Cauchy-Schwarz eşitsizliği

Cauchy-Schwarz eşitsizliği (bazen Schwarz eşitsizliği veya Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak anılıp) Matematik bilimi teorisinde önemli bir eşitsizlik olup, çok önemli matematiksel uygulamalarda da kullanılmaktadır. Bunlar arasında vektörlere uygulanan lineer cebirde, sonsuz seriler ve uygulanmasinda ve varyans ve kovaryans uygulaması icin istatistik ve 'nda bu eşitsizlik çok kullanılmaktadır.

Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafından 1821de ve integraller için ise bu eşitsizlik ilk defa tarafından 1850da ve sonra tekrar olarak tarafından 1888de ortaya atılmıştır.

Cauchy-Schwarz eşitsizliğine göre bir reel içsel çarpım uzayında veya kompleks bulunan tüm x ve y vektörler için şu ifade geçerlidir:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .}$

Bu ifadenin her iki tarafının da karekökü alınırsa ifade vektörlerin normları kullanılarak ayni özdeş şekilde yeni bir ifade ile şöyle yazılır:

${\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq ||x||\cdot ||y||.}$

Buna ek olarak ifadenin iki tarafının birbirine eşit olması ancak ve ancak x ve y vektörleri birbirlerine olmaları halinde (yani geometrik açıklama ile birbirlerine paralel oldukları veya her iki vektörün de sıfır değerli olması halinde) gerçekleşir.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği aynı yerli çarpım tarafından endüklenen topolojiye nazaran yerli çarpımın bir olduğunu ispat etmek için kullanılır.

Cauchy-Schwarz eşitsizliği test etmek için kullanılır.

Heisenberg belirsizlik ilkesi genel formülasyonu fiziksel icsel çarpımı uzayında Cauchy-Scwarz fonksiyonları iç ürün alana Schwarz eşitsizliği kullanılarak yapılmaktadır.

Gerçel Sayılar için Cauchy-Schwarz Eşitziliğinin Kanıtı

Bu kanıtı gerçekleştirmek için ilk önce uzunlukları bire eşit olan iki vektör ele alınır.

${\displaystyle \left\vert {\textbf {a}}\right\vert =1\left\vert {\textbf {b}}\right\vert =1}$

Herhangi bir vektör için ise bu eşitsizlik açıktır,

${\displaystyle 0\lneq {\left\vert {\textbf {a}}\pm {\textbf {b}}\right\vert }^{2}=({\textbf {a}}\pm {\textbf {b}})({\textbf {a}}\pm {\textbf {b}})={\left\vert {\textbf {a}}\right\vert }^{2}\pm 2(a\cdot b)+{\left\vert {\textbf {b}}\right\vert }^{2}=2(1\pm a\cdot b)}$

Son kısımda vektörlerin uzunluklarının bire eşit olması kullanılmıştır. Bu eşitsizlik bize kısaca aşağıdaki eşitsizliği verir,

${\displaystyle \pm a\cdot b\leq 1}$

Burdan sonra aslında işimiz kolaydır çünkü herhangi uzunluğu bir olan vektörü şu şekilde yazabiliriz,

${\displaystyle a={\frac {v}{\left\vert v\right\vert }},b={\frac {w}{\left\vert w\right\vert }}}$

Bunu yukarıdaki eşitsizliğimize yerleştirdiğimizde Cauchy-Schwarz eşitsizliğini elde ederiz,

${\displaystyle \left\vert {\frac {v}{\left\vert v\right\vert }}\cdot {\frac {w}{\left\vert w\right\vert }}\right\vert \leq 1}$

${\displaystyle \left\vert v\cdot w\right\vert \leq \left\vert v\right\vert \left\vert w\right\vert }$

Kaynakça

1. ^ Çok kere bu kişinin ismi olan Schwarz yerine hatalı olarak Schwartz yazılmaktadır.

Dış bağlantılar

• İngilizce Wikipedia "Cauchy–Schwarz inequality" maddesi : [1] 29 Ocak 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İngilizce) (Erişme:15.12.2009)
• İspanyolca Wikipedia "Desigualdad de Cauchy-Schwarz" maddesi : [2] 13 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (İspanyolca) (Erişme:15.12.2009)
• Bouniakowsky, V. (1859), "Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies" (PDF), Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg 7 (1): 9, [3] 20 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (Fransızca) (Erişme:15.12.2009)
• Cauchy, A. (1821), Oeuvres 2, III, s. 373
• Dragomir, S. S. (2003), "A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete inequalities", JIPAM. J. Inequal. Pure Appl. Math. 4 (3): 142 pp, (İngilizce) (Erişme:15.12.2009)
• Paulsen, V. (2003), Completely Bounded Maps and Operator Algebras, Cambridge University Press .
• Schwarz, H. A. (1888), "Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung" (PDF), Acta Societatis scientiarum Fennicae XV: 318, [5] 20 Haziran 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce) (Erişme:15.12.2009)
• Solomentsev, E.D. (2001), "Cauchy inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, , [6] 6 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde . (İngilizce) (Erişme:15.12.2009)