Cauchy ölçütü

Cauchy yakınsaklık testi, sonsuz serilerin yakınsaklığını bulmak için kullanılan test yöntemlerinden birisidir. Bu yakınsama ölçütü, bu yöntemi 1821'de yazdığı Cours d'Analyse adlı ders kitabında yayınlayan Augustin-Louis Cauchy'nin adını taşımaktadır.

İfade

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$ serisinin yakınsaklığı ancak ve ancak her ${\displaystyle \varepsilon >0}$ için

${\displaystyle n>N}$ olan tüm ${\displaystyle n}$ 'ler ve ${\displaystyle p\geq 1}$ için ${\displaystyle |a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots +a_{n+p}|<\varepsilon }$

önermesini sağlayan bir N${\displaystyle \in \mathbb {N} }$ sayısı varsa mümkündür.

Açıklama

Bu testin geçerli olmasının sebebi ${\displaystyle \mathbb {R} }$ veya ${\displaystyle \mathbb {C} }$ gibi uzayların tam metrik uzay olmasıdır. Çünkü, metrik uzay bağlamında serilerin yakınsaklığı ancak ve ancak kısmî toplamların yani ${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$ dizilerinin bir Cauchy dizisi olmasıyla mükündür. Burada bahsedilen Cauchy dizisinin tanımı ise şudur: Her ${\displaystyle \varepsilon >0}$ için bir N sayısı vardır öyle ki her n, m > N için ${\displaystyle |s_{m}-s_{n}|<\varepsilon }$ sağlanır.

Serilerin tam metrik uzaylardaki yakınsaklığının Cauchy dizisi tanımına taşınabilmesinin altında yatan gerçek metrik uzaylarda bütün Cauchy dizilerinin aslında yakınsak olduğudur.

Ayrıca bakınız

• Seri (matematik)

Kaynakça

1. ^ Abbott, Stephen (2001). Understanding analysis. Undergraduate Texts in Mathematics. New York, NY: Springer Verlag. s. 63. ISBN . 

Bu makale PlanetMath'deki Yakınsaklık için Cauchy ölçütü maddesinden lisansıyla faydalanmaktadır.