq rs 2 sin 2 A 4K2 pq rs 2 1 cos2 A displaystyle 4K 2 pq rs 2 1 cos 2 A Ortak kenar DB icin cozulurse ADB ve BDC ucgenlerinde Kosinus yasasi asagidaki ozdesligi verir p2 q2 2pqcos A r2 s2 2rscos C displaystyle p 2 q 2 2pq cos A r 2 s 2 2rs cos C cos C cos A A ve C acilari butunler aci oldugu icin yerine konur ve esitlik yeniden duzenlenirse asagidaki ifade elde edilir 2 pq rs cos A p2 q2 r2 s2 displaystyle 2 pq rs cos A p 2 q 2 r 2 s 2 Bunu alan denkleminde yerine yazarsak 4K2 pq rs 2 14 p2 q2 r2 s2 2 displaystyle 4K 2 pq rs 2 frac 1 4 p 2 q 2 r 2 s 2 2 16K2 4 pq rs 2 p2 q2 r2 s2 2 displaystyle 16K 2 4 pq rs 2 p 2 q 2 r 2 s 2 2 Sag taraf a2 b2 a b a b bicimindedir ve bu nedenle su sekilde yazilabilir 2 pq rs p2 q2 r2 s2 2 pq rs p2 q2 r2 s2 displaystyle 2 pq rs p 2 q 2 r 2 s 2 2 pq rs p 2 q 2 r 2 s 2 koseli parantez icindeki terimleri yeniden duzenledikten sonra r s 2 p q 2 p q 2 r s 2 displaystyle r s 2 p q 2 p q 2 r s 2 q r s p p r s q p q s r p q r s displaystyle q r s p p r s q p q s r p q r s Yari cevre S p q r s 2 olarak dikkate alinirsa 16K2 16 S p S q S r S s displaystyle 16K 2 16 S p S q S r S s Her iki tarafin karekokunu alirsak K S p S q S r S s displaystyle K sqrt S p S q S r S s elde edilir Trigonometrik olmayan ispat Brahmagupta Formulunun ispati icin kullanilacak sekil Trigonometrik olmayan alternatif bir kanit Heron un ucgen alan formulunun benzer ucgenler uzerindeki iki uygulamasini kullanir Kirisler dortgenine AC displaystyle AC kirisini cizelim AB displaystyle AB ve CD displaystyle CD dogru parcasini uzatalim boylece P displaystyle P noktasinda kesissinler ADC displaystyle angle ADC ve ABC displaystyle angle ABC acilari cemberin iki yayindan ayni AC displaystyle AC kirisini gorur Bu nedenle butunler acilardir ADP displaystyle angle ADP ADC displaystyle angle ADC nin butunleyicisidir Yani ADP ABC displaystyle angle ADP cong angle ABC dir PBC displaystyle triangle PBC ve PDA displaystyle triangle PDA benzerdir Benzerlik orani ise db displaystyle frac d b dir Alan PDA d2b2Alan PBC displaystyle Alan triangle PDA frac d 2 b 2 Alan triangle PBC Alan ABCDA Alan PBC Alan PDA displaystyle Alan ABCDA Alan triangle PBC Alan triangle PDA dd ABCD displaystyle ABCD dortgeninin alanina A ve PBC displaystyle triangle PBC ucgeninin alanina da T diyelim A T d2b2T 1 d2b2 T b2 d2 b2T displaystyle A T frac d 2 b 2 T 1 frac d 2 b 2 T frac b 2 d 2 b 2 T dd PA e displaystyle PA e ve PD f displaystyle PD f olarak alinarak Heron formulu uygulanirsa Alan PBC displaystyle Alan triangle PBC asagidaki sekilde bulunur T s s e a s f c s b displaystyle T sqrt s s e a s f c s b s e a f c b2 displaystyle s frac e a f c b 2 dd Bu nedenle A b2 d2 b2s s e a s f c s b displaystyle A frac b 2 d 2 b 2 sqrt s s e a s f c s b dd Not Bu noktada UCGEN in yari cevresi icin s kullandik Asagida s e ve f icin a b c ve d cinsinden terimleri yerine koyacagiz Sonunda dortgenin yari cevresini temsil eden s kullanima geri donecegiz Ilk olarak e yi a b c ve d cinsinden ifade etmek istiyoruz e ab fd displaystyle frac e a b frac f d e fbd a displaystyle e frac fb d a ed ad fb displaystyle ed ad fb ed ad ebd c b displaystyle ed ad frac eb d c b ed ad eb2d cb displaystyle ed ad frac eb 2 d cb ed ad eb2 cbdd displaystyle ed ad frac eb 2 cbd d ed2 ad2 eb2 cbd displaystyle ed 2 ad 2 eb 2 cbd ed2 eb2 ad2 cbd displaystyle ed 2 eb 2 ad 2 cbd e d2 b2 d ad cb displaystyle e d 2 b 2 d ad cb e d ad cb d2 b2 displaystyle e frac d ad cb d 2 b 2 veya e d ad cb b2 d2 displaystyle e frac d ad cb b 2 d 2 dd Sonra f yi a b c ve d cinsinden ifade etmek istiyoruz f cb ed displaystyle frac f c b frac e d f ebd c displaystyle f frac eb d c fd cd eb displaystyle fd cd eb fd cd fbd a b displaystyle fd cd frac fb d a b fd cd fb2d ab displaystyle fd cd frac fb 2 d ab fd cd fb2 abdd displaystyle fd cd frac fb 2 abd d fd2 cd2 fb2 abd displaystyle fd 2 cd 2 fb 2 abd fd2 fb2 cd2 abd displaystyle fd 2 fb 2 cd 2 abd f d2 b2 d cd ab displaystyle f d 2 b 2 d cd ab f d cd ab d2 b2 displaystyle f frac d cd ab d 2 b 2 dd Simdi ucgen formullerinde yukarida elde ettigimiz e dbc ad2b2 d2 displaystyle e frac dbc ad 2 b 2 d 2 ve f cd2 abdb2 d2 displaystyle f frac cd 2 abd b 2 d 2 ifadelerini yerine koyarak devam edecegiz 2s dbc ad2b2 d2 a cd2 abdb2 d2 c b displaystyle 2s frac dbc ad 2 b 2 d 2 a frac cd 2 abd b 2 d 2 c b s dbc ad2b2 d2 a cd2 abdb2 d2 c b displaystyle s frac dbc ad 2 b 2 d 2 a frac cd 2 abd b 2 d 2 c b s 12 dbc ad2 a b2 d2 cd2 abd c b2 d2 b b2 d2 b2 d2 displaystyle s frac 1 2 frac dbc ad 2 a b 2 d 2 cd 2 abd c b 2 d 2 b b 2 d 2 b 2 d 2 s 12 dcb ad2 ab3 ad2 cd2 abd cb2 cd2 b3 bd2b2 d2 displaystyle s frac 1 2 frac dcb ad 2 ab 3 ad 2 cd 2 abd cb 2 cd 2 b 3 bd 2 b 2 d 2 s 12 bd c a b2 c a b b2 d2 b2 d2 displaystyle s frac 1 2 frac bd c a b 2 c a b b 2 d 2 b 2 d 2 s 12 bd b2 c a b b2 d2 b2 d2 displaystyle s frac 1 2 frac bd b 2 c a b b 2 d 2 b 2 d 2 s 12 b d b c a b d b d b b2 d2 b2 d2 displaystyle s frac 1 2 frac b d b c a b d b d frac b b 2 d 2 b 2 d 2 s 12 b c a b b d b d displaystyle s frac 1 2 frac b c a b b d b d s b c a b d 2 b d displaystyle s frac b c a b d 2 b d dd Simdi s e a displaystyle s e a yi hesaplayalim s e a b c a b d 2 b d d ad cb b2 d2 a displaystyle s e a frac b c a b d 2 b d frac d ad cb b 2 d 2 a dcb ad22 b2 d2 a2 cd2 abd2 b2 d2 c2 b2 dcb ad2b2 d2 a displaystyle frac dcb ad 2 2 b 2 d 2 frac a 2 frac cd 2 abd 2 b 2 d 2 frac c 2 frac b 2 frac dcb ad 2 b 2 d 2 a dcb ad22 b2 d2 a2 cd2 abd2 b2 d2 c2 b2 dcb ad2b2 d2 a displaystyle frac dcb ad 2 2 b 2 d 2 frac a 2 frac cd 2 abd 2 b 2 d 2 frac c 2 frac b 2 frac dcb ad 2 b 2 d 2 a dcb ad22 b2 d2 a2 cd2 abd2 b2 d2 c2 b2 displaystyle frac dcb ad 2 2 b 2 d 2 frac a 2 frac cd 2 abd 2 b 2 d 2 frac c 2 frac b 2 12 dcb ad2b2 d2 a cd2 abd b2 d2 c b displaystyle frac 1 2 frac dcb ad 2 b 2 d 2 a frac cd 2 abd b 2 d 2 c b 12 dcb ad2 a b2 d2 cd2 abd c b2 d2 b b2 d2 b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac dcb ad 2 a b 2 d 2 cd 2 abd c b 2 d 2 b b 2 d 2 b 2 d 2 12 dcb ab2 abd cd2 b3 bd2b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac dcb ab 2 abd cd 2 b 3 bd 2 b 2 d 2 12 bd c a b2 c a b b2 d2 b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac bd c a b 2 c a b b 2 d 2 b 2 d 2 12 bd b2 c a b2 d2 b b2 d2 b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac bd b 2 c a b 2 d 2 frac b b 2 d 2 b 2 d 2 b d b c a 2 b d b d b2 displaystyle frac b d b c a 2 b d b d frac b 2 b c a b b d 2 b d displaystyle frac b c a b b d 2 b d b c a b d 2 b d displaystyle frac b c a b d 2 b d dd Benzer sekilde simdi s f c displaystyle s f c yi a b c ve d cinsinden hesaplayalim s f c b c a d b 2 b d cd2 abdb2 d2 c displaystyle s f c frac b c a d b 2 b d frac cd 2 abd b 2 d 2 c dcb ad22 b2 d2 a2 cd2 abd2 b2 d2 c2 b2 cd2 abdb2 d2 c displaystyle frac dcb ad 2 2 b 2 d 2 frac a 2 frac cd 2 abd 2 b 2 d 2 frac c 2 frac b 2 frac cd 2 abd b 2 d 2 c dcb ad22 b2 d2 a2 cd2 abd2 b2 d2 c2 b2 cd2 abdb2 d2 c displaystyle frac dcb ad 2 2 b 2 d 2 frac a 2 frac cd 2 abd 2 b 2 d 2 frac c 2 frac b 2 frac cd 2 abd b 2 d 2 c dcb ad22 b2 d2 a2 cd2 abd2 b2 d2 c2 b2 displaystyle frac dcb ad 2 2 b 2 d 2 frac a 2 frac cd 2 abd 2 b 2 d 2 frac c 2 frac b 2 12 dcb ad2b2 d2 a cd2 abdb2 d2 c b displaystyle frac 1 2 frac dcb ad 2 b 2 d 2 a frac cd 2 abd b 2 d 2 c b 12 dcb ad2 a b2 d2 cd2 abd c b2 d2 b b2 d2 b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac dcb ad 2 a b 2 d 2 cd 2 abd c b 2 d 2 b b 2 d 2 b 2 d 2 12 dcb ad2 ab2 ad2 cd2 abd cb2 cd2 b3 bd2b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac dcb ad 2 ab 2 ad 2 cd 2 abd cb 2 cd 2 b 3 bd 2 b 2 d 2 12 dcb ab2 abd cb2 b3 bd2b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac dcb ab 2 abd cb 2 b 3 bd 2 b 2 d 2 12 bd c a b2 c a b b2 d2 b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac bd c a b 2 c a b b 2 d 2 b 2 d 2 12 bd b2 c a b2 d2 b b2 d2 b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac bd b 2 c a b 2 d 2 frac b b 2 d 2 b 2 d 2 b b d c a 2 b d b d b2 displaystyle frac b b d c a 2 b d b d frac b 2 b c a b b d 2 b d displaystyle frac b c a b b d 2 b d b c a b d 2 b d displaystyle frac b c a b d 2 b d dd Simdi s b displaystyle s b yi hesaplayalim s b dcb ad22 b2 d2 a2 cd2 abd2 b2 d2 c2 b2 b displaystyle s b frac dcb ad 2 2 b 2 d 2 frac a 2 frac cd 2 abd 2 b 2 d 2 frac c 2 frac b 2 b dcb ad22 b2 d2 a2 cd2 abd2 b2 d2 c2 b2 displaystyle frac dcb ad 2 2 b 2 d 2 frac a 2 frac cd 2 abd 2 b 2 d 2 frac c 2 frac b 2 12 dcb ad2b2 d2 a cd2 abdb2 d2 c b displaystyle frac 1 2 frac dcb ad 2 b 2 d 2 a frac cd 2 abd b 2 d 2 c b 12 dcb ad2 a b2 d2 cd2 abd c b2 d2 b b2 d2 b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac dcb ad 2 a b 2 d 2 cd 2 abd c b 2 d 2 b b 2 d 2 b 2 d 2 12 dcb ad2 ab2 ad2 cd2 abd cb2 cd2 b3 bd2b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac dcb ad 2 ab 2 ad 2 cd 2 abd cb 2 cd 2 b 3 bd 2 b 2 d 2 12 bd c a b2 c a b b2 d2 b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac bd c a b 2 c a b b 2 d 2 b 2 d 2 12 b b d c a b2 d2 b b2 d2 b2 d2 displaystyle frac 1 2 frac b b d c a b 2 d 2 frac b b 2 d 2 b 2 d 2 b b d c a 2 b d b d b2 displaystyle frac b b d c a 2 b d b d frac b 2 b c a b b d 2 b d displaystyle frac b c a b b d 2 b d b c a b d 2 b d displaystyle frac b c a b d 2 b d dd Simdi dortgenin alanini a b c d cinsinden hesaplamaya haziriz A b2 d2b2 b c a b d 2 b d b c a b d 2 b d b c a b d 2 b d b c a b d 2 b d displaystyle A frac b 2 d 2 b 2 sqrt frac b c a b d 2 b d frac b c a b d 2 b d frac b c a b d 2 b d frac b c a b d 2 b d A b2 d2b2b4 b d 2 b d 2 a b c d2 a b c d2 a b c d2 a b c d2 displaystyle A frac b 2 d 2 b 2 sqrt frac b 4 b d 2 b d 2 frac a b c d 2 frac a b c d 2 frac a b c d 2 frac a b c d 2 A b2 d2b2 b2b2 d2 a b c d2 a b c d2 a b c d2 a b c d2 displaystyle A frac b 2 d 2 b 2 frac b 2 b 2 d 2 sqrt frac a b c d 2 frac a b c d 2 frac a b c d 2 frac a b c d 2 A a b c d a a2 a b c d b b2 a b c d c c2 a b c d d d2 displaystyle A sqrt frac a b c d a a 2 frac a b c d b b 2 frac a b c d c c 2 frac a b c d d d 2 A a b c d2 a a b c d2 b a b c d2 c a b c d2 d displaystyle A sqrt frac a b c d 2 a frac a b c d 2 b frac a b c d 2 c frac a b c d 2 d dd Bu nedenle A s a s b s c s d displaystyle A sqrt s a s b s c s d dd burada s kirisler dortgenin yari cevresi yani s a b c d2 displaystyle s frac a b c d 2 dir dd Kirisler dortgeni olmayan dortgenlere genisletmeKirisler dortgeni olmayan dortgenler soz konusu oldugunda Brahmagupta formulu dortgenin iki zit acisinin olculeri dikkate alinarak genisletilebilir K s a s b s c s d abcdcos2 8 displaystyle K sqrt s a s b s c s d abcd cos 2 theta burada 8 herhangi iki zit acinin toplaminin yarisidir Hangi zit aci ciftinin secimi onemsizdir diger iki aci alinirsa toplamlarinin yarisi 180 8 dir cos 180 8 cos 8 oldugundan cos2 180 8 cos28 ederiz Bu daha genel formul Bretschneider formulu olarak bilinir Bir dortgenin zit acilarinin toplaminin 180 ye esit olmasi kirisler dortgeninin ve nihayetinde cevre acilarin bir ozelligidir Sonuc olarak bir cevrel dortgen durumunda 8 acisi 90 dir bu nedenle abcdcos2 8 abcdcos2 90 abcd 0 0 displaystyle abcd cos 2 theta abcd cos 2 left 90 circ right abcd cdot 0 0 olup Brahmagupta formulunun temel bicimini verir Ikinci denklemden bir kirisler dortgenin alaninin verilen kenar uzunluklarina sahip herhangi bir dortgen icin mumkun olan maksimum alan oldugu sonucu cikar tarafindan kanitlanan ilgili bir formul de genel bir disbukey dortgen alanini verir K s a s b s c s d 14 ac bd pq ac bd pq displaystyle K sqrt s a s b s c s d textstyle 1 over 4 ac bd pq ac bd pq burada p ve q dortgenin kosegenlerinin uzunluklaridir Batlamyus teoremine gore bir kirisler dortgeninde pq ac bd dir ve Brahmagupta formulune indirgenir Ilgili teoremlerBir ucgenin alanini hesaplamak icin Heron formulu d 0 alinarak elde edilen ozel durumdur Brahmagupta formulunun genel ve genisletilmis bicimi arasindaki iliski Kosinus yasasinin Pisagor teoremini nasil genislettigine benzer Maley ve digerleri tarafindan aciklandigi gibi cemberler uzerindeki genel cokgenlerin alani icin giderek karmasiklasan kapali bicimli formuller mevcuttur Kaynakca Hess Albrecht A highway from Heron to Brahmagupta Forum Geometricorum 12 2012 191 192 J L Coolidge A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral American Mathematical Monthly 46 1939 ss 345 347 Maley 2005 On the areas of cyclic and semicyclic polygons Advances in Applied Mathematics 34 4 669 689 doi 10 1016 j aam 2004 09 008 Dis baglantilarBrahmagupta s formula 28 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde at ProofWiki Eric W Weisstein Brahmagupta s Formula MathWorld Bu makale Creative Commons Attribution Share Alike Lisansi altinda lisanslanan PlanetMath uzerinde Brahmagupta formulunun kanitindan materyal icermektedir