Düzlem eğrisi

Matematikte, bir düzlem eğrisi veya düzlemsel eğri, bir düzlem içinde yer alan (yani tüm noktaları düzlem içinde kalan) bir eğri olup söz konusu düzlem, bir Öklid düzlemi, bir veya bir olabilir. En sık çalışılan durumlar, düzgün düzlem eğrileri (parçalı düzgün düzlem eğrileri dahil) ve .

Bir Hipotrokoid (Deltoid) animasyonu.

Düzlem eğrileri ayrıca (düzlemin bir bölgesini çevreleyen ancak düzgün olması gerekmeyen eğriler) ve sürekli fonksiyonların grafiklerini de içerir.

Sembolik gösterim

Bir düzlem eğrisi genellikle Kartezyen koordinatlarda belirli bir f fonksiyonu için ${\displaystyle f(x,y)=0}$ şeklinde bir ile temsil edilebilir. Bu denklem y veya x için açık bir şekilde çözülebilirse -yani, belirli bir g veya h fonksiyonu için ${\displaystyle y=g(x)}$ veya ${\displaystyle x=h(y)}$ olarak yeniden yazılabilirse- bu, temsilin alternatif, açık bir biçimini sağlar. Bir düzlem eğrisi genellikle Kartezyen koordinatlarda, belirli ${\displaystyle x(t)}$ ve ${\displaystyle y(t)}$ fonksiyonları için ${\displaystyle (x,y)=(x(t),y(t))}$ biçimindeki bir parametrik denklem ile de gösterilebilir.

Düzlem eğrileri bazen her noktanın konumunu bir açı ve orijinden uzaklık cinsinden ifade eden kutupsal koordinatlar gibi alternatif koordinat sistemi ile de gösterilebilir.

Düzgün düzlem eğrisi

Düzgün düzlem eğrisi, gerçel ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ Öklid düzlemi içinde bir eğridir ve tek boyutlu bir . Bu, düzgün bir düzlem eğrisinin "yerel olarak bir doğru gibi görünen" bir düzlem eğrisi olduğu anlamına gelir, yani her noktanın yakınında, bir düzgün fonksiyon tarafından bir doğruya eşlenebilir.

Eşdeğer olarak, düzgün bir düzlem eğrisi yerel olarak ${\displaystyle f(x,y)=0,}$ denklemiyle verilebilir, burada ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }$ bir düzgün fonksiyondur ve ${\displaystyle \partial f/\partial x}$ ile ${\displaystyle \partial f/\partial y}$ kısmi türevleri, eğrinin bir noktasında asla her ikisi birlikte 0 değildir.

Cebirsel düzlem eğrisi

, bir polinom denklemi ${\displaystyle f(x,y)=0}$ (veya ${\displaystyle F(x,y,z)=0,}$ ile verilen veya içindeki bir eğridir, burada F projektif durumda bir ).

Cebirsel eğriler, 18. yüzyıldan beri kapsamlı bir şekilde çalışılmaktadır.

Her cebirsel düzlem eğrisinin bir derecesi vardır, tanımlayıcı denklemin , bir olması durumunda, eğrinin bir doğruyla kesişme sayısına eşittir. Örneğin, ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ denklemiyle verilen dairenin derecesi 2'dir.

Derecesi 2 olan düzlem cebirsel eğrilere konik kesitler denir ve bunların ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ çemberinin izdüşümsel tamamlanmasıyla izomorfiktir (yani ${\displaystyle x^{2}+y^{2}-z^{2}=0}$ denkleminin izdüşümsel eğrisi). Derecesi 3 olan düzlem eğrilere ve eğer tekil değillerse denir. Derecesi 4 olanlar olarak adlandırılır.

Örnekler

Çok sayıda düzlem eğrisi örneği Eğriler galerisinde gösterilmiş ve Eğriler listesinde listelenmiştir. Derecesi 1 veya 2 olan cebirsel eğriler burada gösterilmektedir (derecesi 3'ten küçük olan cebirsel eğriler her zaman bir düzlem içinde yer alır):

Ad		Parametrik denklem	Bir fonksiyon olarak	grafik
Düz çizgi	${\displaystyle ax+by=c}$	${\displaystyle (x,y)=(x_{0}+\alpha t,y_{0}+\beta t)}$	${\displaystyle y=mx+c}$
Çember	${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$	${\displaystyle (x,y)=(r\cos t,r\sin t)}$
Parabol	${\displaystyle y-x^{2}=0}$	${\displaystyle (x,y)=(t,t^{2})}$	${\displaystyle y=x^{2}}$
Elips	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cos t,b\sin t)}$
Hiperbol	${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$	${\displaystyle (x,y)=(a\cosh t,b\sinh t)}$

Ayrıca bakınız

• Cebirsel geometri
• Diferansiyel geometri
• Düzlem eğrisi uydurma

Kaynakça

• Coolidge, J. L. (28 Nisan 2004), A Treatise on Algebraic Plane Curves, Dover Publications, ISBN  .
• Yates, R. C. (1952), A handbook on curves and their properties, J.W. Edwards, ASIN B0007EKXV0 .
• Lawrence, J. Dennis (1972), A catalog of special plane curves, Dover, ISBN  .

Dış bağlantılar

• Eric W. Weisstein, Plane Curve (MathWorld)